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基于二维经验模态分解的图像分析
摘要
近年来，在非线性和非静态的数据分析方法上的发展受到了来自图像分析研究者的广泛注意。在1998年，Huang提出了经验模态分解(EMD)在信号处理方面的应用。这种经验模型的方法可以证明可靠的单维（地震或者生物医学）信号，并且是完全无监督的。纹理提取和图像过滤曾被广泛认为是在计算机视觉问题中的一大难题和挑战，我们这种方法就可以解决上述的两大难题，这也是该方法最主要的贡献。我们提出了一种基于二维经验模态分解（BEMD）的算法，用于提取多维尺度或者空间的频率特征的提取。这些特征，被称为本征模函数，通过一个筛选过程提取出来。二维的筛选过程利用形态学算子去检测区域最大值，并利用径向基函数进行曲面插值。应用了BEMD方法的纹理提取算法的性能，已经在合成图像和自然图像实验中被证明。
关键词：二维经验模态分解；纹理分析；无监督纹理分解；径向基函数；曲面插值
1.简介
这种组合空间频率表示，在图像处理、视觉、模式识别等领域得到了广泛的关注。Huang 提出了一种多分辨率分解技术：经验模态分解（EDM），这种方法是自适应的，并且似乎适用于非线性非静态的数据分析。我们提出了基于二维经验模态分解的一种图片纹理分析的新方法，这种方法首先在参考书目[24]中给出。
本文结构如下，第二部分介绍纹理分析方法的技巧。第三部分介绍EMD以及它在二维数据上的扩展。也同时会介绍筛选过程的实现细节，包括利用形态学重建的极值检测和用于曲面插值的径向基函数。第四部分是针对不同纹理的图像的实验结果，它表明了这种利用统计学描述符的新多分辨率分解方法的好处。最后，在第五部分介绍我们得出的结论。
2.纹理分析方法
纹理特征取决于相邻像素之间的空间关系。通过由图像研究者定义的不同纹理类型的数量，就可以看出纹理分析的难度[12,17,28]。
纹理特征提取与识别的方法范围跨度很广。一些书和文章对可利用的方法做了概述[9,33]。在纹理分析中有四个主要的问题［22］：特征提取（局部纹理特性），纹理辨别（根据不同纹理进行图像分割），纹理分类（有限类、正常和非正常类的定义）和形状重建（基于纹理信息的3D曲面几何重建）。
可以确定四种主要的方法[20]：共生和自相关的数据特征[12]，泰森多边形图[33]的几何特征以及结构特征，基于马尔科夫随机场的模型[5,11]和分形参数[6,26,32]，通过调幅调频分析[13]、形态学算子[27]、Wigner-Ville 分布[14,31]、Gabor滤波器[8,16]、小波变换[21,23]得到的多尺度特征。
很多纹理特征提取的方法比较已经在参考文献[22,29,30]中给出。比较研究得出了不同的结论。不同的设置、测试图像和滤波方法都可能导致完全矛盾的结果。没有一种方法性能最佳或者接近性能最佳的状态。这种多分辨率的技术，基于人类视觉感知，将图像转换成同时存在空间和频率信息的表现形式。这些多维特征试图用滤波器响应直接表示纹理。但是多分辨率分析的一个难点就是，由于使用了滤波器方案，所以它不能自适应。
我们之所以将EMD技术应用于纹理分析有两个理由，第一是利用这种方法的优势，EMD是完全数据驱动的方法[25]，不使用任何预先确定的滤波器[8]或小波函数[19]。第二是我们可以很容易地实现EMD的二维扩展。这篇文章基于多维分解，通过BEMD的方法检验了纹理分析设计的问题。
3.基于经验模态分解的纹理分析
3.1 一维经验模态分解
在这篇文章中，我们利用EMD的方法，这个方法是由Huang第一次提出的[15]。该方法在比如医药、地震等方面的应用已经说明了该方法的有效性。这种方法可以用于分析非线性或和者非静态的数据。它的原理是将给定信号自适应分解为频率分量，这种方式被称为本征模函数（IMF）。这些分量是信号通过筛选算法的处理获得的。这种算法能够在每个模式下从原始信号中提取出其最高振荡频率。
3.1.1 筛选过程
筛选过程通过EMD的方法分解出一个取样信号s(k)。筛选过程基于两个约束条件：
bull; 每个本征模函数（IMF）的过零点和极值点数目一致。
bull; 每个本征模函数（IMF）关于局部均值是对称的。
此外，假设s具有至少两个极值。
EMD的方法把自适应的非静态信号分解成一系列以零为均值的调幅调频分量的集合[10],换言之，一个本征模函数（IMF）就是一个调幅调频分量。调幅调频分析，已经成功地应用于在很多方面，包括非静态信号分析、边缘检测、图像增强、通过纹理的三维恢复成型、计算机立体视觉、纹理分割和分类等方面。
1.初始化：
2.提取第j个本征模函数（IMF）
3.(a) 初始化
(b) 提取的局部最大/最小值
(c) 通过内插法分别计算上层和下层包络函数，以及的局部最大最小值
(d) 计算
(e) 更新
(f) 计算停止标准（标准偏差 ）
(g) 重复(b)到(f)步骤直到，然后令
4.更新剩余量
5.重复2到4步且令直到的极值小于2
3.1.2 找到所有的本征模函数（IMF）
1.通过第一步的筛选过程，得出本征模函数（IMF）之后，定义。 第一个分量包含信号中最小的空间尺度。
2.用原始信号减去生成剩余量，。现在剩余量中包含更大一些的空间尺度的信息。
3.再次筛选寻找其余分量
所有本征模函数（IMF）的叠加构成原始信号：
我们需要确定一个筛选过程停止的标准。这一点可以通过限制SD的大小完成，SD是由两次筛选结果通过以下计算得出的：
3.2 二维经验模态分解
纹理分析是一项十分具有挑战性的任务。在场景分析、医药图像分析、遥控传感技术和其他很多应用领域中，根据纹理特征来有效地分类和分割图像是十分重要的。特征提取是图像纹理分析的第一阶段。为了在筛选过程中提取出二维本征模函数(2D IMF)，我们应用形态学重建的方法去探测图像极值，利用径向基函数(RBF)计算表面插值。一个二维的本征模函数(2D IMF)是一个以零为均值的的二维调幅调频(2D AM-FM)分量。图像调幅调频分解是基于部分无监督特征的分割算法，而经验模态分解(EMD)是完全无监督的。这两种方法的分解结果都十分高效并且十分接近于最佳分析结果。
我们将在下文说明二维筛选工程：
bull; 通过基于测量算子的形态学重建，找出图像I的极值（包括最大值和最小值）；
bull; 通过径向基函数(RBF)分别连接最大和最小值点，从而生成二维包络
bull; 通过计算两个包络的平均值，确定区域平均值
bull; 因为本征模函数(IMF)必须以零为均值，利用原信号减去均值：；
bull; 重复的过程得到一个本征模函数(IMF)
如上所述，这个过程确实类似于筛选，仅仅根据特征多尺度，从图像中分离出最细小的区域模。筛选过程有两个作用，一个是消除骑波，一个是平滑不均匀振幅。
3.2.1 极值检测
形态学重建是数学形态学提供的一种非常有用的运算[1]。它在分层分割中的应用证明了这种方法在从极值检测到图像分层处理中等所有步骤中的效率。利用测量算子进行形态学重建可以得到图像的极值。测地重建的定义如下：
不断重复进行灰度图膨胀直到I达到稳定即，从而得到与I和J有关的灰度重建函数。
形态学重建一个广泛的用途就是提取极值（最大值和最小值）。如果我们使J=I-1(每个像素减去一个灰度值)，且进行上述的重建运算得到Irec（测地膨胀后图像），原图像I和重建后图像Irec的不同点就对应I的最大值。
相反，（测地腐蚀重建后图像）和I（原始图像）的不同点，就对应I的最小值。这种极值检测的方法在参考文献[35]中有论述。
图1 通过I-1对I的形态学重建（通过测地膨胀的方法）
3.2.2. 通过径向基函数进行表面插值
在参考文献[15]中，Huang提出在非等距采样数据上进行三次样条插值。参考文献[4]中提出，出于一些原因的考虑，我们也可以采用径向基函数（RBF）的方法，而不是双三次样条插值法。其中一个我们面临的技术问题，就是三次样条拟合会造成靠近边界的点的扭曲。径向基函数(RBF)的方法能够有效完成对不完整表面插值，这种方法起源于三维医学图像处理。径向基函数(RBF)具有以下的形式：
其中，
bull; s表示径向基函数
bull; 表示一个低阶多项式，通常是线性的或者二次的，它是以d为变量的m阶多项式
bull; 表示欧式范数
bull; 表示径向基函数的系数
bull; 是一个被称为基函数的实值函数
bull; 是径向基函数的中心
在分段多项式插值中，径向基函数的近似方法有几个优点。首先，已知点的几何形状不限于规则网格。并且，在一定条件下，得到的线性方程组是可逆的。最后，多谐波的径向基函数具有可变性，这使得这种方法适用于分散数据，甚至是有很大空白区域的数据的插值。它的适用于大地测量、地球物理学、信号处理和水文学。径向基函数在医药图像处理和三维曲面变形方面有着很好的效果。
实验结果证明，由一组稀疏且不规则的样本，可以进行高保真重建。径向基函数便引入了一种由一组间隔不规则的点，通过筛选过程计算填充出一个连续曲面的方法。
4.结果和讨论
人们现在已经用现实的纹理结构以及合成的纹理结构来测试和验证了上述所提出的方法。这种方法适用于合成的和天然的图像，通过组合选自Brodatz纹理库的纹理来合成图像。研究已经证明了这种方法的在纹理提取方面的效率和效果。下面，我们选择一组纹理图片来产阐释经验模态分析（EMD）。
图2 图像纹理构造
4.1 纹理提取
筛选处理进行图像的二维分解的过程能让我们更好的解释经验模态分析。每个模(IMF)都包含着一个特定尺度的信息，并且模能够很容易地被分解出来。空间信息保留在每个模之中。我们的算法能够分解出很广的范围内纹理元素。在图3.6-12中我们可以看到利用Brodatz纹理库的图片（200times;200的灰度图）、合成和真实的图片进行的分解结果。我们利用标准差来决定何时停止筛选过程，常用的标准差在0.05到0.75之间。
第一步，我们在一张合成图片（图2a）上实施我们的算法。这是一个正弦分量的图像，由三个水平频率分量（h1=40，h2=14,h3=0.2）和三个垂直频率分量(v1=60,v2=17,v3=0.3)以及它们的振幅构成。所有阶段的结果都呈现在图2和图3中。
我们可以观察到图像最小值(图2b)和最大值(图2c)检测的结果、平均包络(图2d)和减去平均包络后的结果(图2e)。图3展示了图像中分离出的两个模(图3b和c)，以及其剩余分量(图3d)。为了证明我们的方法的有效性，我们比较原始图像的密度分布和组成它的各种频率分量。在图4中，我们对正弦图像(左上角，右下角)的密度分布进行分析，它是三种频率分量的和，我们分别称这三种频率为高频率（图4b）、中等频率（图4c）、低频率（图4d）。
在图5中，我们可以观察到信号分解后的密度分度，是三种频率分量的和（图5a），第一个模（图5b）、第二个模（图5c）和剩余分量（图5d）。我们可以比较不同的图像，可以观察到第一个模对应正弦图像的最高空间频率分量，第二个模对应中等频率分量，剩余分量对应最低频率分量，它们的图像都十分接近。但由于在插值过程中对靠近边缘的点的扭曲，剩余分量的图像是无规则的。在图6中，图像被分解成了两种模，这种纤维结构十分有规律，主要是对角和水平结构，这使它十分适合运用上面论述的方法来进行分解。
图3 合成图像纹理
图5 合成纹理（BEMD）
图4 合成纹理（频率分量）
第一个模对应着编织结构，第二个模对应着图案，剩余分量对应着水平（黑白）条纹。在图7中，图像被分解成了三个模分量。我们可以发现第一个模分量对应编织结构，第二个模分量对应最细的图案，第三个模分量对应中等密度的图案，剩余分量对应密度最大的图案。
图6 图像纤维纹理
在图8中，图像同样被分解为三个模分量。
在图9中，核磁共振(MRI)图也被分解成三个模分量，我们观察三个模分量和剩余分量可以发现，它们同样包含着从最细到最粗糙的图案结构。
不难发现一个模分量的提取质量取决于它的上一个模的提取质量。因此，筛选过程的停止标准(SD)就显得十分重要。
图7 图像纹理纤维
图8 图像纹理纤维（D69 Brodatz）
4.2 图像滤波
图9 脑部核磁共振(MRI)
因为筛选过程首先会提取出最高频率的模分量，所以第一个模分量一般对应着噪声。噪声信息包含在第一个模分量和剩余量之中。相反，图像的趋势只包含在剩余分量之中。这种趋势可以用一个较低阶(0,1,2)的多项式表示。图10中的结果显示了使用这种技术进行低级别处理（滤波或去噪）的可能性。，经过分解算法后，用原始图像减去一些模分量便可以很容易地完成滤波。剩余分量就代表了滤波后的图像。
图10 视网膜图像
4.3 非均匀亮度的提取
因为筛选过程会首先提取出最高频率分量，所以第一个模分量通常对应着噪声。相反，经过筛选处理后，图像的趋势通常包含在最后一个模，或者在剩余分量中（图11）。
分解之后，我从原始图像（图12c）中减去剩余分量，即可完成非均匀亮度矫正。
图11 合成纹理
4.4 观点
在二维的情况下，边缘极值的定义通常不准确。我们应该考虑到马
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