离散分数阶变换的数字计算
I.简介
分数阶傅里叶变换[1]- [4]已经在微分方程求解[2]，[3]，量子力学和量子光学[5] - [11]，光学衍射理论和光束传播（包括激光）以及光学系统和光信号处理[1]，[13]- [25]，扫频滤波器[4]，时变滤波和复用[I]，模式识别[26]和研究时频分布[27]等领域得到了应用。近来被学者研究的Wigner谱的Radon 变换[28]- [30]也可以被理解为分数阶傅里叶变换的幅度的平方[1]，[31]。分数阶傅立叶变换与小波变换[1]，[32]，神经网络[32]也有一定联系。同时，也与各种chirp有关的运算有关[1]，[33]-[35]。它可以像通常的傅立叶变换一样在光学上实现[1]，[13]- [17]，[20]，并且正如我们将在本文中展示的那样，用快速数字算法模拟。其它目前正在研究的或者已经建议运用的领域包括：相位检测，信号检测，雷达，断层摄影和数据压缩。
在本文中，我们将关注分数阶傅里叶变换的数字计算方法的推导。我们不仅对计算连续变换的方法感兴趣，同时也定义了离散分数阶傅里叶变换，并展示了如何用它来近似连续变换。 更确切地说，我们会证明对连续信号的连续时间分数傅立叶变换的采样，可以用原始信号的采样来近似，时间复杂度为，其中N是信号的时间和带宽的乘积。
在许多上述应用中，可以通过使用分数阶傅里叶变换代替普通的傅立叶变换来提高性能。在本文中，我们将会看到，可以在与普通变换大致相同的时间内计算分数阶变换，因而这些性能改进不需要额外的开销。举这样一个具体的例子，在某些情况下，在分数阶傅立叶域，而不是在普通的傅里叶域中进行滤波，能够在估计失真并且包含噪声的信号时，降低均方误差[36]。
在第II节中，给出了有关分数阶傅里叶变换的初步讨论，包括它与Wigner分布的关系。在第III节中，回顾了计算分数阶傅里叶变换的一些简单但是效果不佳的方法。第IV节介绍快速计算算法，第V节给出仿真例子，第VI节讨论了备选方法，以更好地将建议的算法与其他可能的方法进行比较。第VII节详细讨论了定义离散分数阶傅里叶变换的问题。本文的其余部分为结论部分。
II.初步介绍
A.分数阶傅里叶变换
令表示的傅里叶变换。的整数次方，可以被定义为连续的进行多次变换。那么，我们有 和。阶数在上的函数的阶分数阶傅立叶变换可以定义为：
，
，
(1)
此处
(2)
这里的i是虚数的单位。 对于和，变换核分别接近于和。由于对于任何整数j，都是恒等运算符，而且分数阶傅里叶变换算子在指数上是可以相加的，因而定义很容易在扩展到区间[-2,2]以外，即。分数阶傅里叶变换的一组完整的特征函数是Hermite-Gaussian函数：
(3)
(4)
此处是阶Hermite多项式。线性变换核的频谱扩展是:
(5)
二维和更高维的变换[14]- [18]具有可分离的变换核，所以大多数结果很容易推广到更高的维度。 这些和其他性质的证明可以在[1] - [4]，[14] - [18]和[31]中找到。
函数的第阶分数阶傅立叶变换通常可以缩写为。
我们相信，最终“傅立叶变换”通常会更一般的以“分数阶傅里叶变换”来表示，而且当前所广泛使用的普通傅里叶变换应当被称为“一阶傅里叶变换”。同样，DFT应该表示离散（分数阶）傅里叶变换，等等，并且不应该再出现新的缩略语或者其他的缩写。
为了避免混淆，我们注意到，对于，分数阶变换退化到定义为普通的傅里叶变换，其定义为 。
B.与Wigner分布的关系以及分数阶傅里叶域概述
信号f的Wigner分布可以用时域来定义
(6)
粗略地说，是这样一个函数，它给出信号的能量随时间和频率的分布。Wigner分布的特性可以在[37]和[38]中找到。 我们注意到以下几点：
, (7)
, (8)
. (9)
Wigner分布也可以根据的任何分数阶变换来定义，并且可以写作平面中其他坐标变量的函数。 因此，它应该被认为是与抽象的信号有关的几何实体，并且不与特定域中的特定表示相关。
可以证明的Wigner分布仅仅是的旋转形式[1]，[4]，[18]，[31]。
. (10)
图 1.分数阶傅里叶域
同样的性质可以用替代形式[1]，[4]，[31]来表示
(11)
其中是Radon变换算子。 将二维函数的积分投影映射到与轴成一定角度的轴上。我们将这个轴称为轴或阶分数阶傅里叶域（图1）。轴是通常的时域，轴是通常的频域。我们注意到（7）和（8）是这个方程的特例。通常，Wigner分布在阶分数阶傅里叶域上的投影给出原始函数的阶分数阶傅立叶变换的幅度平方。
实际上，任何连续域都没有什么特别之处。 我们给时域和频域的特殊定义可以被解释为参数的来源的任意选取。 所有的分数阶变换，包括第0阶变换（函数本身），都是抽象信号在不同域中的不同函数表示。 这些不同表示之间的酉变换是分数阶傅里叶变换[1]。
C. 时域、频域及Wigner 空间中的紧性
一个函数将被称为是紧的，如果它的支撑集满足以下条件。函数的支撑集是实轴的子集，在其上，函数值不为零。换句话说，一个函数是紧的，当且仅当它的非零值被限制在一个有限的时间间隔内。众所周知，一个函数和它的傅里叶变换不可能都是紧的（除非它们都是0）。然而，在实际的实践中，我们似乎总是面对着有限的时间间隔和有限的带宽。当我们使用时间带宽积很大的信号时，通常，理想数值与现实之间的这种差异并不会带来问题。 时间带宽积可以定义为信号的时间与信号(双边)带宽的乘积。它等于自由度的数值以及唯一表征同一时间带宽乘积信号所需的复数个数。
我们将假设我们信号的时域表达式被大致限制在区间，并且它的频域形式限在区间。 对于这个声明，我们的意思是信号的足够大的比例的能量会被限制在这个区间内。 对于给定的函数，可以通过选择足够大的和足来保证。 然后我们定义时间带宽积，由于不确定性关系，它总是大于1。
现在让我们引入具有时间维度的缩放参数s并引入缩放的坐标和。 利用这些新坐标，时域和频域表示将被限制在长度及的区间内。我们选择，则这两个区间的长度现在等于无量纲的量，我们用表示。在新定义的坐标系中，我们的信号可以在两个域中表示，其中有个采样点，间隔为。
从现在开始，我们将假定已经执行了这个尺度归一化，并且出现在分数阶傅里叶变换的定义中的坐标、Wigner分布等都是无量纲的量。
如果信号在阶域中的表示局限于原点周围的特定间隔，则Wigner分布将被限制在垂直于该间隔的轴的无限的带状区域上。因此，假定所有域中的信号表示都被限制在围绕原点的长度为的间隔，这相当于假设Wigner分布被限制在直径的圆内，这意味着在该圆中包含着足够大的比例的信号能量。对于任何信号，这个假设可以通过选择足够大的来证明。（当然，我们希望选择得尽可能小一些，以减少计算复杂程度。）为了方便起见，我们将要求是一个整数。
那些能量不集中在Wigner空间的原点周围的信号可能比简单地选择足够大的来将它们包含在内更加有效，但本文没有涉及这种“带通”情况的扩展。
D.离散傅里叶变换
离散傅立叶变换（DFT）是 一种映射。变换矩阵的元素被定义为
（12）
DFT与连续傅立叶变换有关[39]：
假设函数和它的傅立叶变换 都限定在区间之内。然后，傅里叶变换的个采样点可以通过对原始函数的N点采样的DFT得到。这里，在时域和频域采样间隔为： 。
一个更精确的陈述属于一类称为泊松公式的关系[ 39 ]：
这里， ， 且。
III.计算连续分数阶傅里叶变换的方法
定义的积分式（1）几乎不能被解析计算，因此，需要进行数值积分。二次指数的数值积分，（在衍射理论中常常出现），如果采用常规方法，由于变换核的快速振荡，则需要大量的采样点。当A接近0或时，这个问题尤为突出。如果我们假定函数和它的傅里叶变换被限定在一个有限区间内，那么我们就可以围绕这一问题进行如下的操作：如果或，我们直接计算积分。如果 或， 我们运用性质。我们注意到，在这种情况下，第阶变换可以被直接计算。（一些基本上类似的问题在[ 28 ] [ 30 ]中有相应的内容）。
另一种对（1）的求值的方法是使用变换核的频谱分解（见(5)）[1]，[14]-[16]，这相当于首先将函数扩展为。扩展系数，分别与相乘,最后对各部分求和。
虽然两种对分数阶傅立叶变换求值的方法可能会得到准确的结果，但我们不考虑这两种方法，因为它们需要的时间。
IV.分数阶傅里叶变换快速计算
分数傅里叶变换是更一般的一类变换的成员，这一类变换有时被称为线性正则变换或二次相位变换[20]。这类转型的成员可以被分解为一系列的更简单的操作，例如chirp乘积，chirp卷积，缩放以及普通傅立叶变换。在这里，我们将专注于两种特定的分解，这将会产生两种截然不同的算法。
A.方式I
首先，我们选择将分数阶变换分解为一个chirp乘积，再做是chirp卷积，接着是另一个chirp乘积[17]，[39]的形式。
在这种方法中，我们假定，根据（1），我们可以写出：
(15)
(16)
这里 和代表了中间结果，且其中。
在第一步中（式（16）），我们将函数乘上了一个chirp函数。正如我们将在附录中讨论的那样，的带宽和时间-带宽的乘积是的两倍。因此，我们需要每隔对进行采样。
如果给出的的采样值是以为间隔的样本开始，我们可以插入这些样本，然后乘以chirp函数以获得需要的的采样。已经有一些有效的方法来实现所需的插值[40]。
下一步是将与一个chirp函数进行卷积，如（15）所示。 为了进行这个卷积，我们注意到，由于是带限的，所以chirp函数也可以用它的带限形式进行替换而不带来任何影响，即：
(17)
其中，
(18)
这里，
(19)
是的傅里叶变换。 可以更清楚地将用Fresnel积分的形式定义为：
(20)
现在，(15)可以进行采样，有：
(21)
该卷积可以使用快速傅里叶变换进行求值。
然后，在执行最后一步（见(14)）后，我们获得间隔为的的采样。由于我们假设的所有变换都是带限于区间，所以我们最终将这些样本2倍抽取，以获得以。
总之，程序以为间隔的N个样本开始，这些样本唯一表征了函数，并为以同样的方式返回的结果。如果我们让和表示具有N个元素的列向量，这些列向量中的数值为和的 采样，那么整个过程可以表示为
(22)
(23)
这里，和是表示抽取和插值运算的矩阵[40]。是对应于chirp乘积的对角矩阵，对应于卷积运算。我们注意到允许我们根据原始函数的抽样获得阶变换的 抽样，这是离散分数傅里叶变换矩阵定义的基本要求。
如果我们仅仅关心于计算和绘制给定的连续的分数阶傅里叶变换，那么可以去掉抽取和插值的步骤。
注意，所描述的算法适用于。如果超出此区间，我们可以很容易地使用性质和来获得期望的变换。
B.方式II
我们现在将注意力转移到另一种可行的方法。在这种方法中不需要计算Fresnel积分。分数阶傅里叶变换的定义式可以写成以下形式：
(24)
此处且。我们再次假设的Wigner分布在一个以原点为中心的直径为的圆周之外为零。（这在II-C节中详细讨论过）。在这个假设下，通过将阶数限制在区间内，由chirp调制产生的Wigner空间中的垂直剪切量以为界。然后，调制函数 在频域中带限于。 因此，可以用香农内插公式表示
(25)
此处。由于假定为在之外为0，因而求和范围为从-N到N。使用式(24)和(25)并变换积分和求和的顺序，我们得到了：
(26)
积分等于。在于的范围内，在变换后的函数的支撑集上总是等于1。 因此，我们可以写出：
(27)
然后，获得变换函数的采样：
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