Multi-objective Optimization of Crane Luffing
Mechanism Based on Gray Fuzzy Optimal Model

Fei Ye, Zhu Tianen, and Yu Haiyang

School of Traffic amp; Mechanical Engineering
Shenyang Jianzhu University
Shenyang, China
feiye_33@fastmail.fm

Abstract. Aiming at the problem that the traditional multi-objective optimization method is sensitive to the shape of the Pareto frontier and defect that can not guarantee to obtain Pareto decision solution, bases on the idea of system decision, combines the grey system theory and fuzzy comprehensive evaluation, establish grey fuzzy optimal model of Pareto solution and make a math demonstration about its correctness, while it gives the corresponding genetic algorithm. Project examples show that the model is practical and effective.

Keywords: hoist crane, luffing mechanism, genetic algorithm, multi-objective optimization.

1. Introduction

Generally a good design must embody the principle of the greatest benefit and least cost. In fact, optimum design is a multi-objective optimization problem. It has no unique optimal solution but has more satisfactory solution sets called Pareto optimal solution set [1].

At present, there are lots of methods to solve multi-objective optimal problems, they are divided into two categories: first, unified objective function method, integrating multiple objects into a new objective function to solve, obtain decision solution of the problem directly, it is a solution model that optimization searching after decision-making; second, Pareto set generation method, namely selecting decision solution of the problem according to some criterion after finding Pareto solution set of multi-objective optimization problem, it is a solution model that decision-making after optimization searching. Methods on the representative of two categories are linear weighting method and genetic algorithm based on vector evaluating mechanisms[2][3]. Linear weighting method for multi-objective optimization problem is simple and practical, but it is sensitive to shape of Pareto frontier in multiobjective problem, sometimes it discards decision optimal solution of Pareto frontier[4]; Non-inferior solution set generation method results in a Pareto solution set, it must make decision by virtue of preference information can we obtain optimal solution of engineering, actually this algorithm is complicated, it has been limited in engineering.

D. Zeng (Ed.): ICAIC 2011, Part II, CCIS 225, pp. 413-421, 2011. copy; Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2011

From the above analysis we know that each of two methods has respective advantage, but they also have dissatisfaction to multi-objective optimization of engineering.

Therefore, we can try to combine their advantages, design a simple and practical solving method which can be obtained arbitrary decision solution.

1. Pareto Solution Set of Multi-objective Optimization Problem
2. The Mathematical Description of the Problem

The multi-objective optimization problem is usually stated as equation (1):

min F(x) = (f1 (x), f₂(x),hellip;，f_n (x))

s.t.茗（x) = (a(x)，amp; (^，hellip;，^(工)）^。 (1)

x = (x₁,x₂, —,x_t) 6 Z

In this equation, x is design variable, F is object vector, g(x) lt; 0 denotes the feasible field of objective function.

1. Pareto solution of multi-objective optimization problem

It has given definition of Pareto solution of model (1) in literature[5][6]:If Vj , f (u) lt; f (v)and 3j , f (u) lt; f (v), j = 1,2,hellip;，n , u、v 6 Z ■

So we say that u is better than v. If there is no such a feasible solution u , we name v as non-inferior solution, valid solution, Pareto solution, fj (v)is called noninferior solution of objective space. The Pareto solution set of multi-objective optimization problem is constituted with all non-inferior solutions, there is no superior solution that is better than other solutions in all objects.

1. Pareto Solution Fuzzy Optimal Model Based on Grey Correlation Analysis

The convenience of linear weighting method for solving multi-objective optimization problem is making decision beforehand,then it can obtain engineering decision solution by virtue of single-objective optimization algorithm directly; the non-inferior solution set generation method can avoid losing decision solution effectively. Therefore, it integrates linear weighting thought into the non-inferior solution set generation method, and make decision during the process of searching the noninferior solution set. It involves a mass of fuzzy factors,grey information, this paper constructs the engineering decision model of Pareto solution set by grey system theory and fuzzy optimal method.

A. The grey fuzzy member ship of optimal model

The system is divided into white system, black system and grey system which between the white and the black system in accordance with the clarity of information that it expresses. Grey correlation is the basic concept of grey system, it meansuncertain correlation between things, between the factors or factors to main action, we call it as grey correlation [7]. Grey system theory thinks that it is impossible that any two behavior sequences are non-associated strictly. Therefore, grey system theory which adopts correlation analysis, compares and judges micro or macro geometry proximity to the behavior sequences, it is quantitative analysis for the dynamic development state of behavior sequences.

From vector angle and combining model (1), The Scheme F_t is defined by n

objects, to facilitate and call it short as: Fi = (/。1, /。2,hellip;，/0J.

After determining value of n objects, the advantages and disadvantages of the scheme

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起重机变幅的多目标优化机制基于灰色模糊优化模型

费玉清,周田，并于海洋交通与机械工程学院,沉阳建筑大学

feiye_33@fastmail.fm

摘要

针对目前传统的多目标优化方法是帕累托前沿和缺陷不能保证获得帕累托决定解决方案的形状敏感的问题，对系统决策的思想基础上，结合灰色系统理论和模糊综合评价，建立Pareto解灰色模糊优化模型，并就其正确性数学论证，同时给出了相应的遗传算法。工程实例表明，该模型的可行性和有效性。

关键词：起重机，变幅机构，遗传算法，多目标优化。

引言

一般来说一个好的设计必须体现最大效益和最低成本的原则。事实上，优化设计是一个多目标优化问题。它没有唯一最优解，但是有令人满意的解决方案集合，称为帕累托最优解集。

目前，有许多方法来解决多元目标优化问题，它们被分为两类：

（1）统一目标函数的方法，是多个对象整合到一个新的目标函数来解决，优化决策的搜索后直接获得该问题的决定的解决方案，它是一个解决方案模型。

（2）帕累托集生成方法，根据发现的Pareto解集的多目标优化问题，经过一些标准的问题，优化后的决策搜索即选择决定解决方案，它是一个解决方案模型。

两个类别的代表性的方法是线性加权方法和基于向量评估机制的遗传算法。多目标优化问题线性加权方法不但简单而且很实用，但它是在multinot;objective问题帕累托前沿的形状太敏感，有时丢弃帕累托前沿[4]的决定最佳的解决方案。在Pareto解集组非劣解集生成方法的结果，就必须凭借偏好信息来做出决定，这样我们可以获取工程最优解。其实这个算法很复杂，它已被工程限制。

D.曾（主编）：ICAIC2011年，第二部分，CCIS225，第413-421，2011.copy;施普林格出版社柏林海德堡2011

从上面的分析，我们知道,两种方法有各自的优势,但是也有不同与多目标优化的工程。

因此，我们可以尝试自己的优势结合起来，设计出任意决定解决一个简单实用的求解方法。

Pareto最优解集的多目标优化问题

1. 问题的答数学描述

多目标优化问题，通常表示为等式（1）：

min F(x) = (f1 (x), f₂(x),hellip;，f_n (x))

s.t.茗（x) = (a(x)，amp; (^，hellip;，^(工)）^。 (1)

x = (x₁,x₂, —,x_t) 6 Z

在此公式中，x是设计变量，f是对象矢量，g（x）lt;0表示目标函数的可行领域。

2. 帕累托解多目标优化问题

它给了帕累托解的定义模型(1)在文献[5][6]：

如果Vj , f (u) lt; f (v)and 3j ,

f (u) lt; f (v), j = 1,2,hellip;，n , u、v 6 Z ■

所以我们知道，如果u是比v好。没有这样一个可行的解决方案u，那么我们称v作为非劣的解决方案，有效的解决方案，Pareto解，fj（v）被调用的目标空间nonnot;inferior解决方案。帕累托解集的多目标优化问题，与所有非劣解构成的，没有卓越的解决方案，它比所有对象的其他解决方案更好。

基于灰色关联分析帕累托方案模糊优化模型

线性加权的方法解决多目标优化问题的便利决策事前的话，就可以获取凭借直接单目标优化算法的工程解决方案的决定,非劣解集的生成方法能够有效避免丢失决策的解决方案。因此，它集成了线性加权以为到非劣解集生成方法和搜索nonnot;inferior解集的过程中做出的决定。它集很多模糊因素，灰色信息，本文构建了Pareto解由灰色系统理论和模糊优化方法设置的工程决策模型。

1. 优化模型的灰色模糊隶属

该系统分为白系统，黑系统和灰系统，该系统的白色根据信息的清晰度，它表达了黑色系统之间。灰色关联是灰色系统的基本概念，它是指事物之间的相关性不明朗的因素或因素主要行动之间，我们称其为灰色关联度，在文献[7]中解释。灰色系统理论认为，这是不可能的任何两个行为序列非关联严格。因此，采用相关性分析，微观或宏观几何接近比较和法官的行为序列灰色系统理论，它是行为序列的动态发展状况的定量分析。

从矢量角并结合模型（1），该计划呎由n定义

对象以方便并称之为短：F0=（/.1，/.2,...,/0J。

确定n个对象的值之后，方案的优点和方案的缺点也被确定，因此该方案的优化将被转换为比较每个优点和每个对象的缺点。灰色关联分析的比较顺序是由此对象的值内选择方案。

它必须建立一个共有序列F0的方案相比，方案优化具有比较相对，因此，,它可以定义一个虚构的理想方案,这个方案的每个属性指数是相应指标的最优值,在所有的选择方案。指数序列即描述理想的方案。

^Fo hellip;，，。丄 ^among^: （2）

该指数更大更好

指数越小越好

通过相关分析比较序列和理想的共识序列的方案,获得计划指标的相关系数相对于其理想值文献[7]中介绍:

A . ZA

min ~ m （3）

A.. ZA

i] ~ ma

在该式中：

A min = minmin f〇 j - /i]

iem jen J J

Amax = maxmaxf〇j - fij

A] = |/〇. - /]I、 0 lt; Z ^拉斯识别系数，一般把它取为0.5

类型的含义式（3）的考虑影响之后，在所有的方案的每个对象被选择为i方案。对于J对象，这个方案可能达到理想方案的程度。因此，这也是其中的一些对象属于理想和最优的，本文称之为灰模糊隶属度对象的测量。它不仅考虑每个对象本身的影响，还考虑到相关对象在其最佳的隶属度^ 在的影响。因此，它体现了方案的整体性。

2. 灰色模糊优化模型

文献[8]中提出了一种基于重量方案模糊优化模型的推到，其基本思想是对方案的属性转换成相应的隶属度，然后根据不同程度的影响，各种属性的方案建立权重向量并形成方案的判断矩阵，;最优选择方案的隶属度的定义是间隔的最理想最优方案。由使用极值的方法,获得最佳秩序关系的各种方案,该方法的最优隶属度计算模型是：

1

u.=

ⁱ 1 [(1_/i)'i]

式中：ui是i相对于被选中方案的最佳隶属度

最理想的优化方案:

j=1

是权重属性的。环r {^是方案的各种属性的隶属度要相对于各自的最佳指标i选择。

根据文献[8]中介绍r）的。只是取决于客观的特征值的目标，但注意到其他的目标，因此它只是反映了其自身和部分信息，本文使用目标类型得到的相关系数[3]作为一个灰色的模糊隶属度,而不是文献[8]的隶属度,介绍了模糊优化模型类型(4),即成为基于灰色关联分析的模糊优化模型。

应该注意到，不同的客观属性，以不同的宇宙的话语一般，因此，首先我们必须消除维度的影响，并统一衡量尺度，即标准化处理进行客观的价值，保证判决其标准化的等价性，即描述理想方案的指数序列:

{f..lfy指数越大越好

y[f〇 j l fj指数越小越好

它表示同意，反对相对理想的指标，形成了理想的标准一致序列和序列比较，它们分别是：

^F: = (U hellip;I （6）

K = (X，fi2,..，0

根据上面，我们可以计算出各种方案的灰色模糊隶属度对象，被选中形成方案的判断矩阵Y=(Yj)mxn。因此，原有的多目标优化问题（1）换算成问最大的u {x式（4），称其为question⑴帕累托解决方案。

基于灰色模糊多目标遗传算法优化

本文提出的优化模型（4），函数的状态是不连续的，不能用传统的梯度优化算法。遗传算法是一种基于生物进化论的概率搜索技术，近年来开发的全局最优化方法文献[4]中介绍，因为只使用在搜索过程基于所述目标函数值的评价信息，它的剂量不是需要目标函数的导数的信息提供可能性的全局优化模型（4）。

1.判决操作

遗传算法的一个重要特点是人口的操作，这使得将出现在进化过程中的在每一代可行的一些解决方案。因此，灰色模糊优化模型引入遗传算法作为操作者，所以是方便的构造属性的序列方案被选中到每一代种群个体,计算隶属度相对于理想最优方案的适应度函数。遗传算法把它作为一个导航通过重复选择,交叉和突变,获得x使u最大的帕累托解的原始问题,我们称之为操作员决定运营商。这是灰色模糊优化基于多目标遗传算法。

2.算法实现

（1）计算出最优值的约束条件下求解,构建理想的共识序列,并使标准化过程次目标函数按照公式(5);

⑵编码：使用浮点代码;

（3）初始种群：随机生成的，规模的；

（4）经营者介绍：计算隶属度的u {不同的个体

根据方程⑷的人口;

（5）选择：选择利用轮盘赌的大小为m个人;

（6）交叉：个别是根据交叉概率以产生一个新的个体选定交叉;

（7）变形：个别被选择，根据变化的概率，以产生一个新的个体交叉;

（8）引进的新一代个人的决定运营商互相作用（5）（6）（7）来计算相对隶属度其中;

（9）判断结论的标准,如果满意然后停止,或(4)；

我们提出基于灰色模糊遗传算法优化模型,每一代的进化选择最好的所有人群运营商通过决定,从而避免问题的帕累托均衡面凸性和凹度的多目标优化问题,它仍然可以得到帕累托均衡面，虽然概率决定最优的解决方案。

起重机变幅机构的滑轮组补偿的5工程实例，多目标优化

1. 优化模型

滑轮组补偿装置的起重机起重负荷需求沿着水平变幅过程中,减少额外的惯性载荷的垂直方向和可变振幅能量消耗。因此,补偿滑轮组变幅机构的设计可以归因于以下多目标优化问题文献[9]中介绍:

（图。1.变幅机构用于补偿滑车）

min f1( X )=max Ah_a-min Ah_a min f₂( X) = max |d [Ah_a]/dt

min f3(X ) = j〇 pdt s.t. -0.4 lt; X1 lt; 0.5

3 lt; X2 lt; 8 0.3 lt; X3 lt; 0.8 0.4 lt; x₄ lt; 0.7

0 lt; x₅ lt; 25° 5.8 lt; Lcosa X3sin(a x₅) f r lt; 12 Ah_a = Az_a - Al_a

Az_a = L(sin a - sin a) X3[cos(a x₅) - cos(a x₅)]

l =y/a² b² l_a = ]c² d²

a = Lcosa -X4sin(a x₅)

b = Lsina X4 cos(a a₅) — 义2 c = Lcosa-x₄sin(a x5) — 义工

d =Lsina X4cos(a X5)-X2 P_t = coQ[L cos a X3 sin(a X5) r]

-^Q(z_B cos J3- y_B sin p)m_b / m_q coGL^ cos a G: 景气载重吨，Z是繁荣中心，并景气下降铰链臂长的比值之间的距离。

2.优化模型的解

凭借遗传算法文献[10

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