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在圆角滚压和弯曲疲劳实验中压敏屈服对曲轴截面应力分布的影响
摘要：
在本文中，首次提出了基于Drucker-Prager屈服函数和最近开发的各向异性硬化规则的对于主动屈服面在加卸载过程的演化方程。用户材料子程序基于各向异性硬化准则和本构关系被编写并输入商业有限元软件ABAQUS。在单轴单调和循环负载条件下，首先进行了一个简单的平面应变的有限元模型的计算。结果表明，各向异性硬化规则在非相关流动规则下把强度微分效应和非对称的闭合磁滞回线铸铁的单轴循环加载试验描述的很好。然后，进行了一个二维平面应变有限元分析的曲轴圆角滚压，随后弯曲被实施。为符合铸铁曲轴的压敏关系，疲劳的关键部位裂纹萌生根据压敏材料的应力分布与曲轴截面弯曲疲劳试验的试验观察一致。
- 介绍
汽车发动机的曲轴要经历的一个重要的循环载荷的检测。自从发现疲劳裂纹会出现在圆角附近从而导致一个汽车曲轴的主要机构失效，圆角滚压工艺被用来提高曲轴的疲劳寿命已经很多年了。根据最近的研究结果[ 5，1 ]，准确的预测在圆角面几毫米地方的残余应力的分布对确定疲劳破坏过程和在弯曲下曲轴截面的疲劳极限是非常重要的。关于应力集中系数、应力强度和曲轴疲劳强度的大量参考文献能从Choi 和 Pan 中发现。
铸铁由于机械性能良好和以低成本铸造成复杂形状的能力通常被用于汽油发动机曲轴。众所周知，由于石墨颗粒的存在铸铁的拉伸和压缩的屈服表现不同。拉伸和压缩的不同屈服行为可以通过压敏屈服函数建模。物质要素在圆角下表面轧制通常要服从循环加载/卸载条件。商业有限元软件ABAQUS等[ 6 ]在米塞斯屈服函数的基础上提供线性和非线性运动/各向同性硬化规则从而为不可压缩材料的循环塑性行为建模。利用ABAQUS非线性运动硬化准则模型建模循环塑性行为的限制在Choi 和 Pan 中得到讨论。因此目前的商业有限元代码不能用作在循环荷载作用下，拉伸和压缩屈服行为不同的材料的建模。
在单轴循环加载条件下，铸铁显示出起点重视的非对称形状的闭合磁滞回线。为了建模铸铁的非对称闭合磁滞回线几种不同的方法已经在文献中被提到。在Downing 和 Socie 中提出的在循环荷载条件下灰铸铁变形行为的三个决定因素是基体和石墨的弹性/塑性变形，内部石墨的约束效应和表面石墨薄片的脱粘。他们包含三个从实验中得到的符合非对称单轴闭合磁滞回线的贡献。Wang 和Brown介绍了一种内部状态变量的方法来描述有效的承载能力，这种方法描述其开/关的空隙/裂缝附近的石墨薄片下循环荷载的特征，并给出了非对称单轴闭合磁滞回线的实验结果。然后，他们应用了内部双轴循环应力应变状态的状态变量法研究在实验中观察到的行为。Rabold 和 Kuna中采用有限元法的单元模型法来模拟球墨铸铁的非对称磁滞回线。然而，研究结果将难以推广到多轴加载条件下的实际工程应用中。简单的唯象的屈服函数是比较容易的用于工程应用的。沿着这个方向，Hjelm在双轴应力加载和采用组合德鲁克和米塞斯–普拉格屈服函数来表征表面张力和压缩产量优势加载条件下确定了一个灰铸铁的屈服面。约瑟夫森等人采用两屈服函数与关联流动法则，非关联流动法则，普拉格运动硬化规律和非线性运动硬化规则建模了多轴循环加载条件下的灰铸铁。
屈服函数来描述压敏屈服的行为通常包括静液张力和不变的二次偏应力。然而，在关联流动法则下，压敏屈服函数通常会导致一种塑性膨胀，至少比实验观察大一个数量级。基于压敏屈服函数的非关联流动规则被采纳从而在单调加载条件下更准确的建模压敏材料的塑性行为。例如， Jeong 和Pan采用德鲁克–普拉格用非关联流动法则在单调加载条件下来模拟塑性屈服函数定位和压敏材料的裂纹尖端场。注意材料的稳定性问题在各向同性硬化和非关联流动规则中是由Stoughton 和 Yoon 解决的。
最近，Choi在总体屈服函数的基础上制定了一个广义的各向异性硬化规则去建模在Mroz 模型概念下材料的循环塑性行为。更多关于Mroz 规则及其变化以及线性和非线性运动硬化规则的参考可以在Choi中发现。基于Mises屈服函数、二次各向异性屈服函数和Drucker-Prager屈服函数的一维应力-塑性应变曲线封闭形式的解也来自并绘制给循环荷载条件下的材料。对于基于Mroz、Hill各向异性屈服函数和应力应变曲线的材料在单轴循环荷载条件和体量的假设下是适用的。对于基于Drucker-Prager屈服函数与相关流动法则和应力-塑性应变曲线的材料不关闭和显示
在单轴循环加载条件下的一个非常大的的棘轮效应。棘轮应变对于每个加载/卸载循环而言都是一个小的应变范围内的小的压力敏感值。异常大的棘轮效应反驳了在循环荷载条件作用下的实验观察的作为压敏材料的铸铁的近封闭的磁滞回线。Choi还研究了以Drucker-Prager屈服函数和关联流动法则为的基础的单轴循环加载条件和非对称几何的屈服面条件下的封闭形式的解决方案，为了去除大棘轮效应Choi还提出了一种各向异性硬化规律与常规和非常规的非关联流动法则。Choi表明，基于Drucker-Prager屈服函数和Mises塑性势函数的非传统的非关联流动可用于建模非对称性压敏材料封闭的磁滞回线。因此，自从当前商业有限元程序不提供循环塑性压敏材料如铸铁模型开始，在非常规非关联流动法则下Choi的各向异性硬化规律被采用去描述在圆角滚压过程中铸铁曲轴的压力循环塑性行为。
Choi 和 Pan采用的各向异性硬化规则基于米塞斯屈服函数，研究了曲轴圆角处圆角滚压和随后的弯曲下的应力分布。他们的本构关系基于皮尔士等人的切线模量法。而敏感率材料被制定和实施为用户材料ABAQUS的子程序。基于用户材料子程序的计算结果被观察到以一个小的敏感率代表不敏感率的计算结果去进行比较。基于 Choi的各向异性硬化规律和ABAQUS非线性运动硬化准则，曲轴截面在圆角滚压和随后的弯曲中的一个二维平面应变有限元分析被实施。这个计算结果表明，基于两者的硬化规律，他们的环向应力分布在释放后的辊和在随后的弯曲中是不一样的。
基于Choi的各向异性硬化和Drucker-Prager屈服函数规则本文研究的主动屈服面在卸载/重装过程的演化方程是首次提出的。基于非关联流动法则，对敏感率材料皮尔士等人的切线模量法被采用去得到本构关系。基于各向异性硬化规则的用户材料子程序和本构关系在商业有限元程序ABAQUS中被书写和实施。在单轴单调和循环载荷条件下，首先进行了一个简单的平面应变有限元模型的计算。然后，曲轴圆角轧制和随后的弯曲中，为了探讨压敏屈服和非关联流动法则对圆角附近应力分布的影响一个曲轴截面的二维平面应变有限元分析被实施。计算结果包括对于压力灵敏度类似铸铁曲轴截面的关系，并将计算结果与相应的曲轴截面的共振弯曲疲劳试验中的实验观察结果进行比较。最后，根据研究结果得出一些结论将会被执行。
2.Choi的各向异性硬化规律
崔和潘[1]推导的材料循环塑性理论是基于一般性的屈服函数，而不是仅限于过去普遍应用于研究中的只针对不可压缩压力不敏感材料的Mises与Tresca屈服作用。崔和潘[1]的循环塑性理论公式推导是基于压力不敏感和压力敏感材料两者在一般性的屈服函数下的科鲁兹模型。在初始加载过程中，，其中代表应力张量，代表应力率张量。屈服面在应力空间内各向同性地展开并适用各项同性硬化规律。当，中性线加载产生，不发生塑性变形。当，卸载过程发生。当卸载/重新加载过程开始时，线性或非线性运动硬化规律、科鲁兹规则及其变式以及崔和潘的各向异性硬化规律[1]可以用来描述卸载/重新加载过程中材料的各向异性硬化行为。
从对科鲁兹多屈服面模型下主动屈服面的观察，包括目前主流的屈服面以及更大尺寸的屈服面，通过考虑主动屈服面在卸货/重新加载过程中连续扩展，崔和潘[1]得到了一个简洁的主动屈服面演化方程。 如图1所示为在卸载/重新加载过程中主动屈服面基于崔和潘的各向异性硬化规则的演化过程。
如图所示，主动屈服面连续扩展，卸应力点始终作为其切向接触点，并且中心也连续地沿着曲线延伸，把卸载应力点和之前所能达到的最大屈服面中心接合起来。屈服面是用于在卸货/重新加载过程中，确定随后的塑性行为的记忆屈服面。注意，这里说的屈服面和都有取决于它们自身尺寸的加工硬化系数。卸载/重新加载过程一直持续到或时。当一个新的卸载/重新加载过程发生时，当前的成为另一个记忆屈服面。
图1.在卸载/重新加载过程中基于崔和潘[1]的各向异性硬化规则的主动屈服面演化示意图
如图1示，在卸货/重新加载过程中，对于记忆屈服面和主动屈服面的近似条件可表示为：
其中和分别代表记忆屈服面和主动屈服的尺寸，和分别表示这些屈服面的中心。沿主动屈服面和记忆屈服面的中心连线的演化方程可以由式1的推导得来。 公式1为：
其中主动屈服面中心的运动的标准矢量与Mises材料[37,38]偏应力空间下主动屈服面中心运动的相应单位矢量适用于相同的函数。
在卸载/重新加载期间，主动屈服面的一致性条件，为、和的函数，可表示为:
其中，不是一个常数而是在卸载/重新加载过程中不断地增加。将式（2）代入式（3）得到主动屈服面的尺寸增加率。
如图1中一个给定的应力速率下，新的主动屈服面的尺寸可以由公式（4）中尺寸增加率来确定，其中t表示时间。代式。将式（4）代入式（2）得到主动屈服面的演算方程如下：
注意，公式（5）中的演化方程不同于其在科鲁兹硬化规则的方程。图1中，在给定应力速率下当新的主动屈服面的尺寸由从公式（4）确定，其新的中心可以由公式（1）中的相似条件唯一地确定。因此，根据崔和潘的各向异性硬化规则，新的主动屈服面的中心并不需要跟踪公式（5）的变化，并存储每个计算步骤。
在复杂循环载荷条件下，可能需要额外的工作来保存记忆屈服面的记录。在复杂加载历史的情况下，可能需要存储大量的记忆屈服面来描述材料的行为。然而，如果记忆屈服面再次成为给定应力加载历史下的主动屈服面，记忆屈服面将从材料存储器中擦除，此时的主动屈服面会和比上述更大的记忆屈服面以同样的方式演变。当所有的记忆屈服面从材料存储器中擦除时，主动屈服面将如同在初始加载过程时遵循各向同性硬化规则。
在这项研究中，采用崔和潘的各向异性硬化规律[1]来表征基于米塞斯屈服函数的曲轴材料的塑性行为。选择米塞斯屈服函数的一个重要原因是，Abaqus中现有的非线性运动硬化规则是依据米塞斯屈服函数的。这样，基于各向异性硬化规则的计算结果可直接与基于非线性运动硬化规则的相比较。对于卸载/重新加载过程中，对于主动屈服表面的中心，米塞斯屈服函数可以表示为：
其中，是偏应力张量，是屈服面中心的偏离部分，是代表主动屈服面尺寸的广义有效应力。这里，和的定义，分别为：
其中，是克罗内克函数。
广义有效应力和广义塑性应变的关系通常是由单轴拉压应力应变关系来确定。大小为的屈服面的广义塑性弹性模量可以由广义有效应力和广义有效塑性应变的关系来决定。在初始加载时，Mises屈服函数中的广义有效塑性应变率可以由关联流动法则、等值塑性功率和广义有效应力的定义导出，如下：
有效塑性应变是由初始加载变形历程集成而来，如下：
根据公式（6）中的屈服函数，在卸载/重新加载过程中，主动屈服面的尺寸增加率，可由公式（4）推导：
由公式（5）推导得出主动屈服面中的演化方程，如下：
如前所述，式（8）给出了主动屈服面在卸载/重
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