Collective transport of Lennard-ones particles through one-dimensional periodic potentials*
The surrounding media in which transport occurs contains various kinds of fields, such as particle potentials and external potentials. One of the important questions is how elements work and how position and momentum are redistributed in the diffusion under these conditions. For enriching Ficks law, ordinary non-equilibrium statistical physics can be used to understand the complex process. This study attempts to discuss particle transport in the one-dimensional channel under external potential fields. Two kinds of potentials-the potential well and barrier-which do not change the potential in total, are built during the diffusion process. There are quite distinct phenomena because of the different one-dimensional periodic potentials. By the combination of a Monte Carlo method and molecular dynamics, we meticulously explore why
an external potential field impacts transport by the subsection and statistical method. Besides, one piece of evidence of the Maxwell velocity distribution is confirmed under the assumption of local equilibrium. The simple model is based on the key concept that relates the flux to sectional statistics of position and momentum and could be referenced in similar transport problems.
1. Introduction
There are three laws of transport in nature. The first law is Fouriers law, which describes how heat diffuses in a medium,while the second is Ohms law. The third transport law, i.e.,
Ficks first law, successfully explains the clear relationship between particle flux and concentration. If a transitory perturbation is induced, a relaxation process will revert the system
back to the equilibrium state within the relaxation time. If a ceaseless force is applied, the transport phenomenon occurs because of the ceaseless flux. In contrast to other deterministic analytical descriptions, Ficks law involves the statistics related to the second law of thermodynamics. What drives particles to transport? It is not that particles themselves push each
other to move, because each particle is independent, but only the probability.川Knowledge of transport phenomena through statistics might describe social phenomena in nontraditional physics applications. }2} Thus, diffusion is in the field of statistics. A system tends to come back to an equilibrium state when it is in a non-equilibrium state, and balances the entire distribution for more harmony.
The equilibrium adsorption and surface properties of the Lennard-Jones particle in one-or two-dimensional pores have been successfully predicted using a weighted density functional theory or molecular simulations. Next, we focus on the statistical physics of non-equilibrium states.In biology, equilibrium equals the death of the life, and non-equilibrium is very usual in the creature; the essence of chemistry process is non-equilibrium, because of no macroscopic chemistry in equilibrium. Nevertheless, solving problems involving the non-equilibrium state is so complex that one still needs to depend on experiments, the essential element provided by the development of the modern computer.
Let us disregard the fact that a particle is more or less affected by realistic forces, and then so many research studies based on Ficks law without any force spring up firstly.Liu et al. obtained the Fick diffusion coefficients in the liquid mixtures of equilibrium states. Chvoj has investigated diffusion transformations depending on the temperature. Furthermore, the diffusion issues mixed with external forces are becoming the hot points. Prinsen and Odijk calculated some of the parameters such as the collective diffusion coefficients of proteins, considering the interaction of electrostatic and adhesive forces. }g} Yu et al. }9} and Zhong et al. }} 0} also did similar work for the collective diffusion. Tarasenko discussed the collective diffusion in a one-dimensional homogeneous lattice.
However, the constrained motion is ubiquitous in the models for more intricate systems. Siems and Nielaba studied the diffusion and transport of Brownian motion in a two-dimensional microchannel, combining periodic potentials and forces.Given biological or soft condensed matter scenarios, both potential barriers and potential wells are of importance, as the external force is tangled in biological ionic channels, nanopores, and zeolites in materials science.}}3} Ions in the channel are accelerated or decelerated by electric force arising from electric charges around the ion channel. In the two-dimensional tube, the shape of the tube affects the diffusion as we11,as the particles are accelerated or decelerated in the direction of propagation, by reduction or increase in degree of freedom in the width of tubes, let alone in the case of a deformable tube.
In summary, diffusion coupled with the multifarious and composite forces, which is an interesting problem with practical applications, remains a challenge due to the major issue that the two fields of statistical physics that are reflected in stationary distributions, and molecular dynamics, which is reflected in particle transport, are difficult to combine.
Koumakis et al. used the run and tumble model to describe the kinetics of particles while traversing energy barriers. Our work is a series of experiments conducted by computer with the method used being very similar to Wang,Yu and Gaos work, which studied the transport properties of Lennard-Jones (L-J) particles and their mixture.}}}} We perform the simulation of particle transport in external potentials using Monte-Carlo method and molecular dynamics. More specifically, the particles with L-J potentials between one another move freely because of the concentration difference, as known from the Ficks law. There are also potential fields appended factitiously for the relationship tha
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一维周期势场中L-J粒子的集体输运
传输发生的周围介质包含各种场，如粒子势和外势。其中一个重要的问题是，在这些条件下，扩散的元素和位置以及扩散的动量。为了丰富菲克定律，一般的非平衡统计物理可以用来理解复杂的过程。本研究试图探讨在外势场作用下一维通道中的粒子运输。在扩散过程中建立了两种势阱和势垒，这两种势阱和势垒不改变总的势。由于一维周期势的不同，存在着非常明显的现象。通过蒙特卡罗方法和分子动力学的结合，我们细致地探索了为什么外部势场通过分段和统计方法影响输运。此外，在局部平衡的假设下，可以作为麦克斯韦速度分布的一个证据。这个简单的模型基于一个关键概念，这个概念将flux与位置和动量的分段统计联系起来，可以在类似的运输问题中作为参考。
1.介绍
自然界的运输有三条定律。第一条是傅里叶定律，它描述了热扩散，第二条是欧姆定律。第三条是菲克定律，它成功地解释了颗粒流和浓度之间的清晰关系。如果引起一个短暂的扰动，一个弛豫过程将使系统在弛豫时间内恢复到平衡状态。如果施加不间断的力，则由于不间断的流动而发生传输现象。与其他确定性分析描述不同的是，菲克定律涉及到与热力学相关的经济定律的统计。运输的动力是什么？粒子本身不会相互推动移动，因为每个粒子都是独立的，它只有概率性。统计学上的传输现象知识可以描述非传统物理学应用中的社会现象。因此，扩散属于统计学领域。当处于非平衡状态时，不对称地返回到非平衡状态，并平衡整个分布以获得更和谐的结果。
用加权密度泛函理论和分子模拟方法成功地预测了Lennard-Jones粒子在一维和二维孔中的平衡吸附和表面性质。接下来，我们关注非平衡态的统计物理。对生物来说，平衡等于生命的死亡，非平衡在生物中很常见；化学过程的本质是非平衡的，因为在平衡中没有宏观化学。然而，解决涉及非平衡态的问题是如此复杂，人们仍然需要依靠实验，现代计算机发展提供了基础。
让我们忽略一个事实，一个粒子或多或少地受到现实力的影响，然后许多研究基于菲克定律，没有任何力的影响。Liu等人得到了平衡态液体混合物中的菲克扩散系数。Chvoj研究了随温度变化的扩散变换。此外，与外力混合的扩散问题是研究的热点。Prinsenandodijk计算了一些参数，如蛋白质的集体扩散系数，考虑到静电和粘附力的相互作用。Yu等人和Zhong等人也对集体扩散做了类似的工作。塔拉森科讨论了一维均匀晶格中的集体扩散。
然而，对于更复杂的系统，约束运动在模型中是普遍存在的。Siems和Nielaba研究了布朗运动在二维微通道中的扩散和输运，结合了周期性的势和力。在给定的生物或软凝聚态情况下，势垒和势阱都很重要，因为外力纠缠在生物离子通道、纳米孔中，以及材料科学中的分子筛离子通道中的离子是由离子通道周围的电荷产生的电场加速或减速的。在二维管道中，管道的形状也会影响扩散，当粒子在传播方向上加速或减速时，通过喷射或增加管道宽度的自由度，更不用说在可变形管道中了。
总之，在实际应用中，扩散与各种力和复合力的耦合是一个有趣的问题，但由于反映在平稳分布中的统计物理和反映在粒子输运中的分子动力学这两个主要问题，扩散仍然是一个挑战，很难耦合。
Koumakis等人用跑滚模型来描述粒子穿越能量屏障时的动力学。我们的工作是用计算机进行的一系列实验，所用的方法与王、余、高的工作非常相似，研究了Lennard-Jones（L-J）粒子及其混合物的输运性质。[17]我们用Monte-Carlo方法和分子动力学模拟了粒子在外势场中的输运。更具体地说，由于浓度的不同，具有L–J势的粒子在彼此之间自由移动，正如菲克定律所知。也有人为附加的电位场，用于测量外部电位如何影响扩散系数的关系。
本文的结构如下。第2节用示意图和一些模拟元素描述了模型，包括外力场、内部粒子势、Metropolis和Verlet算法以及Fick定律。在第3节中，我们使用了需要简化的相关参数。模拟图第4节显示了扩散系数逐渐变化的结果。
2.模型和原理
特别地说，在亚细胞水平上，由于电荷引起的电场效应，离子不能顺利通过通道，因此在传质过程中应考虑电场。环境中的静电场和交流电场通常会影响扩散系数。当粒子在不同位置受到不同力的影响时，扩散变得更加复杂。例如在生物学中，周期管中的输运现象是一个模糊而复杂的集体扩散问题，同时在选择性滤光片或蛋白质通道中，势能或电场对外力场是特殊的，因为离子通过它输运。
特别是在离子波纹管中，粒子不可避免地受到外力的影响。图1（a）显示了观察到的生物离子通道的原型。图1（b）所示的等效一维模型以抽象的方式概括了这一点。在上面的示意图中，代表低浓度的粒子从高浓度的左侧到右侧的传输受到外部交变力的影响。这意味着，通道中的粒子穿过外部磁场，但不会在自身上下移动。通道周围的实际电荷决定了影响集体扩散的电位。当正离子通过通道时，如果通道周围的电荷为负，如图1（c）所示，电位形成一个阱。相反，如果它们是正的，如图1（d）所示，则场形成屏障。值得一提的是，该模型中的势能并没有改变粒子的势能，而是改变扩散系数，即扩散能力。
图1。在生物离子通道（通常像波纹管）中，离子不可避免地与通道（a）周围的电荷相互作用。该系统与粒子通过外部电位场（b）的通道一致。通常，如果电荷是一个电子，外部电位可以看作电位阱（c）。相反的，如果是活跃的，潜在的领域是一个潜在的障碍（d）。通道的两端是维持离子浓度的粒子库。
有限效应是许多物理系统的常见现象，例如热平衡和电平衡系统。因此，一个维度模型是有效的。在这个模型中，如图1所示，在左侧和右侧分别有两个粒子库。在这些颗粒储层之间，存在着一个一维的颗粒在储层之间来回输送的通道。其中，固定的边界根植于系统的左端和右端。借助Monte–Carlomethod方法，可以将每台机器的部件号保持在一个稳定的值。根据Lennard-Jones势描述了粒子与粒子的相互作用。Langevin random heat baths调节系统需求的温度，该速度是遵循麦克斯韦分布的微粒生态系统随机变量。分子动力学和Verlet算法可以预测所有动力学参数。程序集0.55f作为最后一步。如图所示，对于一维运动的粒子，内部势，具有多种参数的势被应用于该通道，当粒子自由运动时，它影响扩散。
当输运过程发生时，通道中的每一个粒子都会受到来自电势的外力。为了全面地反映这一情况，在计算中不仅引入了简单的势能三角函数，还引入了势能井和势垒。为了反映两种相反的情况，势阱使粒子落入沟道中的场中，势垒阻止粒子进入沟道。分别为势阱和势垒确定了外势为aw和ub。数学形式是
其中Fo是人为增加的外力的振幅；np是该力的周期；xr和x}分别是右侧和左侧的坐标；Uo是电位的深度或高度。它在精确坐标x上得到精确的势垒值，势垒的形式是势垒阱的对称性
metropolis算法是Monte Carlo方法中最著名的算法，用于控制颗粒库的浓度。根据大正则蒙特卡罗（GCMG）方法，要保持末端区域的化学势，需要每50个时间步进行随机粒子生成和删除试验。在一维储层中，两端是固定化的边界，储层中的颗粒量设定为N；但是如果粒子的数量小于N，系统可能会产生一个粒子
其中k是Boltzmanns常数，T是粒子库的温度，U是添加或创建粒子时能量的变化。
首先，当储层中的粒子数小于N时，储层的随机位置将产生一个粒子。但是，如果prod;U小于0，则概率变为1，这意味着可以接受新粒子的产生，并为该粒子提供一个服从麦克斯韦分布的新坐标和新速度。如果prod;U大于零，则必须在0和1之间创建另一个随机数P。只有当Pcrge;P时，新生成的粒子才是可接受的，其坐标和速度是根据exp的概率（－prod;U/kT）确定的；否则，它将成为不可接受的，新粒子将被删除。
相反，如果粒子数量大于N，系统可能会删除粒子。概率是Pdest = min，这个操作类似于以前的工作讨论过的情况。
在处理实际问题时，有必要在不同的材料中引入相互作用势。将Lennard-Jones势作为粒子在模拟扩散中的内势。
利用分子动力学的动态数据，如位移、速度和加速速度等数据可以得到。此分析是使用改进的Verlet算法执行的。
此外，基于有意义的扩散定律，即菲克定律，集体扩散系数D是一个重要因素
其中D为扩散系数，表示物理过程中的扩散能力，单位为m2/s；j为扩散的质量流量，单位为mol/m2·s；c为浓度，单位为mol/m3；L为通道长度。
相关参数定义
Lennard-Jones势的参数如下：氦原子m=1.67times;10-27kg，sigma;0=0.258nm，ε0=10.22k，K=1.38times;10-23j/K。模拟模型中的所有物理量都需要简化：相对原子质量m*是一个氢原子的简化；长度L*=L/sigma;0；温度为Tlowast;=T/ε0；浓度为clowast;=csigma;0；势能参数为εlowast;=ε/ε0=1和sigma;lowast;=sigma;/sigma;0=1；平均速度为prod;vlowast;=v（m/ε0k）1/2；势能为Ulowast;0=U0/ε0k；质量通量为jlowast;=jsigma;0（m/ε0k）1/2；集体扩散系数为Dlowast;=D（m/ε0k）1/2/sigma;0。
结果和讨论
为了研究不同的传质条件，分析了不同条件下的传质过程，如储层的平均浓度和微分浓度、外力的振幅和周期、通道的长度和系统的温度。改变某些条件会导致类似的扩散趋势，而不考虑潜在的井或屏障；然而，根据潜在的井或屏障，某些变化会导致完全不同的趋势。
给出了扩散系数与各参数之间的关系图。在模拟中，如果没有postscript，默认步数为8times;108，温度为300k，沟道长度为100nm，势场周期数为6。
一旦系统稳定了磁通量，它就会处于静止状态。非平衡态是一种特殊的稳态。粒子达到动态平衡，这意味着系统处于哈密顿量的最小极值，其中HN是一个N粒子系统的哈密顿量；p2 i/2m和phi;（ri）分别是单个位移ri中粒子的动能和势能，uij（ri，rj）是粒子。这两种电位是完全不同的，这种差异随着外电场的增加而增加；但是，在没有外电场的情况下，两者之间没有区别。
图2。在300 K、500 K和700 K温度下，外部电位场和扩散系数之间的关系。从图中可以看出，当电位为0时，电位井和势垒重合。势阱有利于粒子的运动和扩散效率，使粒子的势阱阻碍粒子的传输，降低扩散系数。
图3。（a）我们使用势阱中通道的每个小部分的密度和速度。为了比较实际flux-j，将密度和速度相乘，得到每个截面的其他flux，然后得到整个通道的平均值。从不同方法得到的两个flux值是一致的。然后j被翻译成Dlowast;。（b） 这一结果也发生在势垒中。因此，我们验证了在带外场的运输中j=rho;·prod;v。此外，在七势阱（c）和势垒（d）的输运沟道中，整个沟道的密度和速度的乘积rho;v仍几乎为常数。
非平衡态的每一个N粒子系统都由一个2iN维相空间来描述，其中i是自由度，N代表位移和动量（速度，如果是同一种粒子的话）的参数数目。为了理解在不同外势下处于稳态的系统为什么具有不同的通量趋势，有必要引入一个核方程：j=rho;·prod;v，其中j是通量，rho;是密度，而prod;v是粒子的平均速度。粒子流使空间分布均匀；粒子碰撞使速度均匀。由于非平衡态的存在，根据相干原理，j，rho;，v是输运通道中的常数。从图中可以看出，pi;v正好等于通量。外力作用下的扩散过程过于抽象，无法进行理论分析；然而，该方程建议将通量分为密度和平均速度。对粒子分布和速度统计的分析可以解释外力对扩散的贡献。直观地引入粒子分布可能是理解势下扩散的一种有效或更好的方法。从图4所示的粒子分布来看，图形的形状可能与电位的数学函数有关。
图4。200 nm长模型中颗粒的密度分布。从模型中重新剪辑的200个片段和从通道中分割的中间100个片段。势场的周期数为2。
两侧是具有恒定浓度的粒子库。如果没有外力的作用，高浓度区到低浓度区的分布是平滑的，没有波动。当力不是很大时，其分布达到外场的形状，但仍接近自由扩散。相反，当力相当大时，由于参考文献中引入的概率分布，形状由外部场支配，然后所有的峰值都将在水平线附近。
从图4所示的分布可以看出，当力增加时，由于分布接近于电势的形状，因此外部场应与差分浓度竞争。另一方面，当势能是由势垒或井引起时，其分布是完全不同的。当力增强时，势垒拱得更尖，阱陷得更深，所以势垒储存的粒子更少，阱储存的粒子更多。我们用这个假设作为集体扩散与外部势场相关的原因。
如果粒子仅由浓度梯度驱动而不受外力，则是经典的非平衡条件。但是，当外场对浓度梯度足够大时，可以忽略浓度梯度作为细节平衡。如果假定正则系综分布函数为主导函数，则问题可由微观局部方案中的平衡性来处理。在这种非平衡定态及其恒定分布下，流入局部位置的粒子数与流出的粒子数相等；粒子数在理论值附近波动。概率分布函数描述了平衡状态下相同粒子的布局
其中k是玻尔兹曼常数，T是介质温度，x是任意一组坐标，W（x）是改变状态所需的最小可逆功，[35]，这与从中可以提取的最大有用功有关。W（x）包括排斥每个粒子的L–J势。它的计算非常复杂，因此，理论结果依赖于仿真。
为了在局部范围内简化，粒子速度分布可以考虑接近平衡时的麦克斯韦速度分布
其中i是自由度，m是粒子质量，T是温度，k是玻尔兹曼常数，r是位置，nloc是局部密度，v是速度，T是时间（但是，稳态与时间无关），并且lt;vgt;是局部平均速度。假设局部平衡，nloc（r，t）和lt;v（r，t）gt;是位置和时间的函数。
在我们的结论中，平均传输速度只有几米每秒，而局部平均速度只有不到30米每秒。两者都小于通常的粒子速度，这就是为什么我们忽略了局
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