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基于小波分解和噪声类型检测的全频去噪方法
摘要:传统的小波阈值去噪技术假定噪声是在信号的高频带上扩展。然而，某些噪声可能不是这样的，而这些方法很少涉及低频带中的噪声。这促使我们研究新的方法来降低整个小波频段的噪声。因此，提出了一种基于噪声类型检测（FFD-ND）的名为全频带去噪的新框架。在此框架中，通过分析不同噪声的自相关系数来检测噪声类型，然后通过对不同噪声模型使用不同的阈值，在低频段和高频段都进行降噪。为了分析低频段去噪的必要性，我们首先研究了一些噪声模型的功率谱密度（PSD）和小波分解尺度之间的关系，发现大多数噪声并不是这样的，PSD下降随着小波分解尺度的减小。对于小波阈值，我们还发现，它不仅依赖于小波分解尺度，而且还依赖于噪声模型。为了自适应地确定阈值，我们提出了一种自适应方法，其中阈值在功能上取决于噪声模型，小波分解层数等因素。所提出的方法总是可以实现更好的性能，更低的计算成本和更少的分解尺度比高频去噪方法。我们还通过实验验证了我们的噪声类型检测方法的性能超过了基于神经网络的方法。
关键词:噪声类型检测;自相关;自适应小波阈值;全频除噪;降噪
1引言
由于许多随机因素的影响，从物理环境获得的各种信号可能包含干扰噪声，这可能会降低视觉和计算机化分析方法的性能[1-4]。因此，许多去噪技术被提出来解决这个问题[3-6]。一个去噪过程可以被描述为消除噪声，但不会使处理的信号变形。在所有的去噪方法中，小波的软硬阈值去噪是最先进的，它已被广泛应用于许多一维或二维信号[7-14]。阈值可以通过四种方式大致设定：通用阈值，Steins无偏差风险估计阈值，Heursure和minimax。从数学角度看，小波变换是被认为的一种近似方法，在特定空间中的小波基函数被用于扩展和近似。小波去噪方法是消除被认定为与噪声相关的高频域中的小系数，并且可以通过使用无噪声系数的重建算法恢复原始信号。
传统的小波阈值去噪技术认为信号能量主要集中在低频域，噪声能量存在于高频域。因此，基于小波阈值的去噪方法仅倾向于处理高频噪声而不是低频噪声。这些方法有以下缺点：
（1）不考虑低频域噪声的影响; （2）不认为小波阈值的值取决于噪声类型。因此，Mallat还指出，在早期研究中，我们不应忽视低频域的噪声影响[9]。为了克服上述问题，本文提出了全频降噪框架。在提出的框架中，首先检测信号中的噪声类型。然后通过使用全频降噪方法选择合适的去噪阈值导出自适应阈值函数。
本文的结构如下。第2节阐述小波阈值去噪方法和噪声类型检测方法。第3节分析了全频降噪的必要性。第4节讨论了不同噪声自适应阈值的计算方法，描述了去噪算法。实验在第5节中描述。最后，在第6节中得出结论。
2相关作品背景
2.1小波阈值去噪方法
经过小波变换的信号的系数通常很稀疏，特别是对于无噪声信号，因为它们大部分接近零。因此，具有小幅度的系数可以被认为是来自噪声，并且应该被设置为零。小波去噪过程由以下过程组成：（1）对原始信号应用小波变换，获得不同级别的小波系数序列; （2）为每个级别选择不同的阈值并消除噪声;和（3）通过小波变换的逆变换获得去噪信号。
有四种确定阈值的方法：通用阈值[10]，Stein无偏风险阈值[11]，试探法的Stein无偏风险阈值[15]和最大最小准则阈值[16]。
bull;通用阈值：这是最简单的小波阈值方法，它通过执行给定数据的小波变换，然后使用相同的阈值来处理扩展中的所有系数。它使用给定的固定阈值形式：
其中lambda;是估计阈值，N表示分析信号的长度，sigma;由下式给出：
其中x是对分析信号的细节系数进行的中值选择。
bull;Stein无偏风险阈值：Donoho提出了Stein无偏风险阈值，它描述了对每个分辨率级别使用不同阈值的方案。阈值为：
sure定义为
其中运算符Theta;(·)返回集合{i：|Xile;lambda;|}的基数.
bull;Heursure阈值：Heursure阈值是第一种和第二种阈值的结合。如果信噪比低，则使用通用阈值。否则，使用后者。
bull;最大最小准则阈值：Donoho提出的最大最小准则阈值M由一个最优阈值组成，该阈值是从上限中最小风险估计值得出的。所提出的阈值取决于可获取的数据和污染信号的噪声电平。
2.2.噪声类型检测方法
在先前的研究中，大多数检测方法是图像噪声的目标[17]；[18]。在[19]中，基于小波去相关提出了白噪声验证。小波变换后，噪声信号分为高频和低频部分，低频部分主要代表趋势或相关部分，而高频部分则代表细节。如果小波系数大于阈值，则将系数设置为零，它们应保持不变，然后重建小波系数以获得估计信号。这被称为小波去相关。基于小波去相关，可以检测噪声类型。即通过比较噪声信号的自相关系数与所有噪声的自相关系数之和，我们可以得出与最大系数对应的噪声是原始噪声信号所涉及到的噪声。
3为什么需要全频除噪？
根据“无自由午餐”理论，没有一个常见的无关噪声类型的去噪阈值能够很好地处理所有噪声的。这就是为什么我们需要为各种噪音设计不同的阈值，这是通过分析七种常见的噪声的特征来验证的的，即白色，随机，有色，粉红色，红色，蓝色和紫色噪声。
3.1功率谱分布
Welch方法用于估计噪声功率谱。首先将数据划分为单独或重叠的段，然后将每个段乘以窗口函数，之后执行离散傅立叶变换。从七种噪声的功率谱中可以看到以下特征：（1）白色和随机噪声的PSD在整个频带上保持相似; （2）有色噪声的PSD在低频和中频带也相似，但频率增加则降低; （3）粉红噪声的PSD主要分布在低中频带，随着频率的增加，每个八度的功率密度降低3db，可以用对数函数描述; （4）红噪声的PSD类似于粉红噪声;和（5）随着频率的增加，紫色噪声的PSD每八度增加了6db。它们意味着我们不能对不同频带中的每个噪声使用相同的阈值去除噪声。
3.2能量分配观点
通过使用coif1小波，将七种噪声分解成多尺度，并计算不同尺度的能量变化。 能量公式是
其中E定义能量，x是小波分解尺度，fx（t）是x尺度的子系列。
从图1（a）我们可以看出，白色，有色，随机，蓝色和紫色噪声的能量随着尺度的增加而减小; 而红色和粉红色的噪音在高频带中具有较少的能量，随着规模的增加，其能量的变化缓慢。 因此，可以在高频带内对五种噪声进行去噪效果较好。 高频段的红，绿噪声能量总是很小，对高频域的去噪声影响不大。
图1小波下的噪声在小波分解尺度下（a）高频和（b）低频的七个噪声的能量分布
从图1（b）我们可以看出，当尺度增加时，白色，有色，随机，蓝色和紫色噪声的能量逐渐减小。因此，对于四种类型的噪声，当低频带中的分解尺度为5或6时，去噪效果是完美的。对于紫色噪声，分解量越大，去噪效果越好。对于粉红色和红色的噪声，低频的能量约为高频的10倍，并且随着刻度的变化缓慢变化。
4基于噪声型（FFD-ND）的全频除噪声
4.1基于小波去相关的噪声型检测（ND-WD）
信号自相关系数通常用于测试信号的依赖性。 不同的信号具有不同的自相关系数，如图2所示。
图2七种噪声的自相关系数
如图2所示，可以看出，白色，随机和有色噪声的自相关系数相似，蓝色和紫色噪声的自相关系数相似，红色和红色噪声的相关系数也相似。实际上，七种噪声的自相关系数分为低频，高频和全频三种主要类型。这些角色构成了我们基于小波去相关（NTD-WD）的噪声类型检测的基石。NTD-WD的过程如下：（1）噪声信号通过小波阈值去相关; （2）计算自相关系数和距离平方和（SDS）与已知噪声的自相关系数的和；（3）通过使已知类型噪声之间的距离平方和的和最小化来识别噪声类型 和侦测信号。
距离平方（SDS）的总和可以写成
其中rho;1kk= 1,2，...，m是已知噪声的自相关系数，而rho;2kk= 1,2，...，m是小波去相关后噪声信号的自相关系数。 自相关系数可以如下获得：
其中。
4.2基于小波去相关的噪声测试
在Mallat小波分解之后，高斯噪声序列的系数仍然是高斯噪声序列[20]。 它们的自相关系数大致相等，其比例如下：
如果我们假设显着性水平alpha;，则可以从图F（m，m）的分布中获得临界值Falpha;; 如果结果大于Falpha;，则前一假设被拒绝，系数不需要去除。
4.3确定自适应阈值
根据上述分析，噪声的小波系数取决于噪声类型。此外，如果它是静止的和相关的，则小波系数的方差取决于小波分解的尺度，但在每个尺度内是恒定的。因此，对于每个规模的系数进行不同的处理是很自然的，并且使用基于规模的方法。从污染信号中去除噪声的方法是消除与噪声相关的小小波系数。通过许多试验，我们发现噪声阈值变化模式不仅由小波分解量表，小波系数数量和噪声水平决定，而且由噪声类别决定。我们发现噪声阈值与噪声密度成正比（与[18]相同），而与小波系数数的平方根成反比（因为序列的能量与其强度的平方和成正比）。因此，我们只需要确定噪声阈值和小波分解尺度之间每个噪声类别的关系。我们发现方程式（11）可以在给定噪声类别时完全捕获它们的关系，所以我们选择形式如E式（11），实验结果也进行了验证。
由于阈值平方与小波分解量纲的曲线近似为二次方，我们选择MATLAB函数fittype和fit来找到系数a，b和c：
其中lambda;l是级别l的阈值，sigma;是噪声强度估计，ml是级别l的系数数，a，b和c是参数。
因此，随后的去噪方法取决于具有明显不同阈值的小波分解的低频和高频部分。 在等式 （9），如果进化符号中的表达式小于零，则阈值为零。 与传统的小波去噪方法相比，自适应判断阈值的方法取决于噪声类型，幅度，频率和小波分解尺度，可以有效提高降噪效果，保持更有用的信号。
4.4基于噪声类型检测的全频除噪（FFD-ND）
在第3节的分析中，一些噪声，如粉红色和红色噪声，主要分布在低频带。如果仅考虑高频域中的噪声降低，则低频中的噪声将保持不变。为了提高降噪效果，本文提出了全频率（FFD-ND）中自适应小波阈值去噪的新方法，消除了高频和低频带中的噪声。该过程由以下步骤组成。首先，识别噪声类型。之后，针对识别的噪声类型的每个分解标度确定阈值，并且在低频和高频带中执行去噪处理。再一次，确定相应分解层中的序列是否仍然包含噪声。如果不包含噪声，则重构无噪声的序列;否则串行分解，按上述过程继续（表1）。
表1低频和高频不同类型噪声的阈值函数
注：HF表示高频带，LF代表低频带WN代表白噪声，RN代表随机噪声，CN代表有色噪声。
5实验和结果分析
5.1实验一：通过小波去相关检测噪声类型
为了测试小波去相关的效率，我们选择五种测试信号，四种信号来自MATLAB的函数，最后一个是sin（0.03t），它们由测试1到测试5.每个功能产生的采样数据为2048个。实验一执行如下：首先，将五种测试信号与七种噪声相加，形成35组噪声信号。然后，它们通过小波阈值去噪方法去相关。然后，计算去相关信号的自相关系数。接下来，SDS从35组去相关信号（图3，图4，图5，图6，图7）的自相关系数到7个噪声中的（图2）的自相关系数计算得到。最后，检测到的噪声类型是通过达到最小SDS的。从图3，图4，图5，图6，图7可以看出，白，随机，蓝，紫噪声的去相关的自相关系数曲线与图2相似。然而，与粉红色或红色噪声相比，包含粉红色或红色噪声的噪声信号的去相关的自相关系数具有相对较大的差异。其背后的原因是因为去相关方法是一种常用的去相关方法，其被设计用于高但没有低频噪声。从图3，图4，图5，图6，图7，从自相关系数到7种噪声计算SDS。检测到的噪声类型是SDS的最小值。结果示于表2，表3，表4，表5中，表6。从表2，表3，表4，表5，表6的水平方面，数字1,2,3,4,5,6和7是经测试的噪声，纵向是已知的噪声，数据是从所测试的噪声到已知噪声的自相关系数的SDS 。
图3去相关测试1信号的七种噪声自相关系数
图4
图4去相关测试2信号的七种噪声自相关系数
图5去相关测试3信号的七种噪声自相关系数
图6去相关测试4信号的七种噪声自相关系数
图7去相关测试5信号的七种噪声自相关系数
表2从7种噪声的自相关系数到测试1信号的SDS
表3从7种噪声的自相关系数到测试2信号的SDS
表4从7种噪声的自相关系数到测试3信号的SDS
表5从7种噪声的自相关系数到测试4信号的SDS
表6从7种噪声的自相关系数到测试5信号的SDS
从表2，表3，表4，表5，表6可以总结在表7中。在表7中，模型的有效率等于SD除以5.由此可见，涉及七个噪声的五个测试信号，噪声类型的检测效率都在50％以上。 从表2，表3，表4，表5; 表6中可以看出，白色，随机，蓝色和紫色的噪声都可以有效检测，效率为92％。 粉红色和红色噪声的检测效率为30％。 因此，ND-WD方法可以检测大部分噪声类型。 此外，在噪声型检测
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