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一种特种车辆的有限元分析与优化
YiRui Wang, GangFeng Tan, Bo Yang, and Can Wang
武汉理工大学
摘要：
根据谐振式路面破碎机的工作原理，其安装有共振系统的前部框架必须满足结构要求。为了满足强度和刚度要求并避免共振，前框架的固有频率应设计为远离破碎机的工作频率。在本文中，笔者建立了前框架的有限元模型并分析了其模态。根据模态分析结果，第四模态频率接近破碎机的工作频率。所以前框应该被优化。在有限元模型中，前部框架已被划分为多个壳单元组件。通过最优拉丁超立方体实验设计，分析了不同组件厚度与前框频率的关系。选择相关系数较高的成分作为优化变量。优化的样本点通过具有最优拉丁超立方体的实验设计（DOE）获得。质量和频率的近似模型通过多项式响应面法（RSM）建立。选择的部件的厚度通过自适应响应面法；选择以进行优化。在前帧的优化之后，第一频率增加，第四频率也增加。
引言：
随着社会和经济的发展，旧水泥路面已成为制约道路通行能力和安全的重要因素。 由于其工作效率的原因，谐振式路面破碎机已被广泛应用于道路改造工程[1,2]。在破碎过程中，谐振式路面破碎机通过控制破碎机锤击频率使水泥路面产生共振。国内许多学者和工程师也发现谐振式破碎机在道路改造工程中的优越性能，并进行了探索性研究[1,2]。他们的大部分工作都集中在车辆的设计和控制系统上。本文着重于破碎机的结构优化。
在破碎机的工作过程中，共振系统会产生振动。由于共振系统安装在前部框架中，因此前部框架的模式对于挤压工作的效率和安全至关重要。因此作者对前框进行了模态分析，分析结果表明第四模态频率接近破碎机常用工作频率。这是破碎机的主要问题。要解决这个问题，有两种方法。一个是增加第四模态频率，另一个是降低第四模态频率。车辆行驶过程中有很多低频振动，因此较高的一阶频率有利于舒适性和安全性。在本文中，作者选择增加第四模态频率以使其远离破碎机的工作频率。为了增加第四模态频率并避免第三模态频率变得接近工作频率，作者将此问题定义为通过约束条件对前帧进行局部优化。在数学意义上，模态频率的优化实际上是厚度矢量的线性变换。在该线性变换下，正定矩阵（第一频率）的特征值之一增加，另一个特征值（第四频率）将增加。因为四阶模态频率与一阶频率相关联，所以一阶频率被用作优化的目标。
由于前框的形状是为其功能而设计的，所以作者选择板的厚度作为优化的变量。使用具有最优拉丁超立方体的实验设计（DOE）来研究前框架的厚度与第一频率的关系。然后，使用相关分析来选择最优设计变量。最后，用多项式响应面法（RSM）来描述厚度与第一频率的关系，并在具有约束条件的多项式响应曲面上求出最大第一频率。
破碎机模型：
图1显示了本文分析的破碎机模型。整个破碎机车架分为通过铰链连接的前架和后架。 共振系统安装在前框架上。
图2显示了前框架的部分。右前轮直接安装在车架上，左前轮通过减震弹簧和液压缸与前车架连接。
共振破碎车分为工作状态和非工作状态。在非工作状态下，前车架上的固定液压缸收缩，重量箱升高，而液压缸和配重箱的铰链受到拉力。工作时，前车架上的固定液压缸释放重量箱约束； 共振梁受到配重箱的压力。
f是车轮的振动频率，v是速度，d是轮胎直径。
破碎机以6km / h的速度运转。根据公式 1，轮胎直径为1617mm，则可以计算出在破碎机行走过程中产生的车轮振动频率为0.328Hz。振动的另一个来源是破碎机的共振系统。 破碎机的共振系统在35至55Hz的频率范围内工作。而在普通工况下，破碎机共振频率为45Hz。
模态分析：
系统振动无阻尼方程：
其中，x是位移矢量，是加速度矢量。K是刚度矩阵，M是质量矩阵。方程的傅里叶变换可以是：
在等式 3，omega;是固有频率，特征向量是结构的振动模态，x（omega;）是频率响应域的位移。
当x（omega;）不等于0时，方程 3将是：
它是n维代数方程的类型。当系数矩阵M的行列式不为0时，有n个方程的解，即系统有n个固有频率。
模态分析的目的是研究振动特性，进行振动故障诊断，并预测结构的动态特性。
前车架和后车架通过铰链连接，并且不是自由的，所以对前车架选择约束模态分析。 如图3所示，它是有限元模型，包括壳单元，梁单元和刚体单元，共47818个节点和46894个单元。根据板厚和连接关系，将这些元件分为12个壳体部件，1个固体部件和1个梁部件。
框架用于16Mn钢，其材料特性如表1所示。前框外壳厚度如表2所示。模态分析采用HyperWorks软件的辐射求解器，模态分析法采用分块兰索思方法。在结构振动问题分析中，高阶模态能量比过低，对整个结构振动影响不大。
通常情况下，模态分析可以在工程中的前七阶到十阶完成。本文分析了前十阶模态的破碎机前框架。
前10阶模态频率的有限元分析如表3所示，前5阶模态的形状如图4,5,6,7,8所示。一阶模态频率高于步行频率0.328 赫兹。第四模态频率为46.72Hz，几乎与破碎机常用的工作频率相同。而四阶模态的形状则表明与液压缸重量箱相连的铰链振动幅度较大，对破碎机工作状态有不利影响，因此必须优化前框架结构。
优化设计：
这是优化设计分析变量与响应之间关系并选择适当优化变量的第一步。从方程1时，系统的固有频率由刚度矩阵K和质量矩阵M确定。通常在模态优化过程中，经常使用减小质量和增加刚度。前框板由不同厚度的不同钢板组成。减少板厚可以使质量减小，但会降低刚度，而增加板厚可以增加刚度，但会增加质量。不同的钢板具有不同的连接和不同的结构，因此对模态频率的影响也不同。因此，根据过程和连接将前框架分成12个部件，研究部件的不同板厚对前框架模式的影响，并选择最佳变量。
优化过程如图9所示。
拉丁超立方体设计：
对于工程问题，很难建立变量间明确关系的精确数学模型。 统计方法在解决设计优化问题时更为有效。美国能源部是一个有效的工具，被广泛用于实验因素和水平的研究。[4,5,6,7,8,9]作者使用能源部找出框架的模式和框架的大小的关系，然后选择优化的变量。
下面介绍一些实验设计方法。实验设计水平是影响因素的数量。全阶乘适用于任何级别； 适合因子分析；精度高；多次设计。中央复合材料适合3级；用于响应表面分析； 精度高；多次设计。分数阶乘适合2,3级；适合分析和设计可变选择和因素；正交设计高精度。拉丁超立方体适用于任何水平的高效率；高精准度。
与全因子和中心复合实验设计相比，拉丁超立方实验基于采样设计方法，大大减少了样本数量，计算效率更高，自由度更高，且内存更少。所以作者选择拉丁超立方抽样来选择研究样本点。
拉丁超立方抽样步骤是：
1.将每个维度的影响因子划分为n个区间，这使得每个区间采用相同的概率进行采样。
2.随机抽取每个区间的一个点；
3.用选定的点形成一个矢量。
本节首先利用Hyperworks软件的实验设计函数对影响因素进行拉丁超立方抽样，然后设计模态分析实验，然后研究变量与响应的关联性，最终选取优化变量。部分样本点显示在附录中。
相关分析:
在研究身体部位的大小和模式之间的关系时，经常使用灵敏度分析方法。但灵敏度分析方法在选择较少的样本点方面比关联分析方法有用，该方法重点研究微观变化并适合在特殊条件下应用。当变量在大范围内变化时，灵敏度分析方法是不可行的。所以作者使用相关分析来选择变量进行优化。
线性相关公式为：
在这个等式中，r是相关系数，x和y是计算r的变量。
影响因素是12个板（壳）的厚度，结果是一阶频率和质量，样品总数为91个。样品点的部分结果显示在附录中 通过实验设计，可以得到设计变量与一阶频率之间的关系，相关系数较高的设计变量被视为优化变量。通过Hyperworks软件的DOE分析功能，可以得到12个板的一阶频率和厚度的相关性，如表4所示。
我们可以得到从高到低的正相关系数，如shell10（0.6），shell7（0.5），shell3（0.4），shell5（0.2），shell9（0.2）和shell12（-0.3），shell6-0.1）。其他变量的相关系数小于0.1，对第一频率影响不大。这七个变量（1,3,5,6,7,10,12）已被选为优化变量。
自适应响应面法和优化结果：
自适应响应面法结合数学方法和统计学方法的优点。自适应响应面法可以成为拟合变量与响应之间关系的非常好的工具，并为优化设计提供解决方案。设计变量和响应y关系可以表示为：
phi;i（x）是x的多项式，m是多项式的个数，ai是多项式系数。
当使用线性多项式时，
当使用二次多项式近似时，
a是系数向量，由最小二乘法确定。
自适应响应面法优于传统的响应面。首先，一阶响应面将由少量采样点形成，以确定最有利区域。然后，在该区域内，所有采样点形成复杂的二次响应曲面，从而得到准确的优化结果。
模态分析结果表明，四阶模态频率非常接近谐振系统的常用工作频率。所以四阶模态频率应该增加或减少，这与普通工作频率不同。由于四阶模态频率与一阶频率相关，增加一阶频率是一种方法。优化的设计变量是钢板厚度，优化目标是一阶模态频率。由于这种优化是为了改善结构而增加四阶模态频率，为了确保四阶模态频率高于工作频率而低于第三阶模态，壳层的厚度应该在一个小范围内变化。因此，壳体厚度的上限定义为其原始值的110％，下限为90％。为方便起见，x4，x5的约束条件设置如下。这种优化的约束条件和目标可以描述如下：
其中，x1，x2，...，x7是表示选定壳体厚度的设计变量。在表5中，自适应响应面法在10次迭代后计算出最优设计变量值。优化过程曲线如图10所示。
通过以上优化结果，我们可以得到壳1的厚度为22.5mm，壳3的厚度为27.5mm，壳5的长为38.9617mm，壳6的长为40.7996mm，壳7的长为55.0mm，壳11的长为55.0mm，壳13的长为18.0mm。
优化之后，所有炮弹的厚度都作为优化结果进行了修改。然后进行模态分析，分析结果见表6。
从表格中我们可以发现前10个订单频率已经增加。而接近机器工作频率45HZ的四阶频率增加了约4 HZ。频率的这种变化将减少共振并改善工作时间的工作条件。
总结和展望：
本文根据破碎机前框的模态分析，发现破碎机前框第四频率接近破碎机共振系统的工作频率。为了解决这个问题，本文开展了以下工作。
模态频率主要取决于质量和刚度，而壳体的厚度决定了质量和刚度。对于模态频率和厚度关系的研究，采用最优拉丁超立方体方法进行实验设计，得到样点。通过线性相关分析，选择了有价值的优化变量。这些变量和响应可以用于建立优化的近似模型。
该模型通过自适应响应面法进行优化。工程问题通过约束被定义为局部优化问题。根据优化结果，模型频率有所增加。四阶频率远离工作频率。
这项研究具有相关性分析和DOE与优化之间的一系列变量。相关系数低的变量可以分为两类：一类是对响应影响不大的变量，另一类是敏感性和可变性的变量。减少前者可以加快运行速度，减少后者可以使优化更加准确。实际上，敏感变量在生产过程中带来更多困难，忽略它们可以提高设计和生产的效率。
这篇文章的缺陷是没有实验验证。而外壳的厚度导致加工困难。但简单的有限元分析只是为了提供参考，这将减少设计的工作量。
参考文献：
1. Wang Q.H.现有水泥混凝土路面共振破坏机理及效果研究. MS., 重庆交通大学, 中国, 2011.
2. Xu Hai.共振断路器振动系统动力学仿真研究.MS.,武汉理工大学, 中国 2012.
3. Myers R H, Montgomery D C. “Response Surface Methodology: Process and Product Optimization Using Designed Experiments,” New York: Wiley Publishers, 1995.
4. Chen J, Xiao R, Zhong Y.基于响应面的多学科鲁棒优化设计分层分析方法. 先进制造技术杂志, 2004, 41(6): 1892204.
5. Xu, H., Majcher, M., Chuang, C., Fu, Y. et al., “Comparative Benchmark Studies of Response Surface Model-Based Optimization and Direct Multidisciplinary Design Optimization,” SAE Technical Paper 2014-01-0400, 2014, doi:10.4271/2014-01-0400.
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