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一类非线性不确定性系统基于状态观测器的输出反馈镇定控制设计
ZHANG Yun LIU Yun-Guang LI Yan-Fang
（山东大学 控制科学与工程学院 济南 250061）
摘要：研究了一类非线性不确定性系统的输出反馈镇定控制问题。基于多变量的圆判据设计观测器来估计系统的状态，进而给出了观测误差满足的动态方程，然后利用积分反推方法，构造性地设计出了输出反馈镇定控制器，所设计的控制器使得闭环系统渐近稳定，最后，仿真例子进一步验证了主要结论。
关键字：非线性系统；不确定性；输出反馈镇定控制；积分反推方法
1 引言
非线性系统全局反馈稳定控制设计是当前控制理论研究的热点问题。自上世纪90年代以来，在严格反馈系统控制方面已取得一系列成果。在得到的反馈线性化条件之后，通过引入整体后沿设计方法，实现了一个突破。该方法为非线性系统设计全局稳定控制器提供了一种可行的递归建构性工具。
由于系统状态信息不完整，输出反馈控制问题更具挑战性，困难性和触感性。输出反馈控制设计的关键是如何设计状态观测器。非线性观测器的发展在一定程度上促进了非线性系统输出反馈控制的发展。2000年以前，非线性观测的结果在非测量阶段非线性增长的大量假设下得到。早期的结果要求非线性满足全局Lipschitz限制，排除了熟悉的非线性，例如x3,ex,sin(x)等。最近十几年来有两类非线性系统的控制问题得到了广泛的研究：一是系统的非线性为可测状态的函数，对这类的系统，设计观测器时可通过输出嵌入抵消此类非线性，另一类是能够对其设计“高增益观测器”的非线性系统，但是要得到具有全局收敛性的“高增益观测器” , 似乎不可避免地要求非线性项满足全局Lipschitz条件,文献【11】指出如果不可观测状态的非线性增长速度大于2时,存在不可实现输出反馈控制的反例。最近Arcak和Kokotovic等人放宽了此限制条件：将观测误差的收敛性问题转化为求解一线性矩阵不等式和验证不可测状态的非线性是否为(多变量的)单调非降的问题。
在这篇文章中，考虑如下一类非线性系统：
（1）
其中x=[x1,...,xn]T是具有初始值x0的系统状态向量;用x[i]表示[x1,...,xn]T；uisin;R是系统控制输入；yisin;R是系统控制输出；aij(i,j=1,...,n,jle;i)为已知常数；fi=(.)(i=1,...,n)为已知的依赖于xi的非线性函数；wi=(.)(i=1,...,n)为未知非线性函数。文中假设只有系统输出y=x1可测。
系统（1）可改写成如下紧凑形式：
（2）
其中，A={aij}isin;Rntimes;n，ai,i 1=1,aij=0,ige;j 2;F(x)=[f1(x[1]),...,fn(x[n])]T,Omega;(x)=[w1(x),...wn(x)]T;B=[0,...0,1]Tisin;Rn；C=[1,0,...0]isin;Rn。
结论主要建立在如下假设条件之上：
A1 非线性函数F(.)已知且充分光滑，并满足：F(0)=0.
A2 存在非奇异矩阵G使得F(x)=Ggamma;(x)，其中gamma;(x)已知且满足
A3 存在充分光滑的非负函数beta;(y)，beta;(y)=0，使未建模动态部分Omega;(.)满足Omega;(X)le;beta;(y)。
不用于[13,14],要考虑更一般的非线性系统，其具有已知和未知的不饱和度。特别地，已知的非线性满足多变量非线性单调增加条件（参见假设A2），并且未知非线性可以由仅根据系统输出的已知函数来支配（参见假设A3）。该功能可以在控制设计中取消。
在本文中首先介绍了一个观测器，给出了所有真实状态的估计，然后基于这个观点，设计的控制器保留了原点的平衡，并使闭环系统全局渐近稳定。
- 输出反馈控制设计
设计如下形态的状态观测器：
（3）
其中K=[k1,..kn]T和L=[l1,...ln=]T满足下面的线性矩阵不等式：
(4)
备注1：线性矩阵不等式(4)给出观察者设计参数向量K和L的集合，即K和L应被选择为使得这些线性矩阵不等式具有对称的正定解P和Q。对于满足线性矩阵不等式（4）的K和L，当没有不确定性时，观测器（3）将给出系统状态的开环渐近估计（2），否则，从以下分析，我们知道存在一个合适的控制观测器（3）将给出系统（2）的状态的闭环渐近估计。
对于所设计的状态观测器(3),有如下引理：
引理1：考虑非线性系统(1)(或者(2))及其状态观测器(3)。记观测误差为=x-.使得函数V0=TP满足：
（5）
其中，P和Q是满足（4）的对称正定矩阵，(y)起平滑作用，使得beta;(Y)=y(y)。
证明：由于空间限制，这里省略了证明。
引理2：因为在(5)中(y)y2 ge;0，则V0不一定为负定。也就是说，如果不施以恰当的控制输入，观测误差可能发散，即状态观测器不能实现对系统状态的重构。不等式(5)也表明观测器误差系统是输出到状态稳定的。因此，如果控制器被设计成使y和(y)y2都渐近稳定，则观察误差系统的收敛将得到保证，观测器（3）将给出真实状态的估计。
现在我们为系统(1)(或(2))设计控制器u(y，)，使得闭环系统全局渐进稳定。
称以下系统为“完整系统”：
（6）
其中phi;(x，)=gamma;(x)-gamma;( K(C-y))。
之所以称其为“完整系统”，是因为我们能够基于此系统实现文章早期所提出的控制目标：得到原系统的重构；设计输出反馈镇定控制器，保证闭环系统的全局渐渐稳定性。
定义新的状态变换：
（7）
并约定alpha;0=0，zn 1=0.此处，alpha;i(i=1，...，n-1)为待定的充分光滑函数，称之为虚拟控制；alpha;n=u(，y)为待定的实际控制；并且alpha;i(i=1，...，n-1)在原点处(=0，y=0)保持平衡性，即alpha;1(0)=alpha;2(0,,0)=...=alpha;n(0,0)=0。
在新变量z下，系统(6)变为
（8）
其中
显然，无论如何，系统（8）的子系统处于低形态三角形。因此，通过使用积分反推方法和矩阵技术，我们可以递归地构造以下形式的
（9）
z1=y,...,zi=xi-alpha;i-1,i=2,...,n-1 (10)
其中选择参数使得.
引理3：在设计时，我们使选取Lyapunov函数，并采用以下技术完构造矩阵，以稳定出现在中的
如果没有使用完全矩阵，则需要使用不等式：。
这将导致新的设计参数出现，并且控制系统的性能将衰减。
因为,并且根据积分反推方法，可以知道的表达式也可用于拟合。从（10）可以很容易地获得输出反馈稳定控制器u，
（11）
设计的虚拟控制器和实际控制器u使满足
（12）
下述定理概括了本文的主要结果。
定理1：对非线性系统（1），同样对于系统（2），如果假设A1，A2，A3成立，则基于观测器（3）的输出反馈控制（11）在原点处保持平衡性，并使得闭环系统渐进稳定。
证明：从表达式（11）中易知所设计的控制器在原点处保持平衡性。以下我们证明闭环系统的渐渐稳定性。
记。因为，很明显c＞0，进一步由式（12）得到：。
由此直接得到系统（8）的状态向量z及观测误差的渐进稳定性，即：
（13）
如果x为渐进稳定，则由及式（13），易得的渐进稳定性，即闭环系统的所有信号都是渐进稳定的。
现在证明x的渐进稳定性。由及式（13）知为渐进稳定的。假设为渐进稳定的，其中i=2,3,...,n。那么由和的充分光滑易知和 为渐进稳定的。因此，由归纳法， 为渐进稳定的。
- 仿真举例
根据第2节给出的设计程序，本节考虑了以下三阶非线性系统的控制设计，并说明了图1，图2，图3和图4的闭环状态和控制输入的动态行为。
（14）
设定系统（14）初始状态，观测器初始状态设计参数则系统仿真结果如图所示。仿真结果验证了结果的正确性，说明了所设计控制器的有效性。
图1 系统状态(实线)和观测器状态(点划线)
图2 系统状态(实线)和观测器状态(点划线)
图3 系统状态(实线)和观测器状态(点划线)
图4 系统状态(实线)和观测器状态(点划线)
- 结论
研究了一类非线性不确定性系统的输出反馈镇定控制设计问题。基于多变量的圆判据设计观测器给出系统全部状态的估计，进而得到观测误差满足的动态方程，然后利用积分反推方法，构造性的给出反馈镇定控制器的设计过程。所设计的控制器使得闭环系统渐进稳定。
沿着这个方向的进一步研究将是：（1）设计一个输出反馈控制器，系统输出渐近跟踪给定的信号 （2）当不确定性可以线性参数化时，设计自适应输出反馈控制器。
参考文献
1 Artstein Z. Stabilizations with relaxed controls.Nonlinear Analysis,1983,7(11):1163-1173
2 Ezal K,Pan Z,Kokotović P.Locally optimal backstepping design.IEEE Transactions on Automatic Control,2000,45(2):260-271
3 Kanellakopoulos I,Kokotović P,Morse S.Systematic design of adaptive controllers for feedback linearizable systems.IEEE Transactions on Automatic Control,1991,36(11):1241-1253
4 Khalil H K.Nonlinear Systems.3rd ed.Englewood Cliffs,New Jersey：Prentice Hall,2002
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