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附录A 译文
一般QAM调制的最佳盲非线性最小二乘法载波相位和频率偏移估计
摘要——本文介绍了用于联合估计一般正交调幅（QAM）传输的载波相位和频率偏移的盲前馈非线性最小二乘法（NLS）估计器系列。作为Viterbi和Viterbi（V＆V）估计器的扩展，导出了一个基于星座的最优匹配非线性估计器，为了使其渐近（大样本）方差最小化。我们也提出了一类常规单项估计器。 这些估计量的渐近性能是以封闭形式表达式建立的，并与Crameacute;r-Rao下界比较。我们还实现了最佳匹配估计器，其是对后者的计算上有效的近似并且能够表示出可忽略的性能损失。 最后，提出了用计算机仿真来证实理论性能分析，并且表明所提出的最优匹配非线性估计器显着提高了经典的第四功率估计器的性能。
关键词——盲估计，载波相位，频偏，正交幅度调制（QAM）星座，同步。
- 引言
正交幅度调制（QAM）是一种高带宽高效率的数字通信传输技术。目前，大型QAM广泛应用于吞吐率高的高速通信应用，如数字电视和时分多址系统。与使用大型QAM调制相关的其中一个问题是载波恢复，出于效率原因，必须在不使用前导码[8]，[18]，[20]的情况下执行，即在盲或非辅助 （NDA）模式下。
载波恢复包括采集载波频率和载波相位。最近，在假设已经实现了频率恢复的条件下，在[3] - [8]，[12，pp.281-282]和[15]中报道了一些用于平方和交叉QAM调制的盲前馈相位估计器，并在[18]和[20]中对此进行了分析。这些估计器利用包含在接收信号的四阶或更高阶统计量中的角度信息。参考文献[20]已经表明，看似不同的估计器[3]，[12，pp.281-282]和[15]等同于标准的第四功率估计器，而估计器[5]与前一类[3]，[15]相比表现出了更大的渐近(大样本）方差。[8]提出了一种所谓的简化星座（RC）第四功率算法，略微提高了经典的第四功率估计器的性能。 然而，众所周知，在交叉QAM传输的情况下，RC和标准第四功率估计器都表现出相对较差的性能[8]。 此外，[8]分别在中等到高SNR水平和在交叉和方形QAM星座的情况下，引入了优于标准和RC第四功率估计器性能的两个信噪比（SNR）依赖性方法。然而，在方形QAM星座和低SNR的情况下，这两种方法的性能都不如第四功率算法[8]。
本文提出了一种NDA前馈非线性最小二乘法（NLS）估计器，用于完全QAM调制的载波的联合相位和频率偏移估计。所提出的NLS估计器代表最大似然（ML）估计器的低SNR近似的广义形式，其最初由Viterbi和Viterbi（V＆V）提出，是用于完全调制相移键控（M-PSK）传输的盲载波相位估计器[16]，[22]。文献中将该载波相位估计器称为V＆V算法[12，p.280]。基于V＆V算法，Efstathiou和Aghvami为16-QAM调制传输引入了盲载波相位和频偏估计器[6]，[7]，它们类似于RC第四功率算法，它们更强调信号星座中四个角点的权重。Morelli等人指出的这种解决方案在短时间内不能令人满意，并提出了一种新的盲目方案，并且其性能优于以前的方法[13]。然而，将该算法扩展到与16-QAM不同的一般QAM调制似乎并不容易。
在本文中，我们介绍了优化的“匹配”估计器以及用于一般正交和交叉QAM调制的计算上高效的近似匹配载波估计器。所提出的匹配估计器是基于星座的，并且采用最优法设计，使得它们的渐近方差最小化。将这些匹配算法的性能与根据[18]计算的Crameacute;r-Rao约束（CRB）进行比较，并且显示出在任何SNR水平下最优匹配估计器的性能相对于经典第四功率估计器表现更优异[较小符号误码率（SER）]，但其带来的巨大的改进是可很明显的，特别是在中等和高SNR方面。这里提出的估计技术是设计具有改进性能的盲载波同步器的非常通用而又统一的框架。一些现有的同步器[13]，[19]似乎可以作为我们所提出的估计框架的特殊情况来看待。
本文的其余部分安排如下。第二部分描述了离散时间通道模型。 第三部分介绍了一般方形QAM星座的盲NLS联合载波相位和频偏估计器系列。这些估计器的渐近性能是在闭合形式的表达式的基础上建立的，并用于开发显示最小方差的最优匹配非线性估计器。还提出了一类常规单项式估计器，并在闭合形式的表达式的基础上建立了其渐近性能。这类估计器在第四部分会进一步扩展到通用交叉QAM星座。在第五部分提出了一种统一的方法来设计上面提出的最优匹配估计器在计算上的高效近似。在第六部分，我们将用仿真结果来验证我们的理论分析，并表现该最优估计器的优越性能。最后，在第七部分得出结论，附录中附上了其性能分析的详细数学推导过程。
- 提出问题
我们假设有一个基带QAM通信系统，其中滤波在发射机和接收机之间被均匀地分配，使得整个信道满足第一奈奎斯特条件。在某个正确的时刻对接收机输出进行采样有1
（1）
其中， 是具有零均值和单位方差的独立同分布（i.i.d.）输入M-QAM符号流，表示符号周期，是一个独立于且方差的零均值圆白高斯噪声过程，且和分别表示未知载波相位和频率偏移，这些参数是仅基于知道接收样本而估计的参数。每个符号的SNR定义为。
由于输入QAM星座具有象限（）对称性，因此可以通过应用差分编码来抵消因和的估计值而带来的四重模糊度。不丧失一般性，我们假设未知相位在区间内并且。我们将要探讨的估计方法包括利用接收信号样本上的非线性变换来消除我们所不希望的由于发送随机符号由乘法调制引入的效应。结果显示，所产生的问题可以归结为估计附加噪声中的恒定幅度谐波相位参数的标准问题，为此可以开发出标准NLS型估计器，并且可以在闭合形式的表达式基础上建立其渐近方差。产生最优估计器的关键要素是选择最优非线性变换，使估计器的渐近方差最小化。
1符号:=代表“定义为”。
- 方形QAM星座的估计器
- 匹配非线性载波同步器
首先，让我们来考察方形QAM星座（即倍数）。归一化态量从集合中取值，其中并且。
用极坐标表示即为
（2）
通过非线性变换定义过程为
（3）
其中是一个任意实非负非线性函数。我们不久将说明可以理解为附加噪声中的恒定幅度谐波，并且可以从该恒定幅度谐波的参数（相位/频率）中提取未知载波相位。有趣的是，变换（3）与[16]和[22]中引入的非线性变换类别不同。这种差异是由于所有QAM星座表现出可转换成非零四阶矩阵（）的象限对称性，也因此可以证明出（3）中指数因子的特殊形式。
在发送信号上进行调整，通常以概率密度函数（pdf）分布。本文中，符号将代表某些随机变量（RV）的概率密度函数。根据式（2），有
（4）
其中和分别表示的幅度和相角。由式（4），不难推断出和的联合边缘概率密度函数的表达式(如式（5）(6)所示)：
其中，并且表示第一类零阶改良贝塞尔函数[1,等式(9.6.16)]。而且，根据式（1）（2），和独立同分布且相互独立，不难发现随机变量的联合概率密度分布函数满足如下表达式：
，且 (7)
利用式（5）并通过一些计算(其细节在附录I中提供)，将有以下关系：
(8)
(9)
其中幅度是一个与无关的实常数。因为和是独立同分布，且相互独立，由式（7）可知也满足广义静态（WSS）独立同分布。因此
(10)
并且可被视作一嵌在加性广义静态白噪声里的恒幅谐波。注意，一般来说，广义静态白噪声过程既不是高斯分布也不是圆[17]。
令且令为的试用值，并引入如下最小二乘法估计器（见例[2],[9]和[21]）:
(11)
(12)
通过令的梯度等于零，一些简单的代数计算表明的最小二乘法估计值渐近地等于以下估计值（见例[9],[21]）:
注意相位参数的最小二乘法估计值从幅度的估计值分离出去了[2]。从式（13）和（14）可以看出，总体估计过程包括两个步骤。首先，通过应用于序列的快速傅里叶变换算法可以有效地确定频率偏移的粗略估计值，该算法通常用足够多的零进行零填充以达到渐近CRB（）提供的精度。然后，通过插值或使用梯度算法获得精密的频率偏移估计。 最后，基于（14）可获得载波相位的闭合形式估计值，其假定了频率估计值的信息。 众所周知，估计器（11）渐近无偏差并且连续[21]。如果附加噪声近似为圆形正态分布，则可证明所得到的NLS估计器是渐近有效的，从而可达到ML估计器的性能[2]，[9]和[21]。如仿真实验所示，该近似对于低阶QAM星座（例如，四分之一PSK）而言是正确的，并且对于较高阶QAM星座，偏离圆度所占成分会变得更主要。
根据一个较标准过程（参见例[9]，[11]和[21]），可以得出估计值的渐近方差的闭合形式表达式。这些计算在附录II中已有说明，并在以下定理中进行了总结。
定理1：（11）-（14）中最小二乘法估计值的渐近方差由下列式子给出：
且在式（9）中已做定义。
附录I中的一些计算表明和并满足以下表达式：
其中对于有如下关系式：
并且。
从上述表达式可以看出的渐近变化与未知相位参数和无关。 将渐近方差（15）与CRB进行比较是有意义的。在[18]中，用于载波相位和频率偏移估计的CRB是针对完全QAM调制的载波导出的，并且迄今为止采用的符号如下面的大所满足的表达式：
其中对应于未调制载波的CRB，把实CRB的星座相关比表示为，并且可以通过数值积分或蒙特卡罗估计来评估[18]。基于（15）和（22），可以观察到NLS估计值的渐近方差以与CRB相同的速率衰减，即。
在没有频率偏移（）的情况下，所提出的NLS估计器（11）变成相位估计器
其渐近方差是对应于联合相位和频率偏移估计的情况的四分之一[18]，并且由下式给出：
接下来，我们确定最小化渐近方差（15）的最优“匹配”非线性函数。 由于在（15）中只有这些术语依赖于，所以要找到解决优化问题的最佳方法：
基于式（9），（16）和（17），通过使用Cauchy-Schwarz不等式可以获得最优非线性，并由以下定理给出。
定理2：将拟议的NLS估计器族（11）的渐近方差最小化的最优“匹配”非线性函数由下式给出：
其中是使非负的任意非零常量。
将式（25）回代入式（18） - （20），并将这些值代入式（15），对应于最优匹配估计值的渐近方差可以表示为
- 单项非线性估计
传统的V＆V类非线性依赖于单项式变换，并且与最优匹配估计器相比表现出计算上的高效率性和简单性。 在本小节中，我们导出了这类单项相位和频率偏移估计量的渐近方差的闭合表达式。将这类过程定义为
且零均值过程。如前所述，是恒定幅度谐波，因此可以理解为嵌入在附加噪声中的恒定幅度谐波。 作为（11）的一个特殊情况，我们引入以下类型的单项NLS估计：
其中的渐近方差由以下定理提供。
定理3：（28）中的NLS估计的渐近变量由下式给出
利用式（6）和[10，等式 （6.643.4）]，可以导出以下闭包表达式：
根据附录III，和可以用汇合超几何函数的形式表达如下：
应该指出的是，当是偶数时（通常是二的幂），遵循与[22]或公式[1，等式（13.5.1）]，可以得到比原来式（31）中汇合超几何函数略微更整合的表达式
类似地有
将式（30），（31）和（32）回代到（29）中，可获得渐近方差的闭合形式表达式。 注意，当时，相位估计器（23）只是第四功率估计器[3]，[12，pp.281-282]和[15]的标准形式，并且式（24）与先前在[20，等式（13）]中建立的表达式一致。
- 扩展到交叉QAM星座
按照与上述方法类似的方法，可以开发用于一般交叉QAM调制（即）的最优匹配联合载波相位和频率偏移估计器。观察到对于一般的交叉QAM星座，从集合中取一个值和能量归一化常数。因此，我们仍然可以表示出（5）和（6）中的联合和边际pdf。 类似地，对于第III部分提出的推导，通过考虑过程[见式（3）]，可以理解为总和（式10）。因此，不难发现，所有提出的用于方形QAM调制的估计器都可以应用于交叉QAM星座，并且渐近方差的所有表达式仍然是正确的，且没有任何变化。 常数是与星座相关的，它们的值可以依次计算得到。 由于页面限制，我们就不提供任何详细推导了。
在图1-3中，我们比较了所提出的最优匹配和单项估计量与SNR的理论渐近方差。图1描绘了相对于4-QAM调制的CRB（式22）（即）渐近方差（26）和（29）的性能损失。事实证明，所提出的最优估计器在高低SNR范围内接近CRB，并且在几乎整个SNR增益区域中，最优非线性可以被近似而没有太多的性能损失。 然而，对于较大阶QAM星座，不能得出相同的结论。假定采样数， 图2和图3分别表示出了16-QAM（平方）和32-QAM（交叉）的理论渐近方差。 由于和渐近方差之间的差异只是一个给定SNR的常数，所以只绘制（24）的方差。如图2和图3所示，可以看出，在低SNR下，最优估计器和第四功率估计器均能实现CRB，这意味着在非常低的SNR下，经典的第四功率估计器始终是
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