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基于解析离散余弦变换的S变换时频分析
S. Roopa n, S.V. Narasimhan
航空电子和系统分部，国家航空实验室（科学与工业研究理事会（CSIR）， 印度新德里，班加罗尔560017，印度
文章信息
文章历史：
收到了2013年10月30日
收到修改形式 2014年4月16日
接受了2014年5月30日 2014年6月11日在线
摘要
本文提出了一种基于解析离散余弦变换的新的s变换。这是通过使用离散傅里叶变换（DFT）推导出DCT实现的，解析DCT，它保留了DCT的理想属性，也就是：与那些传统的DFT相比，改进了频率分辨率和显著减少频率泄漏量。与那些基于DFT的S变换相比，新的S转换将在频率分辨率和能量浓度（沿频率轴）方面提供更好的性能。将提出的方法应用于不同类型的测试信号，揭示其在高频率时的时间分辨率、在低频率范围的频率分辨率和改善能量集中这些方面的性能改善。
关键字：S变换、DFT、DCT、解析DCT、时频分析
1.介绍
S变换因为其在传统的小波变换上的特殊性而在时频表现上获得了很大的优势。[1]它不仅提供了一个频率相关的分辨率，还提供了一个与傅里叶频谱直接有关的信号绝对相位和频率指数。然而, 它有在较低频率下具有低频率分辨率，在高频率下具有低频率分辨率的问题。通过使用自定义的高斯窗口来提供更好的能量集中，这些现象在一定程度上已被改善。[2]
例如像语音、心音图、心电图这些不稳定信号，它们的统计特性为随着时间的变化，针对于跟踪随时间变化的频谱变化，利用傅里叶变换得到的时间的平均振幅的频谱是不充分的。经常用于非平稳信号分析的短时间傅里叶变换（STFT）不能分别在低频率和高频率下同时提供好的频率分辨率和时间分辨率，这是因为其固定的窗口宽度。同时，小波变换（WT）分别在低频率和高频率下可同时地提供良好的频率和时间分辨率，相当于一个依赖频率窗口的STFT。但传统的连续小波变换（CWT）只提供在本地被引用的相位信息，被引用的相位的时间来源不能被恢复。S变换（S-transform）是一个结合了STFT和WT的良好特性的时间——频率的代表。ST提供了频率相关的分辨率维持与傅里叶谱的直接关系。此外，ST可以提供被引用的相位信息的时间来源，由于傅里叶核与其相对的CWT局部引用的相位信息的结合。在特定的时间内，ST提供的频谱是频率的一维函数，与傅里叶谱相似。因此，ST对像心音图这样的生物信号的直观的视觉分析是很方便的,与时间尺度的WT图相比而言。ST已成功在许多应用程序中用于分析信号，如心血管时间序列[3]、模式识别、地球物理学[4],功能性磁共振成像(MRI)[5],复杂的时间序列和电力系统扰动识别[6]。Sejdic等人[7]已经表明，对于心脏声音信号的时间频率表现，与STFT和WT相比ST提供了最佳结果。
ST是通过应用一个每个频率的DFT频谱的高斯窗口来实现的。然而，由于 高斯窗口的性质，ST在时域和频域都有较差的频率分辨率和能量集中。因此，不同类型的窗口已经被用来改善时频分辨率。麦克费登等[8] 提出了一个使用非对称窗口的广义S变换来控制分辨率。两个非对称高斯窗口已被Pinnegar 和 Mansinha应用[9]。其中一些方法仅仅提供了时间和频率分辨率。通常在许多应用程序中，首选具有更好的时间和频率分辨率的应用程序。在这个方向上，一种通过信号参数来控制时间和频率分辨率的方法被提出来了。引入了改进的S变换，相比于原始的S变换它在时间频率方面提供了更好的能量集中[10]。以上所有的技术都是基于DFT，沿着频率轴和有限的频率分辨率它具有频率泄露问题或低的能量集中。因为窗户的使用只能掩盖DFT的不同频率箱，它们最多只能给出DFT的基本频率分辨率。而且大家都知道DFT有严重的频率泄露问题，S变换的性能会比较差。除非基于DFT的频率分辨率和泄漏效应被改善，这些S变换的问题的改善无法实现，到目前为止，这样的努力还没有实现对S变换问题探索。因此，在推导S变换的过程中，有必要改进在DFT的频率轴上的基本频率分辨率和能量浓度。
由于信号的对称扩展，与DFT相比，DCT不仅提供了两倍沿频率轴上的频率分辨率而且改善能量集中/泄漏（因缺少/减少信号不连续）。有了想要的DCT的性能，DFT已经推导出来了这是解析的DCT（ADCT）[12]。因此，我们有兴趣使用ADCT改善S变换的性能。
在本文中，提出了一个新的基于解析DCT变换的S变换。ADCT提供了两倍的 基本频率分辨率和沿频率轴改进的能量浓度。将所提出的ADCTST应用于非平稳信号的中，与现有的S变换相比，就频率分辨率和能量浓度而言，在性能上有显著的提高。
2.S变换
S变换是STFT和WT的组合。它使用一个WT和傅里叶核的可伸缩的窗口长度，提供与之相关的引用时间源的相位信息。STFT和WT的缺点激发了S变换的存在。STFT具有一致频率分辨率和无法检测解决低频问题。在其他方面，WT缺乏关于时间原点的绝对相位，S变换是带相位校正的连续小波变换（CWT）[2]。ST对一个随时间变化的信号进行多分辨率分析，其宽度与频率成反比。当地的可伸缩高斯窗口在频率域可放大和转换[2]。这就在高频率时有更高的时间分辨率，在低频率时有好的频率分辨。高斯窗口的选择是由于它是时间和频率上都是对称的，高斯窗口的变换是高斯函数，还有对于高斯函数来说，没有侧叶。
2.1标准的S变换
信号x(t)的标准s转换被定义为
(1)
窗口函数使用的是可伸缩的高斯函数窗口
(2)
和
(3)
用方程（2）和（3）代入方程（1），
(4)
由方程（4）给出的S变换有一个时间定位的高斯函数窗口和静止的傅里叶核，（来自不同的小波核中），它将真实的和想象的光谱独立。傅里叶核选择被本地化的频率，因此它将振幅和相位谱本地化。因此，它保留了不是由WT提供的绝对相位。然而，高斯窗口没有参数来控制它的宽度。McFadden等人[8]和Pinnegar等人[9]提出了一个新的建议:ST有一个参数，它可以控制窗函数宽度。
2.2 改善的S变换
试图控制高斯窗宽，另一个附加的参数被Sahu提出，它的作用由公式
(5)
变化的宽度通过频率给出。sigma;是频率函数f的标准差,而不是像STFT那样固定的。因此，S变换变成了一个广义的S变换，它由公式
(6a)
在这里，高斯窗变成
它的频率域表示是
如果太小，在更高的频率时，频率分辨率就会降低。因为在频域扩大了窗户的宽度。如果是太大，在更低的频率时，时间分辨率就会降低，因为在减少频率域的窗口宽度。时间分辨率和频率分辨率之间的交换，使用通过线性改变窗口宽度和频率可以优化和有所缓解，在这里是线性变化的斜率。
为此, 在较低的频率时，选择更好的频率分辨率。
利用卷积定理，公式（6a）变成
(6b)
方程（6b）的傅里叶变换是
傅里叶的反变换是S变换通过公式（7）给出的
（7）
虽然改善后的ST减少了时间频率分辨率之间的权衡，但它仍然存在泄漏问题和DFT的有限频率分辨率。
2.3改进S变换（MST）
在改进的s变换中，一个不同比例规则的高斯窗口被使用。缩放功能用频率的线性函数[11]而不是一个常数，如在标准的S变换中以得到逐步控制的窗口宽度，如下：
(8)
在这里，是斜率,是截止频率。时间分辨率和频率分辨率分别取决于和。在低和高频率时，这些参数将能够控制高斯窗口的长度和方差适合于本地化。
改进的S变换通过公式
(9)
在这里，w表示改进S变换的窗口函数，通过公式
(10)
使用公式（9）和（10）
参数delta;代表傅里叶正弦信号的周期的数量,可以包含在高斯窗口的一个标准差里。时间分辨率，即事件的发生和偏移时间和频率的涂抹是由因素delta;决定的。如果太小，高斯窗保留的正弦的周期非常少。因此频率分辨率在低频率下降低。如果delta;太高窗口保留更多正弦的周期,因此在高频率的时间分辨率降低。结果表明，该值应随时间频率平面上的能量分布的变化而变化。
eta;和b的值的选择要根据正在考虑的信号的类型和性质。根据经验得到，选中的值eta;= 1/N和b等于 4倍信号的方差。在样本中，其中N是信号的长度。因此，该方法是依赖于数据的或自适应的。
3.离散S变换
对于输入信号x(n),它的离散傅里叶变换是通过下列公式给出的
,n=0,1,2,hellip;,N-1
方程（7）中的离散信号x(n)是通过下列公式给出的
当k=0时，S[m,0]的S变换被定义为
, l=1,2,3,hellip;,N-1
S[m,0]是时域信号的均值。频率域高斯函数在特定频率k下，通过公式（11）给出
(11)
4. 所提议的修改后的基于解析DCT的S变换
提出的S变换是基于解析DCT变换的，所以它将被详细考虑。此外,将要考虑改进的S变换以适应匹配解析DCT作为基础。
4.1解析DCT
DCT是实值的，并且有更好的能量压实（能量被限制在每个频率箱中，而不会由于泄漏而产生大量的散射），这使得信号的表示中，DCT系数较DFT系数少。这是因为DCT是一个对称扩展信号的DFT，它从一个周期到另一个周期的平稳过渡而没有显著的间断。与原始信号的DFT相比，信号从一个周期到另一个周期的平稳过渡，大大减少了DCT的泄漏/偏差。
进一步信号对称扩展，当它使信号长度加倍时，将频率分辨率提高了2倍。这使得DCT能够解决近距离的光谱峰值，这在DFT中是不可能的。
N点信号x(n)的DCT被定义为2N点对称扩展信号y(n)的DFT
对于[N-(1/2)]个点来说Y(n)甚至是对称的。这导致DCT系数由公式（12）给出
(12)
为了DFT利用DCT的性质，DFT系数应该直接来自DCT系数。解析DCT 的频谱来自于合并了DCT的期望属性形成的所需的新的DFT[12]。这和通过一个分析信号得到一个对称光谱的一个侧面光谱是类似的[13]。对于一个真实的信号，频谱的大小是对称的。对于一个分析信号，频谱是一方面，这意味着，对于一个单侧信号，频谱是解析的[13]。在DCT中，信号是对称的。得到来自DCT的一个侧面信号，它的频谱必须是被认为是解析的。解析DCT频谱，通过公式（13）给出
(13)
这里的是的希伯特转换。如果所需的DFT被表示为，然后它的大小和相位通过给出的。
一个信号在400HZ下抽样，由3个频率分别为10HZ、20HZ和30HZ的正弦组成，振幅分别是0.5、3和3，以及从其解析DCT频谱中恢复的信号，如图1所示。这表明，单侧信号可以从ADCT频谱的大小和相位中恢复。结果表明，该恢复信号的初始一半与原信号几乎相同，而后者的后半部分（对应于对称位置的部分）几乎为零。用于推导ADCT频谱的希尔伯特变换决定了的准确性（图1）。
解析光谱的大小是DCT谱的包络线。也就是说，DFT系数的大小是ADCT系数的包络线这就是DFT的频率分辨率比DCT更差的原因。此外，从ADCT获得的DFT系数可以得到DCT的期望属性，即减少频谱泄漏。为了估计ADCT，要计算由信号通过公式（12）给出的DCT。进一步，ADCT频谱由公式（13）计算得到。这涉及到DCT希尔伯特变换的计算。希尔伯特变换脉冲响应是由[13]
， k=1,2,hellip;,N
给出。
图1.从解析DCT频谱和原始信号中恢复信号
由于希尔伯特转换脉冲响应被截断以实现实际的实现，为了避免由于突然截断而导
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