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单学位的自由度系统：
控制方程单学位的自由度系统：
管理方程
3.1简介
3.2力平衡和力矩平衡方法
3.2.1力平衡方法
3.2.2矩平衡的方法
3.3固有频率和阻尼因数
3.3.1固有频率
3.3.2阻尼系数
3.4控制方程为不同类型的
的阻尼
3.5控制方程不同类型
所施加的力
3.5.1系统的基础激励
3.5.2系统的不平衡旋转质量
3.5.3系统的附加质量由于一个流体
3.6拉格朗日方程
3.7摘要
练习
3.1简介
在本章中，两种方法推导公式说明治理单学位的自由度系统的运动。
第1章的原则形成的一种方法的基础上，其包括力矩平衡的方法。第二种方法是基于拉格朗日方程，本章首先介绍和广泛使用整个其余章节。基于出现在被定的参数。的固有振动频率的完整物理意义和阻尼因数在4.2节，带来了在单一自振荡度的自由度系统被考虑。此外，系统的稳定性也可以从系统参数评估，如在4.3节中讨论。当任一个分析或控制方程的数值解是得到的，可以确定相对影响，该系统的部件对系统的响应于各种外部施加的力和初始条件。人们也可以通过确定学习振动系统系统（5.3节）或系统的脉冲的传递函数应答（6.2节）。在本章中，我们将只得到理事方程各种系统。然后，我们将获得在一般的解决方案第四章和附录D，并说明众多的应用和解释。
在本章中，我们将如何显示：
bull;获取运动的控制方程单学位的自由度
翻译并通过力的平衡和力矩的平衡旋转系统的方法。
bull;获取运动的控制方程单学位的自由度
翻译并使用拉格朗日方程旋转系统。
bull;确定等效质量，等效刚度和等效阻尼
单程度的自由度系统。
bull;确定一个系统的自然频率和阻尼因子。
3.2力平衡和力矩平衡方法
在本节中，我们说明了使用力平衡和力矩平衡的推导单学位offreedom的运控制方程方法系统，展示了如何振动系的静态平衡位可被确定，并进行一非线性系统的线性化有关系统的平衡位置“小”的幅度振荡。
3.2.1力平衡方法
考虑线性动量的原则，这是牛顿第二定律运动。由方程给出动态平衡的声明。 （1.11）是在重铸表格。
F-P=0
其中F是作用于系统上的净外力矢量，p是绝对所考虑的系统和overdot线动量表示衍生相对时间。对于恒定质量为m的系统，其中心质量与绝对加速度运动，线性的变化率动力和公式 （3.1A）导致。
P=ma （3.1b）
术语ma被称为惯性力的解释
式。 （3.1B）是作用在外力和惯性力的总和
该系统是零;即，该系统是平衡的作用下
外部和惯性forces.1
一个弹簧 - 质量 - 阻尼系统的垂直振动
在图3.1中，弹簧 - 质量 - 阻尼模型被示出。与线性弹簧
刚度k和阻尼系数C一粘滞阻尼器连接在
平行于惯性元件微米。除了这三个系统元素
在第2章进行了讨论，也被认为是外部强迫。我们会
希望获得一个方程来描述在垂直的系统的运动
方向。为了推导出平移运动这样的方程，
使用力平衡的方法。在此之前获得的控制方程
为图3.1的系统运动，我们选择一组正交单位矢量
i和j固定在惯性参照系和坐标系统
X和Y轴，并且是固定的原点O。由于质量m只转换
沿着第j方向，力平衡只沿着这个方向考虑。
让我们在图3.1所示BE L.然后弹簧的拉伸长度
质量位于从固定表面的位置，
其中术语DST将在短期内决定和解释。确定后
DST，运动方程将在位移方面进行开发
变量x。从固定点O群众的位置矢量由下式给出
r = rj =（L dst x）j
图3.1
弹簧 - 质量 - 阻尼系统的垂直振动
这个语句也被称为达朗贝尔原理。根据广义形式这一原理，当一组所谓的虚拟位移都感兴趣的系统上施加的，由外力和惯性力完成的净功是零。 [见，例如，D. T.格林伍德动力学，第8章，Prentice Hall出版社，上马鞍河，新泽西州原理。
第3章单学位的自由度系统
不同势力与他们一起幅度方向显示在图3.1。注意，惯性力也与freebody一起显示惯性元件的图。由于弹簧力的恢复力和阻尼力的阻力，他们反对的议案，如图3.1。基于方程。 （3.1B），我们可以进行沿力平衡Ĵ方向和取得的结果方程。
不同势力与他们一起幅度方向显示在图3.1。注意，惯性力也与freebody一起显示惯性元件的图。由于弹簧力的恢复力和阻尼力的阻力，他们反对的议案，如图
图3.1。基于方程。 （3.1B），我们可以进行沿力平衡Ĵ方向和取得的结果方程。
静态平衡位置
一个系统的静态平衡位置是对应于所述位置该系统的休息状态;即，具有零速度和零加速度的位置上。
滴加时间依赖强迫项f（t）和设定的速度和式加速条款。 （3.4）至零我们发现，在静态平衡位置的解决方案
如果，在公式（3.5），我们选择
我们发现是X= 0是该系统的静态平衡位置。 方程（3.6）如下进行解释。由于的质量m的重量，弹簧被拉伸的量，以使弹簧力平衡的重量毫克。为
由于这个原因，被称为静态位移。忆及弹簧具有未拉伸长度L，从测得静态平衡位置。
原点O由下式给出
这是该系统的其余部分的位置。为图1的振动系统3.1，它是由式清（3.6），静态平衡位置被确定由弹簧力和重力负载。另一种类型的的一个例子
静态装货例3.1中提供。
运动方程对静态平衡位置振荡在替代式。 （3.6）代入式（3.4），我们得到
3.2力平衡和力矩，平衡的方法
公式（3.8）是一个单一度offreedom的运动控制方程。系统有关给出的静态平衡位置振荡式。 （3.7）。注意，重力负荷不等式明确出现。 （3.8）。
出于这个原因，在直线振动系统的模型的开发，在从静态平衡位置的位移的测量证明是一个方便的选择，因为一个不具有明确采取静态加载进去。
等式的左手侧。 （3.8）描述从部件的力构成一个单程度的自由度系统。右手边代表作用在质量上的外力。外力做功的例子
在大规模的波动气压负荷比如在翼
飞机，脉动的电磁力如在扬声器线圈，静电引力出现在一些微机电装置，造成不平衡质量力旋转机械（见第3.5节）和浮动系统浮力。由式表示的系统。 （3.8）
是常系数M，C线性，常微分方程，
和k。如在第2.2，2.3和2.4中提到的，这些量也称为系统参数。
一个弹簧 - 质量 - 阻尼系统的振动水平
在图3.2中，质量在一个方向移动垂直于重力的方向被示出。假定质量移动无摩擦。未拉伸弹簧的长度是L，及一个固定点O位于未拉伸位置弹簧，如图中所示。他指出，春天不会发生
任何静态偏转，开展沿I方向的力量平衡给出公式。 （3.8）直接。这里，静态平衡位置x= 0与对应于未拉伸弹簧的位置一致。力被传递到固定面上
从图3.1中，我们看到的总的反作用力由于弹簧和在固定表面上风门是静态和动态力的总和。 从而，
如果我们只考虑反应的动态部分的力，也就是说，只有那些由运动X（t）从其静态平衡位置，那么产生的力
式（3.9）导致
其中，x（t）是方程的解。 （3.8）。方程（3.10）是在后面的章节中使用
以确定发送到地面（第5.4节）或力的力当碱是在运动中（第5.5和6.7）发送到的质量。
在下面的两个例子中，我们将展示如何得到治理方程经受外部力的系统，该系统有一个静态成分
以及如何线性化的具有二次非线性弹簧系统。
第3章单学位的自由度系统
例3.1风动有关系统的静态平衡位置振荡。
在研究跨土木结构的风流量，如建筑，水塔，
和路灯，已经found2，风通常产生的力上，它由一个稳态部分和波动部的结构。在这种情况下，激励力f（t）被表示为
其中，FSS是与时间无关的稳态力和FD（t）是波动力的时间相关的部分。单学位的自由度模型振动结构具有式的形式。 （3.8），其中，x（t）是位移
在风载荷的方向上的结构和迫使由下式给出，那是
我们应确定该系统的静态平衡位置，
获得执政运动振荡的方程式这个staticequilibrium
位置。为此，我们假设以下形式的解决方案
其中，XO是由静载荷和XD（t）的确定决定的议案
关于静态位置。因此，后代方程（三）进入式（二），并注意到
这XO与时间无关，我们发现，
并且XDT）是解决该方程
这是运动的有关静态平衡振荡的控制方程的位置。
例3.2鼓膜振动：非线性振荡器3和线性化系统
在本实施例中，我们考虑用于研究鼓膜振动的非线性振荡器。
我们应确定该系统的静态平衡位置
并说明理事非线性方程如何进行线性化研究。
在本实施例中，我们考虑用于研究鼓膜振动的非线性振荡器。
我们应确定该系统的静态平衡位置
并说明耳膜的理事非线性eqThe恢复力如何与二次非线性的组件。
静态平衡位置
注意到没有外部时间依赖性迫使方面在这个问题上
和加速度术语设置为零，我们发现，在平衡位置
X = XO是代数的解
EQ式的解决方案。 （二）为我们提供了两个静态的平衡位置
鼓膜，即
线性化
接下来，我们代替
入式（a）和线性有关振荡非线性刚度术语
在变量方面的平衡位置中的一个。为此，我们注意
对于“小”XO左右1 0振幅振荡线性化系统
利用公式的。 （e）和在公式（f）所示。 （一），并注意到XO= xo1？ 0，我们到达方程
为绕X02“小”振幅振荡线性化系统？ ？1
利用公式的。 （e）和在公式（f）所示。 （一），并指出times;○，我们
在线性方程到达
第3章单学位的自由度系统
公式比较。 （g）和（h）中，很明显，该方程具有不同stiff-
内斯条款。
3.2.2矩平衡的方法
对于经受旋转运动单程度的自由度系统，如
如图3.3所示的系统中，力矩平衡的方法是在德有用
头阵的控制方程。与扭转刚度ķT A轴连
具有旋转惯量J g的圆盘围绕旋转轴，其沿着导向
第k方向。外部力矩M（t）的作用在光盘，其中浸渍上
在充油外壳。令变量udescribe盘的转动，并
让该轴的转动惯量可忽略不计相比，该盘的。
角动量由方程给出的原则。 （1.17）加到转播
覃治光盘的运动方程。首先，角动量^ h
该盘的判断。由于盘是刚性体进行旋转
在飞机上，公式。 （1.20）是用来写角动量绕中心
盘的质量作为
因此，由于旋转惯量J G和单位矢量k不随时间而改变，
式。 （1.17）改写为
其中M是作用在磁盘上的总外力矩。基于该
如图3.3所示，其中还包括惯性力矩显示自由体图，运动控制方程
图3.3
（a）在光盘进行旋转运动和（b）该盘在垂直于旋转轴线的平面的自由体图。
3.2力平衡和力矩，平衡的方法
收集不同矢量项的标量系数后
式。 （3.12），并设置为零，我们在下面标式得到
方程的形式。（3.13）是相同的公式。 （3.8），这是为获得一个翻译振动系统;即，在左手侧的第一项是德由惯性元件Ĵģtermined，在左侧的第二项是德由阻尼元件（C T）termined，在左手侧的第三项是由刚性元k吨确定，并且右手侧包含EX-ternal强迫，当下M（T）。所有的线性单自由度的自由度振动保守党系统是由线性二阶常微分方程管辖方程与惯性项，一个刚性术语，一阻尼项，和一个术语涉及到外部强迫施加在系统上
图3.4
手部动作。资料来源：P.Maroti，L.贝尔克斯和F.Tolgyesi，生物物理学问题：一个文本 -
本书的答案。 AKADEMIAI Kiado，布达佩斯，匈牙利（1998年）。版权copy;1998 P.Maroti，
L.Berkes和F.Tolgyesi。经许可后转载
第3章单学位的自由度系统
由肌肉产生的力量，那么，肱二头肌提供大小的力，其中k b是常数，肱三头肌提供量值的力，其中K t是一个常数，v是
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