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用于逼近分数阶傅立叶变换的自由空间菲涅尔衍射
CHUNG J. KU O *, NIY . CHANG ,YUAN LUO
国家中正大学电子工程系信号与媒体（SAM）实验室，台湾嘉义62107
（*通讯作者：E-mail：kuo@ee.ccu.edu.tw）
摘要：根据华氏的方法，一个物体的分数傅里叶变换可以用物体的自由空间菲涅尔衍射图在一定的限制条件和平面波照射下进行近似。在本文中开发出来的最小平方条件下可以获得更精确的逼近。与之前的方法相比，其仿真结果验证了我们的理论开发为任何分数阶alpha;提供了更好的逼近。
关键词：分数阶傅里叶变换，菲涅尔衍射
1、介绍
分数傅里叶变换（FRT）被广泛研究并且发现它在光学信息处理中的应用（Lohmann 1993）。分数傅里叶变换与Wigner分布直接相关，所以分数傅里叶变换可以被看作是一种特殊的小波变换。因此，它非常适用于分析和处理非平稳信号。光学分数傅里叶变换首先是通过使用GRIN（Mendlovic等等.1994）和镜头（Bernardo and Soares 1994）获得的。还显示了GRIN的输出光场是输入光场的分数傅里叶变换。后来的结果（Hua等人.1997）表明，如果物体被平面波照射，物体的分数傅里叶变换可以近似为物体的自由空间菲涅耳衍射图。但是，只有在一些有限定性的条件下才可以如此。在本文中，我们通过使用最小二乘法推导出上述近似值的有效条件。因此，限制条件被Hua等人在1997年轻松的给出。仿真结果表明，与先前的方法相比，我们的方法为任何分数阶alpha;提供了更好的逼近。
2、理论发展
分数傅里叶变换首先由数学家发明，然后应用于解决工程问题分数傅里叶变换是经典傅立叶的推广变换（Dorsch和Lohmann 1995）。因此它的应用类似于傅里叶变换。分数傅里叶变换（McBride and Kerr 1987）对函数的阶alpha;的定义是:
（1）
其中当时，其一些属性可以在McBride和Kerr（1987）的着作中找到,此外,根据 (Mendlovic et al。1995），分数傅里叶变换的定义等同于
=] （2）
其中是用于分数傅里叶变换实施的透镜系统（Ozaktas和Mendlovic 1993）中定义的透镜的焦距。
在这里，我们考虑分数傅里叶变换实现的自由空间传播系统。 将物体的分数傅里叶变换：（Hua等人，1997）
（4）
（5）
（6）
（7）
我们将等式(4)-(7)表示为Hua对自由空间光学分数傅里叶变换实施的条件。请注意，Hua等人的方程式(4)省略了。（1997）从而获得分数傅里叶变换近似值。这个简化等同于上面所示的等式(7)。与Andres等人提出的近似不同（1997）,他们要求球面波前照明，我们的研究在这里要求被分数傅立叶变换的对象被平面波照亮。
在本文中，我们推导了自由空间光学分数傅里叶变换实现的更一般的条件。现在，首先让
（8）
（9）
（10）
比例因子，通过将等式(8)-(10)代入等式(3)，我们有
（11）
比较方程(2)和方程(11)，我们发现这两个方程是等价的
（12）
（13）
换句话说，如果等式(12)和(13)是成立的等式，那我们我们可以从相应的自由空间菲涅尔衍射图获得物体的分数傅里叶变换.所有的传播因子在这里也被忽略（类似于华等人1997年的工作）。
由于这些关系是高度非线性的，因此方程(12)和(13)的一些简化是非常必要的。 由于和是具有不同单位的两个独立变量，因此我们从方程(12)和(13)得到以下关系：
（14）
（15）
（16）
如果我们设定,（相当于Hua的条件中的方程(6)），则方程(14)-(16)变成
（17）
（18）
（19）
显然，没有这样的alpha;和beta;同时满足等式(17)-(19)。因此，我们不用求解方程(17)-(19)，而是求解下列方程：
（20）
（21）
（22）
其中△是一个变量。对于方程(20)-(22)是正确的，我们有
（23）
（24）
等式(6)和(23)因此被命名为用于自由空间光学分数傅里叶变换实施的最小平方条件。还应该需要注意的是, △是Phi;和最大的函数，其对应于最大。 比较方程(4),(5)和(23),显然，相对于一个物体接近其分数傅里叶变换来说的话，华的条件并不是最好的菲涅耳吸收模式，因为公式(7)的误差取决于Phi;和最大误差可以上升到1.对于这里导出的最小平方条件，它们保证每个方(17)-(19)中的误差相同，最大误差总是小于1/8。
相比较于两种方法，最小平方条件近似下的分数傅里叶变换和华的方法之间的比较如以下所示，在输入平面的坐标（x0）与要进行分数傅里叶变换的函数的参数（x0e）之间的华的方法中的条件的比例因子是，而我们是。尽管他们的比例因子是不同的，但是他们都需要依赖于分数次序alpha;。而在输出平面中，华的方法的条件中没有比例因子。因此，可以直接获得分数傅里叶变换近似值。然而，我们的近似在输出和输入平面中具有相同的比例因子。 由于这个比例因子相同的，所以整个过程中它是固定的，所以我们总是可以在物体被强度记录捕获后的衍射图案上进行缩放装置来产生其分数傅里叶变换。（还应该需要注意的是，最小平方近似确保相位误差最小化，但华的近似却不能够保证相位误差最小化）。至于分数傅里叶变换在自由空间中出现的位置，它与方程(6)有关，而且在华的方法和最小平方条件之间没有存在矛盾。
因此，根据上面的讨论，可以得出的结论是分数傅里叶变换可以被认为是稍微修改的菲涅耳变换。由于两个变换之间可以相互转换，他们之间的差异可以用一个或两个二次相位因子（或透镜）表示，所以可以通过菲涅耳变换来实现近似分数傅里叶变换，而进行变换的前提必须是二次相位可以被忽略。在华的方法中，输入侧的二次相位因子由球面波照明引入，而在输出侧，他们使用约1.2m的等效焦距，这就足以减少由相关的二次相位因子引起的失真，特别是当只考虑强度分布时。对于本文来说也可以从这个角度来考虑，除了系统被对称化以使球面波照明不再需要，结合输入和输出的误差。
仿真结果
在展示模拟结果之前，我们首先定义A(a)作为对象的分数傅里叶变换（具有阶a）的振幅谱.分别地,和表示自由空间光学分数傅里叶变换实现获得的振幅谱，其满足华的理论和最小平方条件。 图1(a)显示了图像（20times;20个方形图案）用于仿真验证。在这里，100times;100点FFT计算分数傅里叶变换和菲涅耳衍射图案，并设定a=0.1和Phi;＝Pi;/20。 对于A(0.1)，,和分别如图1(b)-(d)所示。 对于，我们让和毫米.显然，我们的结果与根据图1的分数傅里叶变换非常相似。
为了客观地比较我们的结果和前面的结果，我们计算（或）之间的归一化相关性，关于的自相关性）和不同分数阶的结果示于图2,这里，我们使用最小平方条件（即方程式(6)和(20)）并将。 尽管Hua的条件（和我们的）的值alpha;受到了限制，但是测试了分数阶的宽范围（0.1-0.9），以观察自由空间菲涅耳衍射能够接近分数傅里叶变换的程度如何，即使假设理论发展受到侵犯。 当alpha;很小时，分数傅里叶变换结果（和）几乎相同，都近似于。 然而，对于大的alpha;，我们的结果提供了与hua相比更高的相关性（或更好地近似于分数傅里叶变换）。
图1模拟结果：(a)输入模式;(b)-(d)基于FrT定义的振幅谱; 华的近似; 和我们的近似
这表明与华的条件相比，分数傅里叶变换近似的最小平方条件限制较少。对于最小平方的情况和华的计算均方误差，如图3所示。这里，均方误差定义为
（26）
当i=H或者LS。当分数阶alpha;很小时，最小平方近似和华氏之间的差异很小（小于1 dB）。当分数阶alpha;达到时0.9，这种差异会逐渐增加至约3dB。 同样，图3验证了我们的近似与先前的方法相比是更好的近似。
尽管我们的理论发展表明最小平方条件下的最大误差出现在分数阶，但最大相关性和最小均方误差不会发生在这个分数阶上。 这是因为最大误差基于方程(17)-(19)，而相关性和均方根误差基于输入物体的分数傅里叶变换的振幅谱.根据我们的理论，振幅谱是输入对象alpha;，beta;和gamma;的非线性函数的研究。
frac14;
图2.两种不同自由空间光学FrT实现的相关结果
图3.两个不同自由空间光学FrT实现的均方误差结果
因此，方程(17)-(19)中的最小误差不能保证物体的FrT的匹配性会发生同样的情况。 由于输入对象在变化，所以不可能找到所有输入对象的最佳逼近以进行分数傅里叶变换，所以我们的最小平方条件在实际应用中提供了准最佳逼近。
结论
分数傅里叶变换是光学信息处理的有用工具。 在本文中，我们发展了最小平方条件（与Hua et al。1997相比），以便对象的自由空间菲涅尔衍射图逼近其分数傅里叶变换。 仿真结果表明，我们的方法确实提供了更好的逼近不同的分数阶a。
致谢
这项研究部分得到台湾国家科学理事会的支持，合同号为NSC 86-2215-E-194-006。 非常感谢来自匿名评论者的宝贵意见。
参考文献
[1] Andre′ s, P., W.D. Furlan and G. Saavedra. J. Opt. Soc. Am. A 14 853, 1997.
[2] Bernardo, L.M. and O.D.D. Soares. J. Opt. Soc. Am. A 11 2622, 1994.
[3] Dorsch, R.G. and A.W. Lohmann. Appl. Opt. 34 4111, 1995.
[4] Hua, J., L. Liu and G. Li. Appl. Opt. 36 512, 1997.
[5] Lohmann, A.W. J. Opt. Soc. Am. A 10 2181, 1993.
[6] McBride, A.C. and F.H. Kerr. IMA J. Appl. Math. 39 159, 1987.
[7] Mendlovic, D., H.M. Ozaktas and A.W. Lohmann. Appl. Opt. 33 6188, 1994.
[8] Mendlovic, D., H.M. Ozaktas and A.W. Lohmann. Appl. Opt. 34 303, 1995.
[10] Ozaktas, H.M. and D. Mendlovic. J. Opt. Soc. Am. A 10 2522, 1993.
通过一个菲涅耳衍射和一个透镜进行分数傅里叶变换
刘建文，刘立人1，李国强
光学实验室。 中国科学院上海光学精密机械研究所，邮政信箱800-216，上海201800。
中国
1996年6月25日收到; 1996年10月修订I7; 1996年11月13日接受
摘要：
示出了用于执行分数傅里叶变换（FRT）的一些新颖光学结构，其由一个菲涅耳衍射和一个透镜构成。 与先前建议的设置相比，
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