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不等间距数据的最小二乘频率分析
引言 研究了不等间距数据的最小二乘频率分析的统计特性。结果表明，在高斯噪声的最小二乘谱中，在特psi;定频率下平方和的减少量是一个psi;2变量。不同频率下的降低不是独立的，因为在任意两个频率f1和f2处的谱的高度之间存在相关性，这等于在频率f2处由于频率f1的正弦信号而产生的谱的平均高度。这些相关性减少了受噪声影响的信号频谱的失真。文中还给出了最小二乘频谱特性的一些数值例子。
1 介绍
在天文学中，特别是在变星领域，经常需要分析未知周期的数据。对于以均匀间隔获得的数据，可以使用标准的分析方法，例如基于快速傅里叶变换的傅里叶方法和最近发展的最大熵方法。幸运的是，在大多数地面天文工作中，均匀的间隔是不可能实现的。观测必然局限于夜间，而且还受到天气、望远镜时间和被观测物体位置的限制。即使在观测的每个晚上，数据也很少是等距的。
一组非均匀数据的频谱比一组均匀数据的频谱要复杂得多，因为在分析等间距数据时，没有频率区域，而在分析中，周期是明确定义的。频谱中的每一个真峰都会产生许多其他不同高度的峰（别名），分布在整个频谱中。因此，由于可能与主峰的混叠结构相混淆，对于任何一个频谱计算都不能确定多个周期。必须通过从数据中连续减去先前发现的周期并计算“预白”光谱来找到后续周期。
计算非均匀分布数据频谱的最常用方法是周期图分析法。它忽略了不等距，并涉及计算正常的傅里叶功率谱，就好像数据是等距的，当然，不需要借助快速傅里叶变换算法。例如，Wehlau和Leung（1964）就使用过它。Gray和Desikachary（1973）设计了一种稍微修改的周期图分析形式，其中预白化是在频域而不是在时域进行的。然而，对于不等间隔的数据，傅里叶功率谱没有一个很好的定义。即使在包含一个正弦周期的无噪声数据的最简单情况下，最高峰值也不一定出现在正确的周期。使用周期图分析的唯一理由是，如后文所示，它提供了一个相当好的近似值，该近似值是通过将正弦波与数据进行最小二乘拟合，并绘制残差与频率之和的减少图而获得的频谱。这种最小二乘（或LS）谱（Barning，1963）提供了不同频率对数据总体方差贡献的功率的最佳度量，可以看作是Fourier方法对非均匀数据的自然扩展。在等间距的限制下，它降为傅里叶功率谱。
本文将研究LS谱的统计特性和性质。Vanirek（1971）提出了一种详细的最小二乘频率分析方案，即对每个试验频率，同时对所有已知数据成分的振幅以及正弦波的振幅和相位与试验频率进行最小二乘解。在大多数情况下，这种方案不会被认为是对简单LS谱精度的一个边际改进，而且会大大增加讨论的复杂性。然而，有人认为，至少对LS谱得到的一些结果可以应用于Vanirek的方法。关于LS谱的一些问题是：如果数据由高斯分布的噪声组成，那么在给定频率下谱高的概率分布是什么？考虑到数据中的正弦周期性会产生许多假峰，不同频率下噪声峰的高度之间是否存在相关性？由于正弦信号的存在，噪声对频谱的扭曲程度有多大？
2 LS谱公式
给定一组n个观测值yi，i=1，2......，n.平均值为零，在时间t1时得到，我们可以建立模型:
其中误差εi是独立的，均值为零，方差为sigma;2，a和b未知，并给出频率f。
采用符号
我们得到了正规方程
和平方和的减少
其中
虽然对于数值工作来说，使用方程的展开式是最简单的，但如果Delta;R（fnof;）可以用A2 B2的形式表示，则有助于LS谱的统计描述数据
数据，而不是
选择tau;，使得CS=0，然后我们得到
现在，例如
因此
当Delta;R（f）用这种形式表示时，与通常的周期图公式的相似性变得明显；事实上，周期图公式是对这个精确公式的近似。通过对tau;的所有值作出两个假设：CS=0和CC=SS=n/2，这两个假设都是近似满足的，则可以转换为
这是周期图分析中使用的公式。如果我们让
规范化谱函数可以定义为
p（f）值明显在0～1之间。
3 正弦信号产生的频谱
频率为f1的正弦信号可以表示为
如果gi是我们的观测值，也就是yi=gi，我们可以写出任意频率的f2
例如
并且
对于频率f2，平方和减少，使用方程
如果我们现在定义
类似地定义Qc1、s2、Qs1、s2等（当我们讨论LS谱对随机噪声的响应时，这个符号的原因将变得清楚）；并且还定义
我们有
现在平方和
如果选择tau;1使得C1S1=0。归一化光谱变为
PG（f2）的这个值将随着A与B的比值的变化而略有变化，也就是说，随着信号相位的变化。找出平均值
上式变为
信号相位变化时的平均值为
方程完全描述了正弦波引起的频谱。然而，它们是相当复杂的，因此为了得到正弦波的规范形状的定性图像，有必要通过一些近似来简化它们。通过对tau;的所有值进行CS=0和CC=SS=n/2的近似，我们达到了用周期图分析表示的近似阶段。然后可以证明上述两方程减少到
其中当tisin;{t1，t2......tn}时，W（f）是观测窗的傅里叶变换，它是一个函数。
4 随机噪声谱
如果序列ui，i=1，2.....n, 从均值为零且方差为sigma; 2的正态分布总体中构成随机样本，然后取Yi=ui
也是正态分布的，其平均值或期望值由
以及它的变化
在这些方程中，我们忽略了涉及E（ui）的项，因为它们等于零，所以
函数S（f）正态分布，均值和方差均为零。C（f）和S（f）的协方差由
因为选择1:是为了CS=0，所以C（f）和S（f）是独立的，Delta;RN（f）=C2（f） S2（f）是一个2倍的chi; 2变量，有2个自由度。
从以上结果可以看出，随机噪声的频谱是一组峰值，其高度由chi; 2分布决定。然而，我们在讨论正弦曲线的频谱时发现，每一个真峰值都会产生许多其他峰值（别名）。因此，假设每个噪声峰值都与频谱中的一些其他峰值相关是合理的。
考虑噪声谱中C（f1）和C（f2）之间的相关性
但这已经被定义为Qc1,Qc2。所以
同样地，对于C（f1）和S（f2）之间的相关性，等等。如果我们称之为f1和f2的光谱水平之间的相关性，那么Q12
现在，利用这个事实
因为chi;2变量的方差等于4，所以我们有
附录中显示
最后，我们得到
因此，频率f1和f2处的噪声谱的高度之间的相关性等于频率f2处的正弦曲线的谱的平均高度。注意，从方程中可以看出，Q12也是PN（f2）上PN（f1）和PN（f1）上PN（f2）的回归系数。
5 噪声对正弦波频谱的影响
令
又
Ui是正态分布，E（ui）=0，E（ui）=sigma;2。在方程式的帮助下，给定特定频率f2的平方和的约化
而
展开，我们发现
式中，Delta;RG（f2）是在没有噪声的情况下由信号引起的平方和的减小，Delta;RG（f2）是在没有信号的情况下由噪声引起的减小，Ia（f2）是信号和噪声之间的相互作用项。Ia（f2）由
由于R平方和等于RG RN，其中和，归一化谱可以写成
而
在上式中，第一项是常数，而第二项的统计特性在前一节中讨论过。现在我们来讨论方程中的第三项。由于UC2和US2是正态分布和独立的（如前一节所示），Ia（f2）是一个正态变量，其均值和方差均为零，则有
Ia（f1）可以用比等式稍微简单的形式来表示，因为GCI=aC1C2和GSI=bS1S2，并且一些因子被抵消了。因此
与Ia（f2）类似，它是一个正态变量，均值和方差为零，由
为了找出Ia（f1）和Ia（f2）之间的相关性，我们需要它们的协方差，利用方程可以得到
我们现在可以找到Ia（f1）和Ia（f2）之间的关系。它是由
Ia（f2）对Ia（f1）的回归系数为
我们现在知道方程所有三项的统计行为，我们可以考虑p（f2）本身的统计行为。具体地说，我们希望得到p（f2）的期望值，因为p（f1）受到噪声的影响。
让
取pN（f1）=x和Ia（f1=y），那么
其中我们使用了前述方程并且在前一节中证明了Q12是pN（f1）上pN（f2）的回归系数。方括号的内容可以重写为Q12x （1-Q12）x。很明显，第二项只能假设与第一项的可能值相比较小的值，因此我们将使第二项近似为零。当Q12接近1时，该近似值的精度将明显提高。由方程可知，Q12=PG（f2），近似等于PG（f2）。因此方括号中的项减少到~pG（f2）x，如此
第一项的方差为零，第二项的方差很容易表示为1-PG2（f2）的函数，第三项的方差为（1-PG（f2））PG（f2）的函数。上式变为
最后我们发现
p（f2）/p
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