Engineering Failure Analysis
Analytical model for mesh stiffness calculation of spur gear pair with non-uniformly distributed tooth root crack
Wanming Zhai , Yimin Shao , Kaiyun Wang , Guohua Sun
Keywords:Tooth crack；Mesh stiffness；Analytical method；Dynamic response；Gear transmission
a b s t r a c t
Gear tooth crack is likely to happen when a gear transmission train is working under excessive and/or long-term dynamic loads. Its appearance will reduce the effective tooth thickness forload carrying, and thus cause a reduction in mesh stiffness and influence the dynamic re-sponses of the gear transmission system, which enables the possibility for gear fault detection from variations of the dynamic features. Accurate mesh stiffness calculation is required for im-proving the prediction accuracy of the dynamic features with respect to the tooth crack fault. In this paper, an analytical mesh stiffness calculation model for non-uniformly distributed tooth root crack along tooth width is proposed based on previous studies. It enables a good prediction on the mesh stiffness for a spur gear pair with both incipient and larger tooth cracks. This method is verified by comparisons with other analytical models and finite element model (FEM) in previous papers. Finally, a dynamic model of a gear transmission train is developed to simulate the dynamic responses when cracks with different dimensions are seeded in a gear tooth, which could reveal the effect of the tooth root crack on the dynamic responses of the gear transmission system. The results indicate that both the mesh stiffness and the dynamic response results show that the proposed analytical model is an alternative method for mesh stiffness calculation of cracked spur gear pairs with a good accuracy for both small and large cracks.
1 . Introduction
Gear transmission train is widely employed in different areas, such as industrial machinery, automotive applications, locomotives, ships and airplanes, to transmit power and motions [1–3]. Its dynamic performance has attracted an intensive attention from the researchers and manufacturers due to its vital role in the mechanical transmission system. Excitations of a gear transmission train are always categorized into two types: external and internal excitations. The external excitations are usually from the fluctuations of the applied load and input operating speed [4–7], while the internal cyclic excitations, namely the timevarying mesh stiffness and transmission errors, are the inherited characteristics of a gear transmission system [2–9]. As one of the internal excitations, mesh stiffness appears to be time-varying due to variations of the number of teeth in mesh and the change of the contact position. How to capture it as accurately as possible is the goal of the related research works, which actuates the development of the numerical and analytical models for the mesh stiffness calculation.
Finite element (FE) technique is frequently used in the gear mesh stiffness calculation [10–12]. However, the FE models of gear pairs need mesh refinement so as to capture the contact patterns and the detailed geometrical features, thus leading to an expensive computational cost. Fortunately, analytical models, as the alternative methods, could show good agreement with the results obtained by FE models with less computational time [13,14].
As early as in 1940s, Weber [15] developed an analytical model to calculate gear tooth deformations under load. In his model,the tooth compliance consists of three parts: the basic tooth deflection as a beam, the tooth deflection resulted from the filletfoundation flexibility, and contact deflection of the teeth in mesh. Later, Cornell [13] extended Weber#39;s model to include an improved fillet-foundation compliance analysis. Based on Weber#39;s model, Chaari et al. [14] developed ananalytical model to calculate the gear mesh stiffness. Recently, a so-called potential energy principle has been widely adopted ever since it was employed by Yang and Lin [16] to calculate the total mesh stiffness of spur gear pairs. By considering the effect of tooth shear deflection, this model was then refined by Tian [17] and Wu et al. [2], and further extended by Chen and Shao [3,19,20] with considering thefillet-foundation deflection [18]. Additionally, many research works attempted to extend these analytical models to the application in the calculation of gear mesh stiffness with tooth crack fault [2,3,14,15,19–28].
Presence of gear tooth crack will reduce the effective thickness of a gear tooth carrying the load. Consequently, it will cause a reduction in the mesh stiffness which is likely to generate some undesirable dynamic responses of the gear transmission system.The truth that tooth crack fault will change the dynamic responses enables the possibility of a vibration-based fault diagnosis for a gear transmission. Therefore, more precise methods of mesh stiffness calculation for cracked gear pairs are essential for better understanding the dynamic features with respect to the gear tooth crack failures. Li et al. [21,22] proposed an embedded-dynamic-fracture model to identify the gear meshing stiffness based on the measured gear angular displacement or transmission error and then predicted the gear fatigue crack propagation. Chaari et al. [14], based on Weber#39;s model [15], developed a mesh stiffness calculation model for cracked spur gear tooth which is validated by FE analysis, where only the reduction of tooth thickness in the cracked area was considered.
Wu et al. [2] and Tian [17] developed an analytical model for mesh stiffness calculation of a cracked spur gear pair based on the potential energy principle. Then, Chen and Shao [3,19,20] developed an analytical calculation model to calculate the mesh stiffness of
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工程故障分析
具有不均匀分布的齿根裂纹的正齿轮对的网格刚度计算的分析模型
翟万明，邵一鸣，王开云，孙国华
文章信息
文章历史：
收到日期：2015年12月28日
收到修订后的表格2016年4月28日
接受2016年5月5日
在线可用2016年5月7日
关键词：牙裂纹 网刚度 分析方法 动态响应 齿轮传动
摘要
当齿轮传动系在过度和/或长期动态负载下工作时，齿轮可能产生裂纹。其外观将减少用于载荷的有效齿厚度，并且因此导致啮合刚度的降低和齿轮传动系统的动态响应，这使得能够根据动态特征的变化来检测齿轮故障。需要精确的网格刚度计算来提高动态特征相对于齿裂纹断层的预测精度。在本文中，基于先前的研究提出了一种用于沿齿宽不均匀分布的齿根裂纹的分析网格刚度计算模型。它能够很好地预测具有初始和较大齿裂纹的正齿轮对的网格刚度。这种方法通过与其他分析模型和有限元模型（FEM）在以前的论文比较验证。最后，齿轮传动系的动力学模型被开发以模拟当不同尺寸的裂纹种植在齿轮齿中时的动态响应，这可以揭示齿根裂纹对齿轮传动系统的动态响应的影响。结果表明，网格刚度和动态响应结果表明，拟议的分析模型是一个替代方法的网格刚度计算的裂纹正齿轮对，小裂纹和大裂纹具有良好的精度。
- 介绍
齿轮传动系广泛应用于不同领域，如工业机械，汽车应用，机车，船舶和飞机，以传输动力和运动[1-3]。由于其在机械传动系统中的重要作用，其动态性能已经吸引了研究人员和制造商的密切关注。齿轮传动系的激励总是分为两种类型：外部和内部激励。外部激励通常来自所施加载荷和输入运行速度的波动[4-7]，而内部循环激励，即时变网格刚度和传输误差是齿轮传动系统的遗传特性[2-9 ]。作为内部激励之一，由于网孔中的齿数和接触位置的变化，网格刚度看起来是随时间变化的。如何尽可能准确地捕获它是相关研究工作的目标，其致动用于网格刚度计算的数值和分析模型的开发。
有限元（FE）技术经常用于齿轮啮合刚度计算[10-12]。 然而，齿轮对的有限元模型需要网格细化，以捕获接触模式和详细的几何特征，从而导致昂贵的计算成本。 幸运的是，作为替代方法的分析模型，可以与由较少计算时间的FE模型，获得很好地一致的结果[13,14]。
早在1940年代，Weber [15]开发了一种分析模型来计算负载下的齿轮齿变形。在他的模型中，齿的顺从性包括三个部分：基本的齿偏移作为梁，由于滤波基础灵活性引起的齿偏移，以及啮合中的齿的接触偏移。后来，康奈尔[13]扩展了韦伯的模型，以包括一个改进的基础合规性分析。基于Weber的模型，Chaari et al。 [14]开发了分析模型来计算齿轮啮合刚度。最近，一个所谓的势能原理已被广泛采用，因为它被杨和林[16]用来计算正齿轮对的总网格刚度。通过考虑齿剪切变形的影响，该模型由Tian [17]和Wu et al。 [2]，并进一步延伸陈和绍[3,19,20]考虑基金会的基础偏移[18]。此外，许多研究工作试图将这些分析模型扩展到齿轮啮合刚度与齿裂纹断裂计算中的应用[2,3,14,15,19-28]。
存在的齿轮齿裂纹将减小承载负载齿轮齿的有效厚度。因此，其将导致网格刚度的减小，也可能产生齿轮传动系统的一些不期望的动态响应。齿裂纹断层将改变动态响应的真实性使得能够进行齿轮的基于振动的故障诊断的可能性传输。因此，更准确的方法计算网格刚度计算裂纹齿轮对是更好地了解相对于齿轮齿裂纹失效的动态特征。 Li et al。 [21,22]提出了一种嵌入式动态断裂模型，根据测得的齿轮角位移或传动误差识别齿轮啮合刚度，然后预测齿轮疲劳裂纹扩展。 Chaari et al。 [14]基于Weber的模型[15]，开发了一种用于裂纹正齿轮齿的网格刚度计算模型，通过有限元分析验证，其中只有考虑裂纹面积。
Wu et al。 [2]和Tian [17]基于势能原理开发了一个裂纹正齿轮对的网格刚度计算的分析模型。然后，Chen和Shao [3,19,20]开发了一种分析计算模型，用于计算沿齿宽不均匀分布的齿根裂纹的正齿轮的网格刚度。到目前为止，分析网格刚度计算模型已经从2-D到3-D开发。后来，他们[23]扩展了这个模型应用于网格刚度计算裂纹内齿轮齿。 Pandya和Parey [24]使用一个轻微的曲线裂纹传播路径来修正总和。
基于势能原理的网格刚度计算模型。 Mohammed et al。 [25]应用Chen的3-D分析模型[3]研究了齿裂纹沿齿宽和裂纹深度同时沿网格刚度传播的效果。此外，由于齿弯曲损伤导致的整个牙齿塑性倾斜被Shao和Chen [26]和Mark等人[27,28]在他们的研究工作。 Ma et al。 [29]开发了一种改进的方法来计算裂纹齿轮对的网格刚度，考虑在齿填充的准确过渡曲线。 Liang et al。 [30,31]提出了考虑基圆与基圆偏差的正齿轮网格刚度计算的详细公式。最近，Ma et al。 [32]详细审查了裂纹齿轮系统的动力学，其中还涉及有或没有齿裂纹的网格刚度计算模型或方法，他们还指出了关于未来研究工作的齿轮动力学的开放问题
以前大多数的论文通过去除由齿廓，齿根裂纹的传播路径和通过裂纹尖端并平行于牙齿中心线的线所包围的区域内的材料来考虑齿根裂纹的影响。剩余的齿段被定义为用于承载的有效区域。然而，Mohammed et al。在他们的论文中发现，用于去除上述裂纹齿材料的传统方法仅可以在裂纹小时应用，在它们的案例研究中表示小于30％的齿厚，而当裂纹较大时，将导致大的偏差当裂纹较大时的网格刚度。为了解决这个问题，他们提出了一种方法，即基于通过FE分析获得的应力分布，通过裂纹顶端和平行于齿中心线的线通过裂纹顶端和裂纹侧齿顶的抛物线曲线替换。这种改进的模型能够更精确地计算小裂纹和大裂纹的齿轮啮合刚度。然而，假设裂纹深度沿着整个齿宽是恒定的，他们使用的裂纹模型也是2-D。
在本文中，开发了一种改进的齿轮齿根裂纹的三维网格刚度计算模型，其深度沿齿宽不均匀分布。在该模型中，相对于齿根裂纹的被去除材料的区域被定义为由齿廓，齿根裂纹的传播路径以及连接裂纹尖端和裂纹边齿的线所围绕的“死区”截面尖。通过与参考文献中的FE模型获得的结果进行比较，验证了较小和较大裂纹深度的这种分析模型。 [33]。同时，通过两个已知位置（即齿尖和裂纹尖端）的抛物线曲线，其顶点在齿顶处，并且其对称线平行于齿的中心线，已经证明具有与所提出的线 - 型方法，指示使用线型方法来替换抛物线是可行的。所提出的线型方法和抛物线方法也适用于阐明它们和以前的模型之间的差异。 [3]当它们被用来计算具有沿着齿宽不均匀分布的裂纹深度的正齿轮对的网格刚度。在本文中忽略了整个牙齿的塑性变形。
本文的组织结构如下：先前出版的关于网状刚度计算研究工作和有或没有齿根裂纹的齿轮系统的动态研究的综述在介绍中进行，这促进改进的网格刚度计算模型的形成 的正齿轮对。 然后，改进的分析模型在第2节中充分介绍，其次是第3节中的网格刚度计算结果，以证明其有效性。 最后，在第4节中开发了正齿轮传动系的动态模型，以揭示齿根裂纹的动力学特征，随后是结论部分。
- 具有齿根裂纹的正齿轮对的分析网格刚度计算模型
齿根裂纹通常在齿轮齿的位置处开始，其中在材料中形成应力集中[2,3]。齿根裂纹的存在将导致有效齿厚度的减小，并且相对于裂纹的齿材料的一部分被定义为当计算齿轮啮合刚度时应当从齿中移除的“死区” [2,3,19,20,24-26,29-33]。大多数以前的论文考虑了齿根裂纹的影响，通过去除牙齿材料在“死区”包括牙齿，牙齿裂纹和限制线[2,3,19,20,24-26， 29-32]。该限制线通过裂纹尖端并平行于齿的中心线，与裂纹尺寸无关，如图1中的线极限1所示。然而，Mohammed et al。 [33]发现，当裂纹超过齿根厚度的30％时，这种线型极限将导致网格刚度与FE较大的偏差结果。他们提出了一个抛物线极限，而不是图1中的线极限1。 1基于使用有限元分析得到的载荷下的齿应力梯度，提高裂纹正齿轮对的网格刚度的计算精度。详细的牙齿应力梯度分析，在纸中形成，这将不会在本文中重复展示。该抛物线曲线定义为穿过裂纹尖端和裂纹侧面齿尖，其在图1中由虚曲线示意性地表示。当连接裂纹尖端和齿尖端的线与齿的中心线平行时，它将退化为线（参见图1b）。
在本文中，提出了连接裂纹尖端和裂纹侧齿顶的线型极限（参见图1中的线极限2），而不是抛物线曲线极限。 Chen和Shao [3]采用图1和图2所示的线型极限，扩展了2-D的分析网格刚度计算模型。 1〜3-D。这种3-D分析模型使得能够沿齿宽度具有不均匀分布的裂纹的正齿轮对的网格刚度计算。在本文中，3-D计算模型通过应用连接裂纹尖端和裂纹侧齿廓的新的线型极限改进，如图1所示。用于改进方法（参见图3）的“死区”显然不同于先前方法（参见图2）的“死区”。载有负载的有效齿厚度改变。因此，可以通过改进的方法更新网格刚度计算。此外，参考文献中提出的抛物线曲线方法。 [33]用于本文的比较。在本文中定义的抛物线曲线通过其顶点所在的裂纹尖端和裂纹边齿尖，并且其对称线平行于牙齿的中心线。该抛物线曲线在图1中示意性地示出。但在图1中未绘出。
具有不均匀裂纹深度的齿轮齿可以沿着齿宽[3]分成一系列切片，如图1和2所示。 2和3，其中每个切片的沿着齿宽的裂纹长度可以被认为是恒定的，这在dx小时是合理的。 因此，整个齿的刚度（K）可以通过积分每个切片的刚度[3]
3.网刚度结果和讨论
为了证明齿根裂纹对正齿轮副的啮合刚度的影响，本节进行了一个案例研究。研究的正齿轮对的设计参数在表1中列出，其从参考文献中提取。 [3,14]。假设齿根裂纹沿齿宽的分布与参考文献中的相同。 [3]。为了验证提出的具有齿根裂纹的网格刚度计算模型，四个相同的裂缝水平与参考文献1中相同。 [33]，即案例A，B，C和D，在本文中定义。裂纹水平定义为在裂纹初始位置测得的裂纹深度与齿厚度的比值[33]。假设这些裂纹断裂通过具有恒定深度的齿宽。裂纹倾斜角为70°（参见图2和图3中的alpha;）。在图1中进行了通过改进方法获得的分析结果与通过NX方法的FE分析结果之间的比较。通过NX方法获得的数据来自参考文献。 [33]。可以看出，通过改进的方法和NX方法获得的网格刚度结果彼此吻合，验证改进的分析网格刚度的有效性。它还揭示了改进的方法使得能够具有用于预测具有小裂纹和大裂纹的正齿轮对的网刚度的相对高的精度。
经验证的分析网格刚度计算方法提供了一个机会来揭示通过所提出的线型方法（参见图1中的线限制2）获得的网格刚度结果和参考文献中的方法获得的网格刚度结果的差异。 [3]见图。 2）和[33]。这里，抛物线曲线通过其顶点所在的裂纹尖端和裂纹边缘齿尖，并且其对称线被假定为平行于齿的中心线。此外，假定裂纹通过具有70°的倾斜角的齿宽。分析了五个裂纹水平，即0％，15％，30％，45％和60％。单齿和双齿啮合刚度结果如图1所示。可以看出，通过所提出的线型方法和抛物线方法获得的结果，对于小裂纹和大裂纹彼此非常相似。并且当裂纹水平小于30％时，三种方法在预测网格刚度方面具有可忽略的差异。然而，参考文献中的方法将出现相对较大的差异。 [3]当裂纹水平大于此值时，这与参考文献中的结论一致。 [33]。参考文献[3]将高估齿根裂纹对网格刚度减小的影响，即通过前面的方法获得的结果可能在故障振动特征的预测中作出乐观估计。
然后，使用提出的线型方法，抛物线方法和参考文献中的先前方法来研究裂缝长度沿着齿宽度对网格刚度的影响。 [3]，其中可以再次获得它们之间的差。这里，沿齿宽的裂纹深度分布为抛物线，一个齿端的裂纹深度和倾斜角分别为2mm和70°。裂纹长度与齿宽的比为E（0％），F（25％），G（50％），H（75％），I（100％），J（100％ ，其中100％ 2表示裂纹已经通过整个齿宽，而另一齿端的裂纹深度为2mm。不同裂纹长度下正齿轮对的单齿和双齿啮合刚度如图1所示。可以看出，较大的裂纹长度将导致较大的网刚度减小。当裂纹长度小时，通过三种方法获得的结果之间的差异非常小，以至于可以忽略。虽然通过参考文献中的方法计算的网格刚度的减小， [3]大于通过线型和抛物线方法对于较大长度的方法，指示参考文献中的方法。 [3]将高估裂纹断裂的影响。虽然线型和抛物线方法在预测齿轮啮合刚度方面具有相似的精度。
不管裂纹是否沿着其深度或齿宽度传播，可以得到类似的结论，即计算的网刚度来自于参考文献1中的先前方法。 [3]和改进的线型方法很好地彼此符合小裂纹尺寸，而以前的方法在Ref。 当裂纹尺寸较大时，[3]会高估齿裂纹对网格刚度的影响。 然而，所提出的线型方法和抛物线方法对于小裂纹和大裂纹的网格刚度计算具有相似的精度。 因此，建议所有三种方法对于初始齿根裂纹的影响的动态模拟是推荐的。而对于较大的裂纹尺寸，推荐所提出的线型方法和抛物线方法。
4正齿轮传动与齿根裂纹的动力响应
基于网格刚度计算方法和正齿轮传动的动力学模型，可以揭示齿根裂纹对动力响应的影响。模拟了齿根裂纹的两种传播方案，即沿裂缝深度（方案1）和沿齿宽（方案2）的传播。对于情况1，齿裂纹深度均匀分布在整个齿宽上，而对于情形2，其沿齿宽的抛物线曲线不均匀分布。
通过提出的线型方法，抛物线方法和参考文献中的方法获得的齿轮的横向加速度振动。 [3]提出了齿根裂纹对齿轮动态响应的影响，如图1所示。在这里表示在情形1中裂纹深度为60％的情况，因为
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