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HF97海洋声学实验中两种自由超参数稀疏信号处理的DOA估计方法的比较
摘要：在本文中，我们回顾和比较两个最新的超参数稀疏信号处理方法的性能，它们是基于稀疏迭代协方差的估计方法和基于稀疏贝叶斯学习的相关向量机方法，用于使用传感器阵列追踪多个信号到达方向（DOA）。这些方法以教程样式呈现给读者，以便于理解。由于它们是从数据自动估计的，正则化参数（超参数）的调整不是必需的，因此基于稀疏性的自由超参数方法在实践中是有吸引力的。DOA追踪问题被阐述为连续快拍估计问题，本文详细讨论了这些方法的实现，并使用均匀线性阵列进行模拟研究，根据DOA估计的均方根误差和分辨率来评估方法的性能，以确定何时一种方法会优于另一种方法。该算法还应用于1997年HighFrequency（HF97）海洋声学实验的被动声纳数据，以证明它们在真实水下情景中的可用性，以及它们对建模假设的鲁棒性。我们对这些对水下声学从业者很重要的方法的主要特征得出了新的结论。
关键词：压缩感知（CS），协方差拟合，波达方向（DOA）追踪，最大期望（EM），似然，相关向量机（RVM），稀疏性
- 引言
使用传感器阵列来实现多个信号的到达方向（DOA）追踪是通信系统、电磁学、声学、地球物理和地震传感、雷达和声纳信号检测、卫星系统和医学成像中最重要和经常出现的问题之一[1]。用于跟踪信号的时变DOA的最常用方法是基于信号或噪声子空间的跟踪方法[2] - [9]，基于机器学习分类器的跟踪方法，如神经网络和支持向量机[10] - [12]，和基于卡尔曼和粒子滤波的跟踪方法[13] - [18]。
与上述经典方法相反，基于通过将问题转化为稀疏信号恢复问题来识别DOA的技术由于其更高的分辨率，更强的噪声鲁棒性以及对于有限数量的快照的优越性能而受到越来越多的关注。这些算法基于压缩感知理论（CS）[19] - [22]，并假设空间域中信号的稀疏性。为了跟踪稀疏域中的时变DOA，可以将该问题表述为连续快拍估计问题，即针对每个快拍估计信号的DOA。几种确定性稀疏信号恢复算法，例如基追踪方法[23] - [26]，迭代重加权方法[27]和迭代重加权方法[24]可用于DOA跟踪应用。然而，这些方法的一个主要缺点是必须手动调整它们的正则化参数（超参数），这使得它们在实践中难以应用。
在本文中，我们回顾了用于DOA估计的两种最先进的自由超参数稀疏信号处理方法，即基于稀疏迭代协方差的估计（SPICE）方法[28] - [32]和基于稀疏贝叶斯学习的相关向量机（SBLRVM）方法[33]，[34]。它们基于两种不同的统计原理。SPICE基于最初在[28]中引入的加权协方差拟合标准，而SBLRVM基于最初在[35]中引入的贝叶斯证据最大化框架。在这些方法中，所有超参数都是根据数据自动估算的，这使它们在实际应用中具有吸引力。众所周知与传统的阵列信号处理算法相比[36]，CS算法对于有限数量的快拍具有优越的性能，因此它们可用于连续快拍的时变DOA跟踪应用，即对于每一快拍进行DOA估计。
我们在此澄清，研究人员之前已经提出了在确定性稀疏性方法中自适应地选择正则化参数的方法[37]，[38]，但是在这些方法中假设噪声方差是先验已知的，这一般是不真实的。基于同伦的算法也被提出用于在确定性方法中选择正则化参数[39]，但是这种方法假设信号的数量是先验已知的，这通常也是不真实的。这使得确定性方法不适合在实践中应用。本文讨论的方法是全自动的，噪声方差或信号数量不需要先验，这使得这些方法在真实的水下场景中具有吸引力。
此外，这些算法还可以扩展到跟踪宽带信号的DOA，宽带信号在水下声学中无处不在，我们最近已应用SBLRVM算法进行了宽带信号的DOA估计（见[40]）。在宽带DOA估计算法中，我们通过同时利用来自所有频率区间的稀疏性来估计一个空间功率谱。该方法是比使用基于窄带稀疏性的DOA估计算法估计的来自各个频率区间的功率谱的非相干组合更有价值的处理器。通过前一种方法获得的DOA相对更稀疏，并且与后一种方法相比，通过前一种方法估计的DOA和功率水平与传统波束形成器（CBF）更加一致。本文讨论的算法的优点也延续到宽带情况（参见[40]对此的讨论），而本文中我们只关注窄带情况。
本文的其余部分安排如下。在第二节中，我们描述了信号模型，并将DOA估计问题表述为稀疏信号恢复问题。我们在第三节和第四节中分别描述了SPICE和SBLRVM方法。两种算法都是由一般的多快拍情况衍生的。在第四节中，我们进行了一项模拟研究，以评估单快拍情况下两种方法的性能。最后，在第五节中，1997年HighFrequency（HF97）海洋声学实验中证明了算法在信号DOA跟踪中的应用。在第六节中我们总结本文。
二、数据模型
我们考虑一个均匀线性阵列（ULA），它由N个相同的传感器组成，传感器间距为d，接收K个远场平面波信号。我们假设我们已经采用快速傅立叶变换（FFT）预处理传感器阵列数据，即信号是窄带的。令表示对应于信号频率的波长。K个信号从方向到达阵列。使用复数信号表示，第j个时刻的阵列输出可以表示为[1]，[41]
（1）
其中，表示维阵列输出数据矢量，，，。这里表示第k个信号的方向矢量，由下式给出
（2）
其中，。这里表示转置。注意，方向矢量是归一化的，即，对于，，其中（·）H表示复共轭转置，表示复共轭转置。的矢量包含第j瞬间的K个信号的复振幅，矢量是第j瞬间的加性噪声。
在用FFT预处理传感器阵列数据之后，假定信号是零均值的静态随机过程[42]。此外，假设信号和加性噪声彼此独立。每个噪声矢量也被假定为零均值，固定随机过程。此外，假设噪声与感应传感器和测量之间不相关。
假设空间域中的稀疏性，即存在少量信号，我们将DOA估计问题表述为稀疏信号恢复问题。我们对角度进行离散化扩展并获得M个导向矢量，如下所示。令为的均匀离散角度扩展，令表示对应的导向矩阵，其中
并且
其中，。维矩阵包含了M个导向矢量作为其列，且。注意，包含信号的方向矢量，而包含DOA的导向矢量，其中信号可以存在或不存在。假设L快拍，即式（1）中的，我们构造矩阵X，其中如果在该导向方向上存在信号，则特定行包含对应于中的导向矢量的信号的复振幅，否则为零。注意，在X的任何特定非零行中，相应信号的复振幅是时间演变的，因此该行中的各项可以相等或不相等。我们假设存在少量信号，即X是行稀疏的。我们将阵列输出矢量表示为矩阵Y的列，将噪声矢量表示为矩阵N的列。因此，当，式（1）中的方程组可以等效地表示为
（3）
我们注意到，对于（3），目标是在给定观察矩阵Y和超完备矩阵A的情况下恢复行稀疏矩阵X的非零行，这导致了嘈杂的稀疏信号恢复问题。对应于矩阵X的估计的非零行的A中的导向矢量将是信号的估计DOA。我们现在讨论SPICE方法来解决（3）。
三、基于稀疏迭代协方差的估计（SPICE）
SPICE算法在[29]中提出。我们在这里简要介绍一下算法，建议读者参考[29]了解更多细节。
我们假设
（4）
其中，E表示期望。表示第i个传感器噪声序列方差，定义为,并且有
（5）
还假设信号彼此不相关且测量之间不相关，即
（6）
其中，是第i个信号的功率，定义为。这个假设只是为了方便起见，对SPICE的性能并不重要，参见引用的参考文献；另请参阅下文，了解有关此方面的更多评论。因此，渐近阵列协方差矩阵可以写成
（7）
其中，
（8）
并且
（9）
注意，在（6）中我们假设信号在测量之间是不相关的。还要注意，在（6）中信号在空间上不相关的假设通常是不正确的，即信号可以是相关的或甚至是相干的。然而，已知SPICE对信号之间的相关性是鲁棒的；参见[28]的理论解释和[29]的数值评估。（7）中渐近阵列协方差矩阵的公式是一种促进稀疏性的简单方法，我们将在后面讨论。我们将样本数组协方差矩阵定义为
（10）
SPICE基于以下加权协方差拟合准则（参见[28] - [31]，也可以在[32]看到关于这种协方差拟合函数的动机）
（11）
其中，F表示Frobenius范数，表示的正定方根，它被假设存在。我们的目的是估计（11）中目标函数中的参数，。值是信号的功率电平；因此，任何这些参数的高值将指示在相应的导向方向上存在信号，而这些参数中的任何一个零值或接近零的值将指示在相应的导向方向上没有信号。扩展（11）中的目标函数得到
（12）
其中，C独立于。因此，优化问题变成
（13）
（13）中的优化问题是凸的[29]，可以通过使用CVX包[43]来解决。但是，CVX求解器计算量很大。在这里，我们使用梯度最小化算法，这将在计算量更少。关于（12）中的衍生由下式给出：
（14）
因此，应用于（13）的具有可变步长的梯度算法的第次迭代是
（15）
其中，步长必须为非负。由于定义，因此我们必须选择使
（16）
让我们选择
（17）
意味着是非负的。将（17）代入（15），经过一些计算，我们得到
（18）
这意味着（16）满足。（18）中的算法就是SPICE算法。我们注意到使用上述梯度方法，的选择是灵活的，并且可以通过几种方式来获得（18）的替代算法[31]。（18）中的算法从任意初始化全局收敛[28]，[29]。我们注意到（13）中的第二项是参数的范数，已知它可以促进稀疏性[27]。有趣的是，SPICE也与平方根LASSO算法[31]有关，它为SPICE可以促进稀疏性这一事实提供了进一步的支持。
在[31]中已经证明了其他超参数稀疏信号处理算法，例如基于似然的稀疏参数估计（LIKES）方法，通过迭代最小化的稀疏学习（SLIM）方法和迭代自适应接近（IAA）方法是SPICE算法的变体。更具体地，（13）中的第二项中的参数被加权维1，可以使用不同的权重而不是1从而产生LIKES，SLIM和IAA算法（详情参见[31]）。在我们的HF97海洋声学实验数据分析中，所有这些算法产生了非常相似的结果，因此我们在本文中仅考虑SPICE。
四、基于稀疏贝叶斯学习的相关向量机（SBLRVM）
在[33]中提出了SBLRVM算法来解决与（3）相关的估计问题。这是一种基于最初在[35]中引入的贝叶斯证据最大化框架的全自动相关性确定算法。我们在这里简要描述这个算法，建议读者参考[33]了解更多细节。
1、SBLRVM模型
我们定义
（19）
我们假设每个是复高斯[42]，其中对角矩阵D包含未知的噪声方差。因此，对于每个，对，我们可以将阵列输出的似然写为
（20）
因此
（21）
我们为
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