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用方法的MATLAB的第一阶切比雪夫模拟和数字滤波器设计
摘要：本文利用MATLAB函数和工具为一阶模拟切比雪夫滤波器和IIR切比雪夫滤波器的设计。本文的第一部分的重点是通过切比雪夫逼近方法的模拟滤波器的设计，包括特点和本ISO极值逼近的数学背景，一个归一化低通滤波器逼近（NLP），并对其基本参数计算一些数学公式，如构建容错方案的切比雪夫逼近的顺序，对NLP的传递函数极点特征方程，和群延迟。由于一些频率变换公式在MATLAB中实现，非归一化频率函数形式的低通（LP）、高通（HP），带通（BP），和带阻（BS）模拟滤波器也可。本文的第二部分描述了一个一阶IIR切比雪夫滤波器设计的滤波器的可视化工具（FVT）和功能，在信号处理工具箱来实现的，而从模拟形式转换为数字形式只做了双线性变换。
关键词：切比雪夫模拟滤波器，切比雪夫近似值，切比雪夫多项式，IIR数字滤波器，MATLAB，归一化低通滤波器，NLP的特征方程，NLP的群延迟，NLP的传递函数，非归一化滤波器。
1丶简介
1.1切比雪夫近似值
让我们考虑一下C为连续实函数空间，定义一个ab之间封闭的区间，具有通常的标准值，因此，Rektorys K.等人在2000年提出：
因为n次多项式显然构成C空间有限维子空间，这是n次多项式，每个函数fisin;C相关，为了满足这种平等，因此，Rektorys K.等人在2000年提出：
下确界是考虑所有的多项式的n或更低的程度（）。这个多项式被称为最佳逼近多项式或切比雪夫逼近多项式。我们通常叫它为“极小”近似，因为最大误差在区间（a,b）是最小的；Rektorys K.等人在2000年提出。
如果多项式Qn是最好的常规多项式近似值，然后有（n 2）个节点来满足这种平等；Rektorys K.等人在2000年提出：
一些特征在（3）中被提到，意味着，最大值和最小值（即极值）的函数fminus;交替发生在节点，，···。这种特征被称为节点的切比雪夫交替特征及相应的组被称为切比雪夫交错群；Rektorys K.等人在2000年提出：
在实际使用中，我们必须找到一些n次多项式（最高功率系数等于1），它具有最小的（它是C空间范数相关）在（a,b）区间和零的差异。如果我们重新表示之前的话，然后我们发现（Nminus;1）次多项式，这是一个在区间（a,b）有最佳正则逼近多项式。在理想的情况下，多项式在区间（a,b）有多个连续的节点，其中获得值交替的迹象，不小于（n 1）。对于Xisin;{-1, 1}，所需的多项式可以写成这样的形式，因此：
（4）
最后，对- 1 = = 1和k = 0，···，n，一种理想的切比雪夫多项式是由Rektorys K.等人在2000年提出：
1.2类切比雪夫多项式
切比雪夫多项式是一系列经典的正交多项式，这是de Moivre的公式，可以递归地定义。我们通常区分两种切比雪夫多项式，从而：
第一类
第二类
这些多项式是n次多项式及其序列构成一些多项式序列。在实际应用中，切比雪夫多项式在逼近论中是很重要的，而第一类切比雪夫多项式的根在多项式插值中使用，见（1），（2）和（3）。本文的重点是描述和只使用数学背景的第一种。
一般来说，这两种切比雪夫多项式是正交的；在第一类的情况下，我们假设：
基于Sturm-Liouville理论和希尔伯特空间的正交基的形式，我们假设这个公式；Necas J.ˇ等人在1977年、Rektorys K.等人在2000年提出：
切比雪夫多项式也是这些二阶常微分方程（ODE）的解：
这些是Sturm-Liouville微分方程的特殊情况。在切比雪夫多项式的特征的情况下，我们假设的定义，表示法（多项式，三角函数，积分），正交性，生成函数，递推关系，根，和极值。
因为切比雪夫多项式是特中球多项式的特殊形式，而他们又是超几何多项式的特殊形式，具有微分方程的形式，见（7）和（8）的形式：
在第一类切比雪夫多项式的三角函数表示的情况下，让我们考虑这些公式，根据欧拉公式（de Moivre公式）：
对于|X|
对于|X|
方程（10）和（11）表明，不同的方法来定义切比雪夫多项式导致不同的明确公式-它是非常有用的设计切比雪夫滤波器不仅在通带，见（10），但也在停止带，见（11）。
2、一阶模拟切比雪夫滤波器的设计
切比雪夫多项式也是Pell方程的解，这是有任何形式的不定方程，因此：
如果我们考虑欧拉公式的一些特点，德棣美弗公式和切比雪夫多项式的两种，然后我们可以写，因此：
经过简单的调整，我们得到一个解决方案，涉及到（10），在这种形式：
如果我们考虑余弦函数和复指数函数的特征，当我们得到这个期望的结果，与（10）比较：
设计一级模拟切比雪夫滤波器是基于切比雪夫逼近，即用所谓第一切比雪夫逼近法。在这种情况下，我们在开区间找到一些多项式解（minus;1，1），其中Ω是归一化径向频率。该解决方案具有近似零尽（尽可能）和定期的差异；DAVacute;ıDEK等人在2006年提出。我们假设一些近似微分方程；在这种情况下它是Pell方程，转化成这种形式，与 （13）比较：
图1。归一化低通滤波器：容差方案（左；包括主参数）和标准容差方案（右；包括二次参数）
2.1近似的归一化低通滤波器（NLP）
这种近似方法是基于第一类切比雪夫多项式和只集中在归一化低通滤波器（NLP）。由于频率归一化，可以把理想的LP的要求为NLP的原型。当然，它也有可能转化为其他类型的模拟滤波器的要求（即低通、高通、带通、带停止）为NLP滤波，即通过其他频率公式和/或使用MATLAB函数，在信号处理工具箱或过滤器的可视化工具实现。这种近似方法的标准结果如下；DAVacute;ıDEK等人在2006提出。
bull;传递函数
bull;特征函数
bull;群时延
定义并显示了理想低通滤波器的频率幅度特性的一些理想要求。射频omega;p是一个非标准化设计的滤波器的通带截止频率处的径向，径向正频率的幅度值是由公式给出，因此：
类似于理想低通滤波器，有定义和归一化的幅频特性的理想化要求一些理想低通滤波器（NLP）。归一化径向频率ΩP，自然等于1，是一个归一化截止频率的径向设计滤波器的通带，在积极的归一化径向频率的幅度值是由公式给出，因此：
因为理想滤波器的频率幅度特性NLP不需要满足所有要求的可行性，需要考虑所谓的容错方案或标准的容错方案，见图1；DAVacute;ıDEK等人在2006年提出。
在近似切比雪夫NLP滤波器，有确定的价值标准的结果不仅精确的解析公式，而且其他重要参数的值，如一阶，多个极值，和NLP的传递函数的极点。在这种过滤器的情况下，磁极总是位于椭圆，见图2。
2.2实例的NLP滤波器
让我们考虑这些归一化的径向频率和主要参数的值，从而：
对于归一化的径向频率：
对于主要参数：
从这些输入参数，我们能够提取和计算一些输出参数。对于近似阶，这个值也是接近到圆周率最近的整数值：
结果（21）显示近似阶奇。现在，我们必须考虑所有的密码公式奇数阶，我们还必须重新计算其他参数为通带极值和他们的价值观在奇数阶数N的整数的新价值，我们得到：
通过椭圆参数的计算（即原半轴a = 0.4942和二次半轴b = 1.1154），两极（及其对椭圆，位置见图2）的NLP的传递函数的公式：
在micro;是micro;= 1，···,n索引。
在MATLAB中，我们可以创建一些算法，计算这些极点通过（23）。一些matlab代码可以这样写，而极点位于归一化复杂地区的半平面：
在传递函数（奇数阶）的情况下，其计算形式如下：
其中p是归一化拉普拉斯算子。
图2。归一化低通滤波器：三杆的NLP的传递函数椭圆的位置（P = jΩ）归一化的复杂区域的左半平面（Sigma; jΩ）。
图3。归一化低通滤波器：归一化径向频率幅度特性的Hcirc;1（P = JΩ）（解析）和Hcirc;2（P = JΩ）（通过实施海布MATLAB函数得到（n，Rp））；直角坐标和容错方案的限制.
在归一化径向幅频特性的情况下（在奇数阶和P = JΩ），其计算方式如下:
在归一化的径向频率相位特性（奇数阶和考虑第一象限）的情况下，其计算形式如下：
在特征函数（基于特征方程），其计算方式如下（在奇数阶n = 3，P = jΩ和）：
图4。归一化低通滤波器：归一化径向频率的群时延特性tau;g1（Ω）和tau;g2（Ω）；直角坐标系。
在群延迟的情况（在奇数阶和考虑广义的方法，对传递函数及其一阶导数相关），其计算方式如下（弧度）：
由于MATLAB的可能性和功能，它是可能的情节不仅归一化径向幅频特性，而且其他的特点，如实部和虚部的传递函数的相位特性，在三维图的群延迟。MATLAB代码可以这样写
这个matlab代码块的归一化径向相频特性的三维图形在包装模式。对于这个传递函数形式，在（24）中提到，它也可能在3D图中绘制它。
2.3非归一化模拟滤波器的实例
由于MATLAB函数，在信号处理工具箱实现，它可以将归一化低通滤波器为非归一化的模拟滤波器，见表1总结
图5。归一化低通滤波器：的归一化径向幅频特性的3D图形，三个极点的传递函数的归一化复杂区域的左半平面显示（Sigma;JΩ）；直角坐标系。
在Wo的情况下，这不仅是截止径向频率（在LP和HP过滤器的情况下），但也中央径向频率（在BP和BS过滤器的情况下），给出了这个公式（几何平均）：
例如，让我们考虑这些值非归一化径向频率（弧度/秒）：
为LP和HP滤波器：
表1。MATLAB的函数转换公式及相应的行业综述；Dolecek J.（2009），ˇMathworks公司（2011）
图6。非归一化低通滤波器：径向frequencymagnitude特性Hcirc;LP（S = Jomega;）；直角坐标系。
设计低通滤波器，径向的幅频特性和相应的MATLAB代码如下，因此：
在滤波omega;0 = 2000pi;每转：
设计BP滤波，径向的幅频特性
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