修改的螺旋齿轮的参数化建模与接触分析

绪论

在齿轮加工过程中，由于齿轮啮合刚度的变化、齿轮啮合刚度的周期性变化、齿轮啮合刚度的周期性变化、齿轮啮合刚度的周期性变化和齿轮啮合刚度的周期性变化等诸多因素的影响，在安装时出现了中心距偏差和平行度偏差。将导致齿轮啮合干扰、冲击和不平衡载荷。齿轮变速器作为解决上述问题的有效方法，在高速重载齿轮传动中得到了广泛的应用。

因此，有必要对齿轮副的参数化建模和动态分析方法进行研究，包括剖面修改和纵向修正。为准确分析齿轮啮合性能的影响以及合理的修改方法和修改参数提供了理论依据。

许多学者在齿轮改造方面进行了研究。Xiao基于数字化共轭曲面理论，建立了圆柱直齿圆柱齿轮的齿面方程。Tang和Wang推导出了纵向冠齿圆柱齿轮的齿面方程。Guru-mani的工作涉及纵向冠直齿轮的静态接触分析。对于斜齿轮副，Wu根据compre研究了斜齿轮的齿形修正。

沿齿轮啮合线的弹性变形。Wang基于剃齿加工方法，推导出齿形齿轮齿面方程。Hsu、Fuentes和Li通过刮削和成形磨削加工方法，得到了螺旋齿轮的齿面数学模型。Litvin模拟了螺旋齿轮的啮合过程。采用纵向冠状结构，对螺旋齿轮的静态接触特性进行了分析。在齿条铣刀与加工螺旋齿轮的共轭啮合关系的基础上，黄实现了齿面方程和造型，包括齿尖修正和纵向凸面；然而，对螺旋齿轮副的数学模型和动力学分析缺乏研究，同时还包括叶尖修正、根修正、端修正和纵向凸面加工。

我们的目标是提出一种齿形数学模型。非修正渐开线,尖修,端修和圆角根据微分几何和齿轮几何,和开发修改斜齿轮参数化建模程序获得准确的动态分析模型,它将应用于辐射噪声预测齿轮系统的进一步研究,将装配和制造方面的考虑。

修改方法

在本研究中，图1显示了螺旋齿轮的修改方法--轮廓修改，包含了齿端修整和根，以及纵向修改，包括齿端修薄和纵向凸面加工。

在这里，Delta; ra和Delta; rf是有区别的，齿端和齿根修整的深度亦然；h ra和h rf代表齿端和齿根的修整高度；d a和d f表示齿顶圆直径和齿根圆直径；d ra是未修改渐开线区域内最高点的直径；d rf1和d rf2分别是齿根修整的最高点和这个区域最低点的直径；L表示齿高，C为纵向冠层数，B为齿宽；l表示齿宽位置任意截面的修改宽度；Cc是齿宽位置任意截面的纵向凸面加工量；l 0是未修正纵段宽度的一半。当l 0 = 0时，纵向修正方法为圆形曲线凸面加工；当l0 gt; 0时，它变成了齿端修薄，圆弧作为最终的修正曲线。

齿条刀参数

从齿条铣刀与齿轮的啮合关系，得到了改进的螺旋齿轮齿廓是基于齿条铣刀横截面，因此，齿条铣刀的参数在横截面上，在螺旋齿轮的齿形方程获得之前应该计算。齿条铣刀的横向齿廓与普通齿廓不同，而刀尖在横断面为圆弧，在横截面为椭圆弧形。

正常的参数

在图2中，齿条铣刀正常齿廓的几何形状，一般坐标是OnXnYn 。这里，Oc是刀尖圆的圆心；A表示刀尖圆弧与过Oc横线之间的交点，并与X n轴平行；B是刀尖圆弧和刀具线段的切线点；C表示线段的任意点；D代表齿条铣刀正常齿廓根部的一个点；s描述了x轴上点B和C的阴影之间的距离

直线BD的方程可以描述为

这里，alpha;n1正常压力角,M n是正常的模块，X n是径向变位系数。

基于点O c的坐标(pi;m n /2, -(h an * c n * )m n rho; x n m n )，线BOc的方程导出如下

这里h an *是齿顶系数，c n *是叶尖间隙系数，rho;是圆角半径,它可以表示为：

将Eq.(1)与Eq.(2)结合，得到的交点B的坐标将如Eq.(3)所示：

因此，点B和C的阴影之间的距离在x轴中取值为：

横向参数

齿条铣刀横向齿廓几何形状的修正，由直线I、II、III和刀尖椭圆弧组成，如图3所示。

线I, II和III分别产生了非修正侧翼的齿廓，齿端修正和齿根修正，刀尖椭圆弧线包裹着鱼片的轮廓。B是刀尖椭圆弧线和根修后第三线的切点。直线I和线III的交点是在根修后的点C。D代表齿尖修正后齿条铣刀横向齿廓的根点。E是在根修之前，由刀尖圆弧和齿条切割线段相交而成的切点。在齿尖修正后线I和线II的交点处为点F。

在齿轮无根修的情况下，假设刀尖圆心在横截面上呈椭圆形，横断面为O e (y e , x e )，可以得到椭圆方程如下。

椭圆的切线方程是

其中alpha;t1是端面压力角，c是刀尖椭圆长轴，c = rho;/cosbeta;，d是刀尖椭圆的短轴，d = rho;，beta;是螺旋角。

将Eq.(5)与Eq.(6)相结合，就可以得到线O e E和BE的长度，如Eqs. (7) 和 (8):

对于有根修的齿轮情况，用类似的方法，我们可以得到：

这里d′是刀尖椭圆的短轴，有根修，；c是刀尖椭圆长轴，有根修，c′=d′∕cosbeta;；at3和an3分别是线3的横向和正常压力角

这里，Delta;2是齿条刀齿尖修正的深度，h 2是齿尖修正的高度

因此，x轴上点B和C的阴影之间的距离计算为：

对于齿尖修正的齿轮，线2的横向压力角如下：

这里，Delta;1是根修深度，h 1是切刀根修的高度。

齿面方程

单位法向量

改进的螺旋齿轮的坐标系统如图4所示。

S 0 (O 0 - x 0 y 0 z 0 )表示固定坐标系与齿条铣刀横向连接，y 0和z 0位于齿条铣刀俯仰平面上，x 0定位于齿条铣刀横向剖面的对称面，也垂直于齿条铣刀的俯仰面，坐标原点Oo位于齿条的中间宽度，S 1 (O 1 - x 1 y 1 z 1 )表示移动坐标系与齿条铣刀横截面的连接，y 1和z1分别位于齿条铣刀俯仰平面上;x 1为齿条铣刀横向齿廓的对称面，垂直于齿条铣刀的俯仰面，S 2 (O 2 -x 2 y 2 z 2 )是将坐标系统连接到斜齿轮的横截面上，S 3 (O 3 - x 3 y 3 z 3 )指固定坐标系与螺旋齿轮的横截面相连接，在这些坐标系统,r是齿轮半径，phi;是齿轮滚铣刀的旋转角。

在坐标系S 0中，假设齿条铣刀的齿轮面方程为Rs0，结合图3所示的齿条铣刀横向齿廓，非修正刀具的齿面方程，刀具根修，刀尖端修和刀头椭圆分别表达为

这里，，l 1是位于直线CF上的移动点和点C之间的距离，l2是直线FD上的移动点和点F之间的距离，l 3是线CB上的移动点和点C之间的距离，l 4是刀廓上点F和点B之间的距离，l 5是刀廓上C点与B点之间的距离，rc为纵向凸面圆弧半径，l z是坐标O 1和O 0之间的距离，theta;是刀尖椭圆曲线的角度参数，r e是椭圆的中心和椭圆弧线上任意点的距离，plusmn;分别展示在刀的左右侧。

在坐标系s中，关于非改性刀具，切根，铣刀齿形修缘以及刀尖椭圆的齿面方程为

利用从S 0到S 1的坐标变换，我们能够得到在横向坐标系统S 1中齿条铣刀的齿面方程Rs1如下：

这里，M10是转换矩阵

单位法向量

n¹_s1，n²_s1，n³_s1和n⁴_s4分别表示非改性刀具齿面的单位法向量，刀根修，刀尖修和刀口椭圆，可以表示为

相对速度

V¹_s1，v²_s1，v³_s1和v⁴_s1分别表示非修正刀具，刀具根修，刀具尖修，刀尖椭圆和螺旋齿轮之间共轭点的相对速度，可以表示为：

这里，omega;是齿轮的角速度，phi;1,phi;2,phi;3和phi;4表示修改的齿轮滚铣刀的旋转角。

啮合方程

根据微分几何和齿轮几何运动学，给出了啮合方程在 [14]

例如，对齿条铣刀的非修正剖面结合Eq.(17)和Eqs.(18)和(19), 我们可以得到

齿廓方程

利用从S 1到S 2的坐标变换，我们可以在横向坐标系S 2中得到改进的螺旋齿轮的齿面方程如下：

这里，M是转换矩阵。

在坐标系S 2中，非修正侧翼R¹_s2的齿廓方程，叶尖松弛R²_s2，根修R³_s2和改进型斜齿轮的圆角R⁴_s2可以表示为

建模和分析

齿形生成过程

图5说明了修改方法，i.e.，齿端修薄的中心轮，有纵向凸面的行星轮，端修和根修。

本文以行星齿轮传动机构为例，采用改进的螺旋齿轮。改进的螺旋齿轮(小齿轮和齿轮)的主要设计参数为: 齿数Z 1 /Z 2 = 22/25，正压力角alpha; n = 20°，法向模数e m n = 7 mm，齿宽b 1 /b 2 = 52 mm/52 mm，螺旋角beta; = 21°，增编修正系数x n1 /x n2 =0.507 mm/0.4882 mm。根据非修正侧翼的齿廓方程，尖修，根修和之前得到的圆角，用高斯-牛顿数值方法求解了不同剖面之间的相交线。然后利用Matlab代码开发了改进螺旋齿轮的参数化建模程序，以得到改进的螺旋齿轮齿面离散点的精确三维坐标(3-D)。根修，端修和纵向凸面。现在我们可以利用我们研究小组开发的GEMTE软件，方便地获得齿轮模型。

在导入点集到Imageware软件后，建立了螺旋齿轮的齿面和纵断面，并对其进行了纵向修正。然后，通过将齿面导入UG进行缝合，形成固体模型，最后，我们可以实现一个精确的三维实体模型。

螺旋齿轮副的三维实体模型

图6(a)显示了中心齿轮的左、右齿面的离散点，在只有结根修的情况下，在图5中描述了实际的齿面。图6(a)中心齿轮两端的蓝点和红点分别描述了齿面和齿根的末端修正。为了直观地观察修改后的齿轮。

图7(a)描述了行星齿轮的左右齿面离散点面，图6(b)中显示的是末端宽0.4 mm的表面较大的版本，其中，实际的齿面被描述为图5中的参数。在齿顶和齿根处的蓝点分别显示了尖端的修正和圆角。红色的点显示齿面与未修改的侧面。绿点显示了根部的修正。为了直观地看到修改后的齿面，在图7(b)中表示的是厚度为0.1 mm和纵向凸面厚度1 mm的表面的较大版本。然后我们可以实现一个精确的三维实体模型，如图8所示。

动态接触分析

用LS-DYNA分析了改性螺旋齿轮副和非改性斜齿轮副的动态啮合性能。假设齿轮副在完美的标准化中心距离和方向上装配，在驱动力矩为2192 N·m(1.2倍额定功率) 时，中心齿轮转速为1000 rpm，在数值模拟分析中。利用固体元素Solid164生成齿轮副的有限元网格。为了方便地加载速度和转矩，齿轮副的内表面被称为壳体的刚性区域。之后，刚性区域内所有节点的自由度与刚体的质心耦合。在中心齿轮和行星齿轮和旋转自由度中，刚性壳元的所有平动自由度都是受约束的。速度和扭矩分别在中心齿轮和行星齿轮的刚性区域上加载。

齿轮的材料是17Cr2Ni2Mo(Chinese standards JB/T 6395-2010)，屈服强度R p = 790MPa，抗拉强度R m = 1200 MPa。齿轮副的材料特性是：弹性模量E =2.06times;10 5 MPa；泊松比PRXY = 0.3；密度rho; = 7850Kg/m 3。摩擦系数为0.10，接触方式为摩擦系数为0.10，接触方式为自动面对面。齿轮副的有限元网格，如图9所示，共有92546个节点和76140个元素，图9还展示了啮合齿对接触区域周围元素的详细说明。

图10和11分别描述了在瞬时0.004 s时动态的von Mises应力轮廓和修改后的非修改齿轮副的接触应力，, MPa作为图中的单位。结果表明，最大应力和非变形齿轮接触应力出现在尖端或末端，应力集中问题严重；经改进的螺旋齿轮的最大应力和接触应力有所下降；von Mises应力最大值为410 MPa，安全系数为1.93；接触应力最大值为481 MPa，接触应力是单向的；因此，齿轮副可以安全运行。中心齿轮的von Mises应力与行星齿轮不同，因为von Mises的应力是全面的，根据赫兹理论，太阳齿轮的接触应力等于行星齿轮。

来自Oswald[13]的数据被用来考虑我们手稿中方法的有效性。基于参考文献[15]，构造了齿轮副的三维有限元模型：法向模数m n = 3.175 mm, 齿数Z 1 /Z 2 = 28，正压力角alpha; n = 20°。在本研究中，齿轮副的转速为每分钟4000转在驱动力矩为79 N·m下。图12说明了正齿轮副的构造单元模型。

首先，在啮合齿周围，瞬时0.009 s时，动力学的冯米赛斯应力轮廓的正齿轮副如图13所示。

然后，图14对正齿轮副上的切点处的动态圆角和应力值进行了比较。

使用了30° Hofer的方法和Oswald的实验结果。基本上，他们之间的良好协议验证了所提议的方法的质量。图15说明了修正的和未修改的齿轮副的角速度。它提供了非修正齿轮副的角速度在啮合阶段剧烈波动。由于改进齿轮副的啮合冲击力较小，角速度的波动明显比非修正齿轮副的波动更大。

图16为不同凸面下齿轮副的中面宽度的动态圆角、应力时间曲线。结果表明，在完美的装配假设下，具有更大的凸面数的齿轮副会产生更大的动态圆角应力。由于更少的元件真正承受的施加扭矩，因为它的表面宽度。在实际操作中，由于中心距偏差和平行度偏差，采用了凸面修正来避免齿边接触。与此相关的调查将进一步进行。

结论lt;

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