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基于多目标粒子群算法的鲁棒PID控制器设
计
Riadh Madiouni
摘要：本文提出了利用Hinfin; 控制理论和多目标粒子群算法（MOPSO）建立的单输入单输出或者多输入多输出系统的综合型的鲁棒PID控制器设计方法。这项工作的目标
在于满足多个Hinfin;准则和约束条件来设计鲁棒PID控制器。 利用已开发的MOPSO算法可以解决综合的优化方案制定。 此方法使用帕累托主导（Pareto dominance）的方法来识别非主要解。 在多目标形式中，自适应网格法可以生成分布良好的 Pareto fronts。 将所得仿真结果与NSGA-II进化算法进行了比较，表明了MOPSO算法在性能和鲁棒性方面更加优越。
关键词：PID控制器，鲁棒性，多目标设计，多目标粒子群优化，外部归档概念，NSGA-II
- 引言
寻求一种用于综合鲁棒控制的系统方法是工业应用所认识的高度问题[4]。这需要对使用模型的不确定性和完善使用PID进行强有力的控制。 PID控制器是工业应用中最常用的，但应用领域中参数设置方法有限。对于这个问题，Hinfin;控制是一个很好的方法。传统的Hinfin;合成方法是代数Riccati方程（ARE）和线性矩阵不等式（LMI）[22]。在标准Hinfin;理论中，综合进程中可能需求具有高阶的控制器，这使在应用难以实现[12,25]。经典技术的控制器的低价降低了控制性能和鲁棒性。在[26]中，Tae Hyung Kim 等人提出了由Sedlaczek和Eberhard [19]开发的扩展拉格朗日粒子群算法用于固定结构控制器设计。 ALPSO技术包括PSO算法和增广拉格朗日乘子法的概念。
Toscano 提出将固定结构的Hinfin;综合问题的建立视为一种优化问题。被采用的PID控制器是基于启发式卡尔曼算法（HKA）。HKA算法本质上是一种随机算法，它属于进化算法的范畴。 该方法由三个示例进行验证。
在本文中，我们提出了一个系统和简单的程序来解决Hinfin;综合问题。 为了处理这些综合问题，我们提出了一个预期解决方案，取得了良好的效果 提出并验证了MOPSO技术对优化问题的帮助。Hinfin;控制器的综合问题被描述为一个多目标优化问题。 本文的目标是提供用已制定的多目标粒子群优化（MOPSO）来制定和解决PID调整问题。 考虑不同的优化标准,所提出的算法(MOPSO)考虑主要方面和控制器外部归档。最佳的解决方案都将被存储，并将由一个自适应网格来表示，以形成 Pareto front.。
本文的其余部分安排如下。 在第2节中，通过优化问题的和已开发的多目标粒子群算法的阐述，提出了基于多目标粒子群算法的鲁棒PID控制器设计。 在第3节中，我们将所提出的控制方法应用于若干数学场景。 为了展示所提出的策略的有效性和优越性，将所有基于MOPSO的仿真结果与非排序遗传算法II（NSGA-II）的方法所获得的仿真结果进行比较和讨论。
二．基于多目标粒子算法鲁棒PID控制器设计
在这一部分中，提出了一种新的综合问题的公式建立，并在关于多目标优化形式问题进行了阐述。
- 优化问题的制定
如图1所示，获得的反馈系统在[21,24]的标准形式下表示：
图1-系统反馈方块图
函数G(S)，描述了输入输出信号关系。输入信号 和输出信号
在频域中函数表示为
K (s, x)是固定结构的函数，其参数取决于设置参数
W到Z的闭环传递函数线性的表达式为
、系统问题·转化为一个限制条件下的优化问题。目的是为了确定ＰＩＤ的三个参数。这些案例是为证明其有效性[21, 23, 24].
多目标优化问题涉及同时满足两个或更多个目标函数。 在本节中，PID设计被制定为一个多目标优化问题，该问题可以使用所提出的基于MOPSO的技术来解决。 这种约束优化问题可以从数学上描述为[2,10,13]：
其中向量 fk (x) , hl (x)和gm (x)是设计的功能模块
解决PID优化的问题在于在X向量中找到最优解，即为PID控制器三个参数的解
其中的一个解可以由下列的方程求出
通过方程（6）和(7)可以建立了一个新的带有补偿函数的目标函数，这样最优解问题就去除了限制。所以方程（6）就转换为新的形式（25)
其中P为函数的加权因子而向量 是最优的向量解
B.多目标PSO的方法的提出
Eberhart和Kennedy于1995年提出了初始的PSO算法[17,18,19,20]。 PSO的基本概念
是在检索空间中有一组称为粒子的解集。 每个粒子以适应的速度在搜索空间中移动，
同时在记忆中保留它曾经访问过的最佳位置[20]
在检索空间D中，粒子i由其向量X与V建立起模型。这个粒子会记录下来所经过的最优位置用向量P表示，每个粒子的最优解位置用向量g表示。在时轴t和虚轴j的坐标系内，可以通过方程【10】来确定速度向量
时间t的位置由等式【11】确定
其中w时惯性因子，c1与c2分别是认知因子和放缩因子。r1与r2是在区间【0,1】的随机数。解决多目标问题就是选择算法在执行过程中找到的非主要因子。 在执行结束时，选择的解决方案需要与连续迭代中粒子达到的所有位置相比[1,3,9]。 从数学的角度来看，帕累托最优的意义可以用方程[9,13,15]表示。 多目标问题的粒子群优化原理主要是要使用空间标准中的优势和邻域控制。 通过主导因子和邻域控制来解决方案的比较策略对于模型归档分类至关重要。因此，我们使用了一个档案管理控制器，来接定每一组解是否需要记录。而外部储存器的主要功能就是在搜索计算的过程中保留非主要因子的·记录历史。选择过程如下：比较在算法主群体的每次迭代中建立次要向量。 外部存档的内容在开始时是空的，并接受找到的第一个解决方案。 如果新解决方案是非迭代编码，那么档案中不会机录，之则会被记录。这个基本方案是为了记录所有的分主要因子。因此我们建立了一个合适的网格图，寻求最终的Pareto front。如果一个粒子超出了限制范围，将按照[9,10,13,16]的方法重新计算。在使用MOPSP算法时，每个粒子将会在一个未知的Pareto解附近探索。因此算法的规则可以用图二来表示
图二—速度位置向量更新
变量Reph由档案记录的解选择，方程【13】就转换为
同样的，粒子的探索方向与档案记录的数据密切相关【9,10,11】，在从中选择一个收
敛速度宁人满意的解。这种方法的目的是为了，选取一个主导的变量Reph ，选择的方法
运用了超立方体的，每个超立方体内含有N个运算粒子，因此我们得到了一个随机的计
算粒子。本文提出的用于综合和调整多项式RST控制器的MOPSO算法与传统的PSO算
法相比有所改进，由R. Eberhart和J. Kennedy提出的单目标法优化开发。 我们的改进
尤其与下列项目有关：
-
领先的轮盘选择策略;
外部归档的自适应网格方法;
惯性系数随迭代线性下降。
为了改进MOPSO算法，我们使用了一种自适应惯性因子，它有助于提高算法的开发能力[2,17,18]：
当wmax 0.9 ，wmin 0.4 时间取极值时，是出现频率最高的值。主要算法如下
在[27]中，Madiouni等人 测试的MOPSO算法来识别最优帕累托前沿和它的性能定量评估的能力。为了研究MOPSO算法并将其与NSGA-II算法进行比较，他们使用了从标准文献中获得的几个测试函数。这样的目的是为了测试算法求出Pareto front的能力，和计算效率的评估。待系距离（GD）测量分主要因素与Pareto front最优解之间的差距。空间（SP）是指其搜索的空间范围。错误率（ER）时非主要因子在Pareto front的比例。
Deb [8]提出的NSGA-II算法激发了遗传算法的相同概念[14]。 该技术使用基于非优势的排序方法来构造Pareto front.。 它使用基于拥挤距离计算的比较运算符。一些工作证明MOPSO算法有一个比NSGA-II计算的计算时间更短s 3 10-53 10-5s 0.03算法[8,14]。 第一种算法的性能得到验证，本研究基于以下三点：
- 减少帕累托最优前沿与开发算法产生的距离之间的距离;
- 最大限度地扩大解决方案的范围;
- 最大化MOPSO算法找到的Pareto前沿元素的数量。
三．数值实验
Hinfin;控制的综合问题可以由MOPSO算法来解决。多目标问题由等式来表达出来。这种方法需要找到最优的PID参数因此我们用了以下几个例子来验证。
实验1
模型：
框图如图所示 L（s，x）是开环传递函数定义为L（s，x）= K（s，x）G（s）其中G（s）是传递函数， K（S）系统的功能 控制和K（s，x）是采用PID控制器的传递函数。
PID控制器的表达式：
这是4个向量的最优解，可以由以下方程表示
权重函数方程表示
表示的时w到z的闭环传递函数
实验2：
模型：
、
系统框图：
权重函数表达式：
采用控制器的表达式：
这是6个向量的最优解，可以由以下方程表示
检索空间的定义域为
其中，系统的闭环传递函数为
多目标问题有以下方程表示
B，仿真结果
在本节中，我们验证了所提出的方法是一种稳健的SISO或MIMO PID控制器的系统方法设计。 对于所提出的示例，我们通过表1定义了两种算法的参数以获得最佳结果。 我们想法的目标是追踪帕累托前沿,因此在每个超立方体中就有两个候选的解析x,y.即为两个目标值
图5和图6显示了外部存档中非主导粒子数量的演变，它达到了35到50次迭代（参见图例1）和85到100次迭代之间的解决方案的最大数量（参见图表2）。 在搜索过程中档案的增长是占据主导方面。 在建立等式外部归档的技术中，计算时间取决于群体大小，归档数目和迭代次数。
图5—记录的粒子数据变化ex1
此外，正如我们所解释的，外部存档的目标是存储所有非主导解决方案，而非主导解决方案的数量等于新解决方案创建的最大存档50倍（见图5 对于蓝色和第35次迭代绘制的演化）与存档中的现有解决方案进行比较。
图6--记录的粒子数据变化ex2
为了获得关于优化结果质量的一些统计数据，有必要多次运行算法。 我们运行算法20次，在95％的试验中发现可行的非主导解决方案，并且在可接受的CPU计算时间内。 该算法已经在MATLAB R2013a中编码，并在具有Core 2 Duo-2.20 GHz CPU和2.00 GB RAM的笔记本电脑上执行。 示例1的CPU计算时间分别为基于MOPSO和NSGA-II的方法的192（秒）和257（秒）.然而，在例2的平均时间统计中，MOPSO和NSAG-II算法的时间分别是208（秒）和310（秒）。
沿着帕累托最优前沿分布的非完全解集合是我们的目标（9），图7和图8的两种算法的结果。
图7—例1产生的Pareto fronts
图8--例2产生的Pareto fronts
表2和表3列出了算法创建的最佳解决方案，我们可以得出结论：与基于标准NSGA-II的算法相比，MOPSO的算法产生更好的结果。
结论
在本文中，我们提出了一个满足几个标准的鲁棒PID控制器的设计方法。 首先，将SISO或MIMO系统的控制器合成问题表述为多目标优化问题。 其次，我们基于帕累托优势的概念开发了MOPSO算法。 我们验证了这种方法用于鲁棒最优固定结构控制器的设计。 所获得的仿真结果显示了所提出方法的性能和鲁棒性方面的优势。 另外，与NSGA-II相比，我们的方法更加有效
参考文献
[1] A. B. Carvalho and A. Pozo. (2012). “Measuring the convergence and diversity of CDAS Multi-Objective Particle Swarm Optimization Algorithms: A study of many-objective problems”. Neurocomputing, Vol. 75(1), 43-51.
[2] C. A. atr, G. B. Lamont and D.
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