锚杆支护隧道围岩变形的三维数值模拟：均质化方法
摘要：尽管现在注浆锚杆已经广泛用于隧道支护，但在许多情况下锚杆的设计仍然基于经验或半经验考虑。本文讲述了用锚杆加固隧道的三维理论和数值模型。从理论的角度出发，在均匀化方法的框架下推导了加固岩石的弹塑性本构方程。重点是制定均匀强度标准，并考虑锚杆/岩石界面特性。然后在三维有限元计算机代码中实现各向异性本构方程，其中通过“激活/停用”技术模拟挖掘、锚杆安装和衬里放置的过程。由于塑性流动的多潜能性，提出了一种用于塑性整合的特定迭代算法。有限元模型应用于Kielder实验对隧道进行分析，可获得现场测量数据。基于均质化方法的数值预测的准确性也通过与从所谓的嵌入模型的实现得到的结果进行比较来评估。
关键词：隧道；锚杆支护；锚杆/岩石界面；有限元法；均质化；嵌入式模型
- 引言
在地下安装金属锚杆于支护隧道的想法最初出现于1013年，并且向德国当局申请了技术专利。然而，它们的有效使用开始于在20世纪40年代，用于当时美国采矿业的顶板支护。从20世纪70年代开始，岩石锚杆历了快速增长，现在它已广泛应用于民用和矿井隧道工程。这种加固系统的成功之处在于容易实施，因为它不需要靠重型设备进行安装，并且其灵活性可以确保锚杆的密度适应当地的岩土性质。此外，锚杆的使用是新奥地利隧道施工方法（NATM）或隧道施工所谓的“收敛 - 限制”方法的重要组成部分（Panet，1995）。因此，随着这些方法的应用衍生的加固技术应用于在软岩隧道的挖掘。
示意支护锚杆作为结构包含物安装在地下以改善地面的行为结构属于岩石加固系统的一般类别，从机械构造讲，控制锚杆和围岩之间的相互作用的机制是复杂的，但仍不能很好的理解。因此，这种相互作用的建模仍然是一项正在进行的工作，并且需要全面的机械描述来对锚杆支护的性能进行可靠的预测。读者可以参考Bobet和Einstein（2010）最近的论文，对巷道锚杆支护技术进行综述。
由支护锚杆和岩块的组合而成的土工复合材料是非常不均匀的。由于这种加固技术中涉及大量的岩石锚杆，基于岩体中嵌入的锚元素的显式描述，实施直接数值有限元分析需要使用复杂的计算能力。实际上，加固区域的精确三维几何离散化应该涉及岩体有限元，其典型尺寸接近锚杆直径，这导致具有大量自由度的繁琐的网格生成过程，为解决这类问题，便引出了替代方法。一方面，均质化方法是一种基于理论的替代方法，它在岩石锚杆领域提供了适当的框架，另一方面，所谓的“嵌入式模型”似乎是一种非常有效的数值直接方法，用于在接口锚杆/围岩假设完美结合的情况下模拟锚支护的隧道。就两种方法的数值实施而言，岩石锚杆不被视为要在几何上离散化的单个结构元件，使得简化的网格生成类似于均质岩石的网格。
基本上，增强介质在均质化方法中由等效的均质介质代替。使用周期性介质均匀化的理论工具，后者的性质来源于各个成分（即岩石和锚杆）的性质，该方法已经连续应用于在宏观尺度上模拟由刚性线性内含物增强的土壤结构的行为。最早应用均质化方法是在Wullschlauml;ger和Natau（1983，1987），Greuell（1993），和Greuellet（1994）等人分析轴对称平面应变条件下支护锚杆的简化情况的时候。作为均质介质的锚杆岩石的各向异性弹塑性行为的公式以及相应的有限元实施最初已在伯诺等人的文献中提出。在伯诺 等人的2D设置的背景下，已经提出将这些工作扩展到摩擦岩石材料的情况。
就锚杆加固隧道的设计而言，在过去的几十年中，已经致力于开发分析和/或数值模型，旨在为地下工程的实际应用提供有用的方法。这些工作涵盖了与锚杆支护隧道中的变形和稳定性分析相关的两个方面。在与表面或径向锚杆连接的影响有关的贡献中，举几个读者可以参考的示例，如Peila（1994），Peila和Oreste（1995），Oreste和Peila（1996），Peilaet （1996）或Peila（2000）等人。有趣的是，Lunardi（2000）认为，在推进隧道工作面之前了解和控制岩心的行为对于在挤压地面条件下成功挖掘隧道至关重要。基于这一假设，本文提出了一种依靠对岩石和土壤中受控变形的分析的综合隧道设计和施工方法。
作为均质化方法的延伸，多相模型已经被Sudret和de Buhan（2001）等人在用锚杆支护隧道中用于变形的预测。关于均质化方法，多相方法能够解决岩石/锚杆界面可能的滑动问题，因此可以认为它是一种改进的均质化程序。然而，多相模型在增强土壤中的首次应用导致了与均质化获得的相似的结果
当前的工作新内容是在Bernaud等人开发的一个延伸，基本上是：
·结合锚杆/岩石的理论模型均匀弹塑性本构中的界面方程;
·三维设置中均质化弹塑性模型的有限元实现;
·嵌入模型的有限元实现作为锚杆加固隧道变形模拟均质化方法的新选择。
2.锚杆连接介质的各向异性弹塑性本构方程
2.1均质化方法的原则
从理论的角度来看，周期性介质方法的均质化需要满足以下假设：
·夹杂物以规则的方式排列;
·锚杆阵列的密度足够高，即与问题的特征尺寸相比，夹杂物之间的间隔可以忽略不计。
从实际的角度来看，大多数锚杆支护的隧道都满足了上述假设：径向或轴向锚杆是线性增强件，其有规律地设置在地面内，并且锚杆间距和直径远小于隧道的半径。并且利用锚杆材料比岩石材料硬的特性，可以证明（Greuell，1993; Bernaud等1995; Bernaud等2009）通过岩石和锚杆结合获得的复合材料可作为锚杆周围各个方向的同性介质。
在下面的公式中考虑的隧道是平行于方向ez的水平圆柱形开口，并且具有如图1所示的马蹄形横截面。垂直于隧道壁设置的三种岩石锚杆可以单独使用或联合使用：
·径向锚杆，沿径向放置在方向er顶板上;
·侧面锚杆，沿隧道的垂直壁侧平行于方向ex放置;
·表面锚杆，平行于方向ez放置在隧道面上。
上面定义的加固区将分别在（RZ），（SZ）和（FZ）的后续提及，代表性的元件体积为（RZ）棱柱形，而在区域（SZ）和（FZ）为平行六面体，长度为lr的径向锚杆按照水平间距pf和角间距beta;f规则地分布，墙侧锚杆（又称表面锚杆）的长度为ls（分别为lf），并按矩形网格ps times;bs（分别为pstimes;bs）分布。
由岩石和锚杆形成的复合材料的高度不均匀性，以及通常涉及的大量夹杂物，使得均质化方法对于解决由锚杆加固的隧道的问题更具吸引力，这主要归因于这样的事实：对于数值分析，不需要精细的离散化来捕获锚杆区域的强异质性。显然，如果所有量br / p，pr / R，pf / R，ps / R，bf / R，加强模式在区域（RZ），（SZ）和（FZ）中可以被认为是密集的，bs / R比整体小得多，长度R指的是隧道横截面的特征尺寸。
作为均质介质的锚杆岩石的本构方程的公式需要定义相关的钢筋参数。首先，钢筋的体积比例表示为：
（1）
其中Si，i ϵ {r，s，f}是锚杆的横截面积，该无量纲参数在（ZS）和（ZF）中是恒定的，在（ZR）中径向距离r的递减函数。
其次，钢筋密度delta;是隧道墙或隧道面上每单位面积锚杆数量的比率：
（2）
其中参数R0代表隧道横截面的圆形部分的半径。
图1锚杆隧道的几何形状和代表性的基本体积
在随后的分析中，支护材料被建模成均质材料，这个假设意味着在建模的规模，锚杆是锚杆支护唯一考虑的非均质性，暗示这种均质性是由先前的均质化过程产生的，该过程解释了岩石中可能存在的微观异质性。因此，所谓的岩石基质是等效介质是通过均质化获得。有致力于这一主题几部作品，感兴趣的读者可以参考de Buhan和Maghous（1997）、Maghous（2002）、Deudeacute; （2002）、Bernaud（2002）、Maghous（2008）或Maghous等作品。
2.2均化弹性模量
在无穷小应变的框架内，均质化加固岩体的弹性关系与宏观应力和应变有关
=: （3）
其中，Ahom是均匀化模的四阶张量,弹性的变分原理适用于锚杆支护代表性基本体积上所述的弹性集中问题，其结果如下（Greuell，1993）：
Ahom= Am Aeieieiei=ƞEb （4）
其中，Am代表岩石的弹性张量，Eb代表沿ei方向布置的锚杆的杨氏模量，在上面的等式，右边科目中的第二项对于锚杆对整体弹性刚度的贡献。同样地对于钢筋的体积分数，它在（ZS）中保持不变。和（ZF），而它随着距离r在（ZR）中减小。式（4）强调锚杆支护在横向上具有弹性各向同性介质关于钢筋的ei方向。如果有弹性支护材料采用各向同性，纵向和横向杨氏模量由下式得出：
（5）
而整体剪切模量不受锚杆存在的影响，即：
（6）
2.3宏观收益函数
设n表示锚杆/岩石界面的单位法向量，界面锚杆/岩石处的强度条件通常由作用于该界面上的应力向量所取值的限制所组成。在当前分析的背景下，锚杆被建模为线性夹杂，因此，。相应地，接口的失效条件应以以下形式表示：
（7）
从锚杆支护各成分的强度特性出发，确定宏观破坏准则的理论框架是周期介质的极限分析均质化。延伸De Buhan和Taliercio（1991）和Bernaud等人（2009）得出的结果，屈服函数可以表示为：
（8）
故障函数的定义如下：
（9）
式中，是支护材料的屈服准则，i ϵ(r，s，f)取决于考虑的加强区域（ZR、（ZS）或（ZF）。间隔I的定义是 （10）
表示锚杆和K在单轴拉伸下的强，是一个介于0和1之间的无量纲数字，说明由于结构屈曲，锚杆的抗压强度降低。很明显，和K的值可能取决于所考虑的加固区。数量Ƞ表示当前点每单位横向面积上锚杆的强度。
其中（8）的证明基于极限分析的静态方法在代表性基本体上分段均匀的应力的静态容许分布是考虑过的。考虑到进一步的发展和符号的简单性，强度界面将通过宏观应力张量代替应力矢量的作用如下：
（11）
是作用于岩栓界面的应力矢量。这个由屈服定义的强度宏观强度域Ghom条件是两个域的交叉点： （12）
其中凸面对应屈服准则
图2宏观强度域的几何解释
图2给出了Ghom的宏观强度域的示意图，其绘制方法如下：首先，域Ge是岩石强度域Gm沿Sigma;ii轴通过代数距离和平移得到的两个域的凸包络。然后将凸面作为和域的交点得到。
在接口锚杆/岩石处完全粘合的特殊情况对应于Gintfrac14;R6，因此 （13）
2.4弹塑性本构关系
作为均质介质的锚杆支护的弹塑性行为的公式依赖于启发性的观点，即宏观强度域Ghom可以被视为具有第2.2节中定义的弹性性质的材料的弹性域。该过程仅仅等于忽略了均质化过程在宏观水平上引起的硬化（Suquet，1985）。
因此，均质化介质的速率型状态方程如下：
（14）
其中是总应变率，是相应的塑料部件
如上所述，采用宏观强度域作为均质材料的弹性域。 这意味着屈服准则实际上构成了塑性标准。 的方向是通过塑性流动规则
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