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矩阵环上的素理想
1.介绍.是一个环，是一个的矩阵环，并且系数都是上的.
如果是的子集，那么我们记作是的子集，并且的系数是在上.
如果是一个有单位元的环，根据是的理想，可以推出是的理想.但是如果没有单位元，一般情况下，上述问题不成立.是否可能建立一个环，有或者没有单位元，结果上来看，有两种理想满足，即素理想和极大素理想.因此，在文献[2]中显示，是的素理想和极大素理想，可以推出是的素理想和极大素理想.
在文献[3]中，如果M是R的M-根，则的M-根是.
在文献[4]中，是的极大理想，构成是与A是R的极大素理想相关的.
一个R中的理想P被称为素理想，如果满足A和B是P的理想，,推得
或者. 一个R中的理想P被称为半素理想，如果P是R所有的素理想的交.在[1]中，理论1，N.H.McCoy给出了可以替代的充分必要条件，理想必须为素理想；我们可以利用这些条件在我们的证明中.我们也要用到事实，就是R可以被嵌入环（1，R）中，（1，R）是有单位元的环.我们同样要用到M.Nagata的结果，如果S是R的一个理想，A是S的一个半素理想，那么A是R的一个理想.
在整篇文章，我们把矩阵的第r个系数(i,j)记为,其余的系数都为0.
2.R中的素理想和极大素理想
命题1. 的素理想是，如果A是R的素理想.
证明：我们先证明如果是的素理想，那么是的素理想. 如果是的理想，那是的理想.让A是R的一个素理想.设,为矩阵，所以R，假设. 设是的系数，并且不在A中.设r为R中任意的元素，是的系数.那么是矩阵环，并且作为第(k,q)的系数.但是；因此. 这是正确的对每一个元素r在R中；因此.但是A是素理想，并且；接下来 利用命题1中的条件(3)，.这是正确的对每个的系数；因此.所以，如果R，，.所以是的素理想.
我们现在需要证明每一个中的素理想构成都是如此.设是中的素理想.我们A中的系数都为中的.
R是环(1,R)中的理想.所以是环.是中的素理想.因此，由Nagata的结论，是中的理想.但是(1,R)有单位元.A是(1,R)中的理想，并且.但是A的元素在R中；所以A是R的理想.
接下来还需要证明A是R的素理想.设a和b是R的元素，所以. 那么.但是是中的素理想；因此或者在中.因此a或者b在A中.这证明了A是R的素理想.
证毕.
因为R中的理想A不同于R中的理想B当且仅当不同于，这是根据映射建立的一一对映关系，在素理想R和中.
推论.的半素理想是，如果A是R的半素理想.
命题2.的极大素理想是，如果A是R的极大素理想.
证明:我们先证明的极大素理想是这样的. 设是中的极大素理想.A相同于1中的定义. 因为是素理想，由命题1可知.设B是R严格包含A的理想.因此，由于的极大性，所以.所以B=R.所以A是R的极大理想
还需要证明每个在中这样结构的理想都是极大素理想.设A是R的极大素理想.由命题1可知，是的素理想.设是严格包含的理想.那么集合B严格包含理想A.设b是B并且不是A中的一个元素.因为A是素理想，RbR不包含在A中；因为推出.由命题1中的条件（4），因此. 但是由于. 因此不在A中. 但是是个理想，A是一个极大理想. 所以. 因此如果r是R的任意一个元素，存在一个A中的元素a和R中的元素，，推出. 设是中的矩阵. 对于每一对整数i，j存在一个A中的元素，和R中的元素，. 有. 因此有. 设是中的矩阵，系数是b，在（p，q）位置. 有.. 但是是的理想；因此. 但是是的理想；因此是的元素. 对的矩阵也满足. 因此. 因此是的极大素理想.
证毕.
3.矩阵环的M-根
M.Nagata定义环R的M-根是A中的所有素理想的交，所以R/A是一个单环.同时，M-根也是所以极大素理想的交.我们现在用命题2来证明R的M-根和的M-根的关系.
命题3.如果M是R的M-根，那么的M根是.
证明：设是R的所以极大素理想的集合，由命题(2),是所有极大素理想的集合. 因此.
4.中的极大理想
引理.设A是R的一个极大理想. 那么A是一个素理想当且仅当不在A中.
证明：设A是素理想.那么推出.事实却不是如此，因为A是极大理想.因此不包含在A中.
相反，假设不在A中.设B,C为R的理想，所以.如果B或者C都不在A中，由A的极大性有B A=C A=R.这种情况下，. 但是这种相反的假设是在不在A中.因此B或者C在A中.因此A是素理想.
命题4.设A是R中的极大理想. 那么是的极大理想当且仅当A是R的素理想.
证明：设A是R的一个素理想；那么，由命题2可知是的极大素理想.
相反，假设A不是素理想.那么，由引理.因此.设b是R的元素，且不在A中.考虑的集合 包括所有如这样的形式，是中的矩阵并且k是整数. 所以是严格包含于中并且严格包含. 同时， . 因此是的理想. 所以不是中的极大理想.
证毕.
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