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一种利用分数阶Savitzky-Golay差分器数字图像增强的新技术
Suraj Suman1 路 Rajib Kumar Jha1
收到日期：2015年2月26日/修订日期：2015年9月2日/接受日期：2015年10月27日/
网上发布：2015年12月26日
copy;Springer Science Business Media 2015纽约
摘要 在这篇手稿中，数字分数阶Savitzky-Golay差分器（DFOSGD）被应用于图像增强的探索中。在DFOSGD中，移动窗口负责估计给定分数的分数阶导数信号。在这里，这个移动窗口被用作掩码，并且在给定的输入下完成在八个不同的方向掩蔽图像，使其独立旋转。该掩模用于表征图像的分数导数以及增强黑暗和低度隐形图像。 掩模对不同分布图像的分数阶响应与给定输入图像的基本属性相关，以选择分数阶的最优值以获得更好的增强图像。 使用不同的无参考量化度量来进行视觉以及对模拟结果的定量评估。比较分析表明，所提出的掩模产生更好或相当质量的增强图像，计算复杂度低于几个众所周知的最先进的技术。
关键词：分数阶差分器，s Riemann-Liouville分数导数，掩膜图像增强。
1 介绍
Savitzky-Golay滤波器最初是由Savitzky和Golay（1964）提出的，用于平滑从化学频谱分析仪获得的噪声数据。 他们已经表明，在每个位置，通过对拟合多项式进行采样得到的平滑输出值与局部输入样本集的固定线性组合相同（Schafer 2011）。为了最好地拟合给定的数据，采用最小二乘拟合来最小化均方误差（Orfanidis1998）。此滤波器专注于平滑数据，在其他方面受到了显着的关注，也可应用于提高信噪比（Bromba和Ziegler 1981），去除地球物理信号噪声（Baba et al。2014），在分析它们之前从数据中消除峰值（Nguyen et al。2013），在图像中执行平滑和差分运算（Gowriet等，2013; Flesia等，2014）和相位恢复算法（Zuo et al。2013）等。
近几天，分数阶微积分得到了全球研究人员的重视，其中任意阶的导数以整数阶继续评估。 几个数学公式被用于定义任意次序的导数（Oldham 1974; Podlubny 1998）; 其中最受欢迎的定义是莱曼 - 刘维尔，格伦沃尔德 - 莱特尼科夫和卡普托的定义。 分数阶微积分在控制系统（Podlubny 1999），生物医学信号处理（Magin 2004），噪声检测和估计（Ninness 1998），电磁理论（Engheia 1997），小波和样条（Unser和Blu 2000） ，信号处理（Tseng 2001; Chen et al。2011）和图像处理（Mathieu et al。2003; Bai and Feng 2007; Pu et al。2010; Chen et al。2012）等领域得到广泛应用。
随着分数阶微积分的增长，分数阶系统的需求增加而分数阶微分是其中之一（Tseng 2001; Chen et al。2011）。在陈等人。（2011年），数字分数阶Savitzky-Golay差分器（DFOSGD）是从整数到分数阶的Savitzky-Golay滤波器的广义版本。使用Riemann-Liouville分数导数定义，所需分数阶的移动窗口通过多项式最小二乘法获得。窗口权重与给定信号之间的卷积可以评估分数导数，而不是复杂的数学推导。在这项工作中，DFOSGD呈现在在图像增强的应用中。
图像增强在各种图像处理应用中发挥着至关重要的作用，特别是在处理真实图像时。图像的质量和外观取决于周围的光照状况，在图像采集过程中质量也可能会降低。通常数字化图像在细节不足，缺乏对比度，黑暗和阴影的情况下会发生恶化。可视化并从图像中提取细节，由于这些效果很难识别。 文献中报道了几种增强技术来改善图像的视觉质量。这些技术可以分为两大类（Gonzalez 2009）：空间域技术，其中处理是在图像强度上完成的，而变换域技术是在不同的变换系数上完成处理的。
直方图均衡化（HE）是最流行，简单和广泛使用的增强技术之一（Gonzalez 2009）。 提出了几种HE变体（Sim等人2007; Ooi等人2009; Ooi和Isa 2010; Lim等人2013; Celik 2012; Singh和Kapoor 2014; Shanmugavadivu和Balasubramanian 2014; Khan等人2014a，b ）来克服通用直方图均衡的缺点。 伽玛校正（Gonzalez 2009）是另一种传统技术，其中通过修改直方图来提高图像质量的传递函数映射强度。在最近的发展中，报道了一种基于伽玛校正和像素概率分布的自动变换技术，该技术包含了加权分布函数（Huang et al。2013）。 在Cheng和Huang（2013）中，映射曲线由Bezier曲线自动计算，该曲线分别在黑暗和明亮区域执行，作为自动直方图分离模块和强度变换模块在Huang和Yeh（2013）中提出。Retinex增强技术，单尺度retinex（Jobson et al.1997b）和多尺度retinex（Jobson et al.1997a）因其增强能力而备受关注。Jobson等人已经使用Retinex理论以较高计算复杂度为代价得到更好的图像增强效果（Jobson等1997b）和（Jobson等1997a）先前设计的单量程中心扩展到多尺度版本，其实现了同时动态范围压缩，色彩一致性和亮度再现。其他一些增强技术如改进的高通滤波方法（Yang 2009），基于加权最小二乘优化的边缘保留平滑算子（Farbman et al。2008），基于迭代动态随机共振（DSR）的奇异值域技术Jha和Chouhan 2014）由于其增强能力而被认可。最近，Celik（2014）提出了一种新技术，其中利用像素的空间信息实现对比度增强。在Huang和Chen（2014）中，提出了一种面向硬件的对比度增强算法，以满足实时处理的需要。除了这些技术之外，为了加速该过程以及获得更好的增强图像质量，报告了在压缩域进行处理的一些技术（Mukherjee和Mitra 2008; Lee 2007）。
最近，基于分数导数的图像增强技术（Pu等，2010; Chen等，2012）由于其简单性和有效性而受到高度重视。在图像处理中，经常使用整数阶掩模进行边缘检测和增强，但它也会损坏图像纹理细节特征。由于任何常数的分数导数与整数阶导数不同，因此此属性可使分数导数有效处理纹理细节。在Pu等人（2010）易飞等。已经使用Grunwald-Letnikov和Riemann-Liouville定义来创建六个分数差分掩模，并且掩模YiFei-Pu-2在六个构建的掩模中表现最好。他们已经显示了通过基于分数微分的非线性增强复杂纹理细节的能力，这种方法似乎比传统的基于积分的方法更好。Chen等人提出了另一种基于分数导数的图像增强技术。 （2012），其中使用数字分数阶Savitzky-Golay微分器（DFOSGD）的移动窗口的中心行构造二维掩模（Chen等2011）。
这些流行的以及最先进的增强技术不能够增强各种图像（Sim等，2007; Lee 2007）。一些技术在低对比度图像上有效地执行，而一些在暗图像上执行，而另一些技术在亮度保存等情况下增强图像。不仅在消费品，在线处理等应用中质量，复杂性和计算时间也实施太昂贵。是一项艰巨的任务。
主要贡献；在这里，整个移动窗口仅作为掩模而不是中央行探测（Chen et al。2012）。 然后，使用该掩模对图像的分数导数即0阶和1阶导数的特性分别产生输入图像本身和边缘检测图像。发现这种掩膜可以在各种图像上提供有价值的增强，特别是在黑暗以及低对比度图像方面，其优于2D DFOGSD（Chen et al。2012）和YiFei-Pu-2（Pu et al。2010）。基于不同图像轮廓对分数阶（-1le;alpha;le;1）构造掩模的响应，提出了一种简单有效的选择分数阶最优值的方法。所提出的技术通过测量定性和定量分析的结果来实现良好的图像质量，所述定性和定量分析在质量，复杂性和计算时间方面在各种现有技术和最新技术中有竞争力。
2 分数阶Savitzky-Golay差分器
给定均匀采样信号y（j），希望平滑并估计其d阶导数使用I点滤波窗口和一个n次多项式。 在最初的SavitzkyGolay滤波器中，dn是一个n lt;1的非负整数，因此Chen等人可以得到最小二乘多项式。（2011年），
（1）
其中fn（z）是用于拟合给定信号的n次多项式，z = 1,2，...，I是滤波窗口中第z个点的位置而qk是多项式函数的第k个系数。为了准确估计系数qk，使用最小二乘法，其可以被写为，
（2）
其中，Y = [y1，y2，...，yI] T是滤波窗口中的测量信号点。 Q = [q0，q1，...，qn]， T是多项式函数的系数向量，ε是估计误差，Z是Itimes;（n 1）Vandermonde矩阵，定义为，
（3）
最佳拟合多项式的系数可以通过最小化实际数据和拟合点之间的平方误差之和来获得。 因此可以得到（Chen et al。2011），
（4）
从（2）和（4）可以得到给定信号的估计值，
（5）
其中W表示用于平滑给定信号的移动窗口系数矩阵。 给定信号中第z点的d阶导数可以通过下式估算，
（6）
这里Yzdn表示第z个点的d阶导数，Zzdn表示d阶导数的系数，Wzdn表示第n阶导数的移动窗口系数向量。
现在，继续进一步获得分数阶导数Riemann-Liouville这里使用分数阶导数定义（Oldham 1974; Podlubny 1998），
(7)
其中，0le;l-1le;alpha;lt;l和alpha;（l-alpha;）是Gamma函数。 假设信号是f（x）= xk，kge;0，那么可以使用f（t）得到阶数为alpha;的分数导数（7）如下
（8）
现在使用（5），（7）和（8）给出的R-L定义来计算（1）的分数阶导数。 Savitzky-Golay微分器的第z个点从整数阶次推广到分数阶，得到如下，
（9）
- 是整数阶微分器的推广，其中alpha;是分数阶。负责评估给定输入信号Y的分数导数的移动窗口Walpha;的第z行可以被写为，
（10）
在下一节中，Walpha;将在图像增强应用中进行探索。
3 推荐的技术
3.1 推荐的技术
提出了一种新的图像增强技术，其中分数阶alpha;的移动窗Wa被用作掩模。 在8个不同方向上对输入图像进行遮蔽处理，以使其独立旋转。 通常在图像处理应用中，3times;3,5times;5和7times;7掩模是首选。 让我们分析所提出的用于Ktimes;K掩模的技术，即采用尺寸为Ktimes;K的分数阶alpha;的移动窗Wa的大小作为掩模。
令I（x，y）表示输入图像I中位置（x，y）的灰度值，Walpha;是尺寸为Ktimes;K的掩模。为了使掩蔽操作方向独立，掩蔽在 八个对称方向北（Walpha;N），西北（Walpha;N W），西（Walpha;W），西南（Walpha;SW），南（Walpha;S），东南（Walpha;SE），东（Walpha;E）和东北（Walpha;N E）。 在表1中示出了在八个不同方向上的分数阶alpha;= 0.5的掩模，即Walpha;= 0.5。
输入图像I（x，y）与alpha;阶掩模Walpha;掩蔽在四个不同的位置方向计算如下，
（11）
（12）
（13）
（14）
以同样的方式，可以评估在其他四个方向S，SE，E和NE上的掩模以分别得到掩模图像Ialpha;S，Ialpha;SE，Ialpha;E和Ialpha;N E。
表1八个不同的掩膜
方向对应 (a) North (N)
Walpha;=0.50 minus;0.37 1.3
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