概率统计在保险中的应用
原文作者：Marcus Kracht Department of Linguistics, UCLA
摘要：该译文主要选自Introduction to Probability Theory and tatistics for Linguistics中的两块内容：是条件概率，二是大数定律。这两个内容主要介绍了各个定理的推论、证明。
关键字：条件概率； 大数定律； 推论
5.条件概率
假设一些人家有三个小孩，假设一个孩子是男孩的概率是1/2，那么一个男孩两个女孩的概率为3/8.现在假设你知道至少有一个女孩，那么有一个男孩的概率是多少？概率是不能重复的，看到这里，让我们来看，如果我们不知道至少有一个女孩的概率是1/8的条件下，我们是不可能知道三个孩子都是男孩的概率是零的。所以,一些概率明显改变。让我们来计算，至少有一个女孩的概率是7/8。一个男孩概率是3/8。如果有一个男孩至少也有一个女孩,那么他们各自的概率比为3:7。因此我们希望有一个男孩的概率条件下至少有一个女孩是3/7。我们是如何到达这样呢?让我们考虑一个事件和询问概率,条件是B。总共有四个情况需要考虑。一个可能是也可能不是这样,和B可能是也可能不是如此。然而,正如我们已经排除失败的情况,我们已经有效地降低可能这些B持有的空间。这个的几率是P(A cap; B) : P((minus;A) cap; B)
因此A在B的概率上的有条件的概率，P(A| B)表示为：
(80) P(A| B) =P(A cap; B)/（P(A cap; B) P((minus;A) cap; B)）=P(A cap; B)/P(B)
定义：A在B条件下的概率表示为P(A| B)，且其公式是
(81) P(A| B) =P(A cap; B)/P(B)
这被称为贝叶斯法则条件概率。我们可以得到一系列重要的结论。首先,它允许计算P(cap;B)
(82) P(A cap; B) = P(A| B)P(B)
此外，作为A = (A cap; B) cup; (A cap; (minus;B))，这集被分离，我们有：
(83) P(A) = P(A| B)P(B) P(A| minus; B)P(minus;B)
这意味着,在一个事件的概率的计算的基础上,一个集合的条件概率设置为Bi，i isin; I。如果后者是Ω的分区(总而言之：Bi必须两两不相交和非空的，并且 Bi = Ω.)
此外，扭转A和B在(81)的角色,证明得：
(84) P(B| A) =P(B cap; A)/P(A)=P(A cap; B)/P(B)·P(B)/P(A)= P(A| B) ·P(B)/P(A).
因此,只要个人概率是已知的（或者针对B，A的几率是已知的）然后我们可以计算A在B条件下的概率,只要我们知道A的条件是B。这个公式是非常重要的。看到它的重要性,假设我们有一个不均匀的硬币,p = 0.4,得到的概率设为H .现在,扔10次硬币。
(85) H, T, T, H, H, T, H, H, T, T
因此，我们扔了5次得到H的预期并不是4倍。我们可以计算这种情况发生的概率：它是
(86)
然而假设硬币均质的，它的概率是
(87)
因此,事件概率得到5倍H更有可能当我们假定硬币实际上是均匀的。现在我们来确定地回答这个不同以上的问题：如果结果是5次H有什么是不均匀硬币的概率p = 0.4而不是没有偏见的?回答这个歌问题，需设B是有偏见硬币事件的概率P=0.4，设F是得到5次H事件。设N是不带偏见的事件。我们假设(有点不切实际)B或N为例所以，P(B) P(N) = 1，把 alpha; := P(B).我们有
(88) P(F | B) = 0.201, P(F | N) = 0.236
我们想得P(B| F )，这是
(89) P(B| F ) = P(F | B) ·= 0.201 ·
所以，我们需要是知道P(F )，现在P(F ) = P(F cap; B) P(F cap; N) =P(F | B)P(B) P(F | N)P(N) = 0.201alpha; 0.236(1 minus; alpha;) = 0.236 minus; 0.035alpha;。因此，我们得到
(90) P(B| F ) = 0.201 ·
如果两个B和N也同样有可能,我们有alpha;= 1/2,并且的得
(91) P(B| F ) = 0.201 ·= 0.201 ·= 0.4621.
因此,硬币的概率是偏见的概率为0.4621和无偏得概率是0.5379,假设它的偏见概率是p = 0.4或p = 0.5,以同样的假设得到它的可能性。
后者类型的推理非常频繁。做几个假设H1,H2, · · · , Hn与“先验”概率P（），i = 1, 2, · · · , n,和计算概率B的实验结果。这些是P(B|)的概率。然后对B进行实验并得到B的结果。现在问：现在假设B实际上发生了的概率是什么?因此，希望建立P(|B) 。这些都是“事后”的概率。这可以抽象的表示如下。我们有
(92) P(| B) = P(B|)
我们唯一需要知道的是P(B)。我们像以前一样做同样的假设。我们假设获得概率P(),并且这些概率相加得1，获得这样的一个假设。因此，Ω =，集两两不相交。因此我们有 B=，现在我们得
(93) P(B) =
将其输入到（92）得
（94）
如果A不依赖于B我们预计其条件概率P(A | B)等于P(B)。这意味P(A cap; B) = P(A| B)P(B) = P(A)P(B)，这将得到以下定义。
定义12让A和B是一个概率空间的任何事件,如果P(A)=P(A)P(B),那么叫A,B是独立的，此外，让和是的两个子代数。和如果isin;和isin;那么和是独立的,.
我们提出一个将使用例子.考虑空间,和。这集合被分配的概率。这意味得
（95）
现在
（96） =
=
定义13 在空间中，集合是独立的。
8、数定律
发生在概率空间的定义仅仅是数字，但这些数字有一个具体的意义。他们说,一个事件发生的概率P(A)和不发生机会1minus;P(A)。如果P(A)= 0.7我们预计A的7的情况,A是一种情况。如果我们执行这个实验, 它只能做一件事：发生或不发生。概率成为必然。因此它是把绝对没用的概率分配给一个只能进行一次的实验。然而，如果我们可以任意重复实验，我们可以得到有意义的概率如下。如果P(A)=0.7我们希望在10个实验中获得7的种情况。现在，我们已经看到,它并不意味着当我们做了这个实验的10次就一定能得到A的7中情况。看到这,让我们详细计算概率。这个实验是伯努利试验并且p = 0.7。A获得10次机会，例如。设为一个A发生i次的事件。
到底是：
（170） P==0.00000590
P()=0.00013778
P()=0.00144670
P()=0.00900169
P()=0.03675691
P()=0.10291935
P()=0.20012095
P()=0.26682793
P()=0.23347444
P()=0.12106082
P()= = 0.02824752
我们可以看到两件事:所有的结果是不可能的，但是结果比其他的更有可能。事件发生的概率是约为0.7，如果我们偏离预期结果1的概率是0.7; 如果我们从预期的结果偏离到2的概率更大。它超过了0.9。
现在假设我们重复实验的100次，我们可以得到什么么？而不是做计算(包括相当大的数字)马上得到答案：这意味着通过超过10或更大的实验得到偏离预期的值的可能性为0.7。这意味着,偏离预期值迭代的数量不太可能变大。这就是所谓的大数定律。我们将严格证明了这一点，我们用一个简单的例子来开始证明。
引理24（切比雪夫）设X是一个积极的随机变量且，
推理：在函数中，,其中或等于0。即
（171）
这定理看如下的，假设.，现在假设，那么，所以，,现在我们可以得到：
（172）
这是由于Xgt;Y,接着，如果所有的W：，那么.和对于所有的A，它服从，即：
（173）
接着下面是直接后果。
定理：设X是一个随机变量，得：
（1）
（2）
（3）
推理：第一，注意从引理24中是一个随机变量的仅有的绝对值，第二,也是一个绝对值，最后，注意X的方差是X-EX的期望。如果我们用Xminus;E X代替X那么第三遵循从第二。
设是在中的任意一个绝对值。
（174）
正如我们前面提到的期望Pn, 我们问这个值超过背离概率是多少？这相当于问在n次重复实验X1背离的意思是否超过ε的概率。我们计算：
（175）
所以我们计算方差 / n,获得：让我们回忆一下如果Y和Z是独立的。V(Y Z)=VX VZZ.定义：，即：
（176）
这些变量是独立的，看这里，A是的集合，这样=a,如果a=1或q那么这个集合的概率是P，否则，这个集合有如下形式：
（177）
和题意21，。类似的，B是n元组的集合，这样。它的概率是
最后，的概率是，通过相同的推理。
现在，我们建议是独立的，注意。对于每个，我们知道他们在伯努利试验有相同的期望和方差的身份。它是pq的方差。
（178）
将它插入(175)的式子中得到：
（179）
观察到因为pq1/4所以我们可以估计p和q的独立事件：
（180）
现在选择ε作为小的，此外，通过你喜欢ε的作为最多选择偏差的概率delta;。
我们可以选择n次独立的p和q,正如执行实验将至少n次，它保证其概率是1minus;delta;,这意味着变量X将偏离EX的通过至少ε。事实上，仅仅选择：
（181）
和得
（182）
在数学,对于大型n表示某个值的概率方法如下。
定义26：让f(n)是一个自然数实数函数。我们写出描写，如果以下任意εgt; 0，对于所有，我们可得：
（183）
这坦率地说,对于任何误差ε我们选择上有一个点的值序列中发现值b的误差ε，这样的声明是经常发现在统计数据。我们第一个名字间隔(置信区间)的值是声称下降然后我们问题的概率会下降。概率通常是一个数量接近1,或是一个小数目,在这种情况下,一个实际上给出了概率的值不会落入指定的时间间隔。
这需要的值序列更接近对方。鉴于这个定义,我们现在可以写
定理27，设P作为伯努利空间，设X是绝对值，定义其绝对值，n趋向于P的绝对值。即
（184）
在平实的语言,这意味着当n很大时，在一个n次重复实验的平均值偏离预期的任何给定的值，会使事件更加稳定。
外文文献出处： Marcus Kracht. Introduction to Probability Theory and Statistics for Linguistics. Department of Linguistics, UCLA. Los Angeles, CA 90095–1543
外文文献原文:
剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
英语原文共 137 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
资料编号：[287060]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
以上是毕业论文外文翻译，课题毕业论文、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
