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变分模态分解
Konstantin Dragomiretskiy 和 Dominique Zosso，IEEE成员
摘要—在20世纪90年代的后期，Huang提出了称作经验模式分解的算法，这种方法如今被广泛用于递归的分离信号，使其变成几个未知且频带分离的独立模式信号。EMD最显著的限制便是对噪声和抽样敏感，这些限制只能部分的由对这个分解问题更加数学化的尝试解决，比如同步，经验小波或递归变分分解。 在这里我们提出一种完全非递归的，模式被同时提取的变分模态分解模型。该模型旨在找出一种模式组合和它们相对的中心频率，这样这些模式集合可以重构输入信号，同时各自在解调至基带后保持平滑。在傅里叶变换域，它对应于一个窄带先验。我们展示了其与维纳窗滤波降噪的强烈相关性。事实上，我们提出的模型是传统维纳滤波在多频带，自适应频带方面的延伸拓展。我们的模型对分解问题提供了一种有着坚实理论基础且仍然易于理解的解决方法。该变分模型通过使用多路径的交替方向法来有效的找出最优化解。初期结果展现了相对于现存模态分解模型的不错表现。此外，我们提出的模型对抽样和噪声有明显更好的鲁棒性。最后，我们展示了基于一系列人工和真实数据的有前景的实际分解结果。
索引项—调幅-调频，增广拉格朗日，傅立叶变换，希尔伯特变换，模式分解，谱分解，变分问题，维纳滤波器。
- 介绍
经验模式分解（EMD）是由Huang等人[1]提出的一种检测分解信号成主要“模式”的一种算法方式。这个算法递归地检测一个信号的局部最小值/最大值，通过对这些极值插值来估算包络上下限，去除包络线的平均值作为低通中心线，从而将高频振荡隔离为一个信号的模式，并在余下的中线上继续递归。在某些情况下，这种转换算法确实能将一个信号分解成几个主要模式，然而分解的结果却高度依赖于极值点寻找的方法，极值点插入载波包络的方式和停止标准的设定。由于缺乏数学理论及所述的自由度，降低了算法的鲁棒性，从而为理论发展和分解鲁棒性的提高留下了空间[2]-[5]。在一些试验中表明EMD有与小波和自适应滤波器组的强相似性[6]。
尽管在对数学的理解上有限制，并且存在一些明显的不足，EMD方法仍然具有显著的影响力，并且在各种时频分析中得到了广泛的应用。这些应用包括音频工程中的信号分解[7]、气候分析[8]以及医学和生物学中发现的各种流量、呼吸和神经肌肉信号[9]-[12]，这里仅举出了几个例子。
- 什么是模式？
在原始的EMD描述中，一个模式被定义为这样一种信号，它的局部极值点与零点的个数最多相差不超过一个[1]。在多数后期相关工作中，定义被轻微地改写成所谓的基于调制标准的本征模态函数（IMF）：
定义1：（本征模态函数）：本征模态函数是调幅调频（AM-FM）信号，写作：
， （1）
其中相位是个非减函数，ge;0，包络非负Ak(t)ge;0。特别重要的是，包络Ak(t)和瞬时频率相比于相位要变化的慢的多[13],[14]。
换句话说，在一个足够长的间隔[t-delta;，t delta;]，delta;asymp;2pi;/，模式uk(t)可以被看作是一个有着幅值Ak(t)和瞬时频率的纯谐波信号[13]。注意到对信号成分的新定义比原定义要稍微更加严格：虽然所有遵循上述IMF定义的信号都满足原始EMD模式属性，但反过来不一定正确[13]。新的IMF定义的直接后果是有限的带宽，正像我们在下一段中展示的那样，这是在所提出的变分模态分解模型中允许模式分离的中心假设。我们可容许的模式函数的限制类也被[3]中的分析所激励，因为它们在提取模式的时频分析方面表现良好，正如在Hilbert-Huang变换[1]中经常执行的那样。相比之下，原始的IMF定义也支持一维非欧空间和不连续的信号，如锯齿信号，对于这些信号，估计的瞬时频率在物理上没有意义，见图1。
图1. 锯齿信号和它的相位/频率。（a）原始信号。（b）希尔伯特变换后的估计相位。在非连续的锯齿峰处，相位出现跳变。（c）瞬时频率是由相位对时间的导数获得的。在不连续的锯峰上，这显然毫无意义。根据本征模式函数最初基于过零值点和局部极值的定义，这种信号是一种允许的模式[1]。但不是基于振幅和频率调制信号（1）的新定义的一部分，这里也使用了这种定义[13]。
事实上，若omega;k是一个模式的频率均值，那么它的实际带宽会随着瞬时频率与中心（载波频率，fc）的最大偏差Delta;f和偏移率,fFM的增加而增加，根据卡森规则1[15]：
(2)
除此之外，调制调频信号振幅Ak(t)的包络带宽（由其最高频率fAM给出）进一步扩大了频谱：
定义2：（实际本征模式函数总带宽）：我们按下式估计一个实际本征模式函数的总带宽
（3）
根据实际的本征模式函数，每一个部分都可能起决定作用。图2提供了四种典型情况的示例，其中最后一个示例在所需带宽方面相当极端（用于说明目的）。
1频率调制信号的理论频谱支持是无限的；然而，为了实际目的，卡森法则提供了包含98%信号功率的界限，在这种情况下，这应该是足够好的。
图2. 带宽受限的调幅调频信号。这里，我们使用一个信号。（a）纯调幅信号。（b）频率偏差小而快的纯调频信号。（c）频率振荡缓慢但重要的纯调频信号。（d）组合调幅调频信号。在频谱中垂直的实线展示了载波频率，虚线对应于基于（3）的估计带限。
- 近期工作
为了解决原始EMD算法对噪声和采样的敏感度问题，提出了更为稳健的版本[16]，[17]。本质上，局部极值的提取及其在包络形成中的插值被更为稳健的约束优化技术所取代。然而，EMD的全局递归筛选结构得到了保留。
其他作者创建了经验模式分解的部分变分方法，其中信号被显式地建模为本征模式函数[18]。这种方法仍然依赖于插值、选择傅立叶低通滤波器和筛选高频分量。在这里，候选模式是可变提取的。信号被粗略地分解成一个具有Tv3平滑包络（三阶全变差）和Tv3平滑残差的本征模式函数。结果算法在结构上与EMD非常相似，但对噪声的鲁棒性更高。
在[19]中提出了一个稍微更加变分但仍然递归的分解方案，用于分析时变振动。在这里，通过希尔伯特变换后将主振动的瞬时频率估计为平均频率来提取主振动。同样的过程在剩余信号上递归地重复。
第三类方法利用了小波。Daubechies等人提出了一种基于选择合适的小波尺度的方法，称为同步处理[13],[20]。它们通过对该部分中各自的信号能量进行阈值化来去除不重要的小波系数（包括时间和尺度）。相反，将局部相关的小波选作连续小波变换的局部极大值，并与局部信号进行调谐，从中可以恢复出各模式的当前瞬时频率。
最近的另一项追求同样目标的工作是经验小波变换（EWT），它明确地建立一个自适应小波基，将给定信号分解到自适应子带[14]。该模型依赖于鲁棒预处理进行峰值检测，然后根据检测到的极大值进行频谱分割，并构造相应的小波滤波器组。滤波器组包含了一些可以缓和（频谱重叠）的灵活性，但频带的显式构造仍然显得有些严格。
最后，一种相关的将信号分解成不同小波带的方法由[21]提出。作者介绍了两种不同Q因子的复小波基。这允许区分持续振荡（高共振分量）和非振荡短期瞬态。实际上，高共振分量可以稀疏地用高Q小波表示，而瞬变分量则用低Q小波合成。
- 提出的方法
在本论文中，我们提出了一种新的、完全本征的而自适应的变分方法，这种方法的最小化导致信号分解为其主模式。事实上，当前的分解模型主要受到以下限制：1）算法的特殊性缺乏数学理论（EMD）；2）大多数方法中的递归筛选，不允许反向误差校正；3）无法正确处理噪声；4）小波方法严重的带宽限制；5）要求在EWT中预先定义滤波器组边界。相比之下，我们提出了一个变分模型来自适应地确定相关的波段，并同时估计相应的模式，从而适当地平衡它们之间的误差。受窄带特性对应的当前常见的IMF定义的影响，我们寻找一组模式，这些模式可以最优的（或精确地，或在最小二乘意义上）重建给定的输入信号，而每个模式的频带都限制在即时估计的中心频率上。在这我们的变分模型可以专门解决输入信号中存在噪声的问题。事实上，与维纳滤波器的紧密关系实际上表明，我们的方法在处理噪声方面具有一些最佳性。变分模型将希尔伯特互补分析信号经复谐波混频后降为基带，将模式的带宽估计为H1范数。所得到的优化方案非常简单和快速：在傅立叶域中直接迭代更新每个模式，作为与当前模式中心频率估计相对应的窄带维纳滤波器应用于所有其他模式的信号估计残差；然后将中心频率重新估计为模式功率谱的重心。我们对音调检测和分离的定量结果显示，无论谐波频率如何，特别是与EMD在这方面的明显限制相比，其性能都非常出色。此外，对合成和真实测试信号的定性结果是令人信服的，也涉及信号噪声的鲁棒性。
这篇论文的剩下部分按如下组织：第二部分介绍了维纳滤波器，希尔伯特变换，解析信号的观念。我们也简要的回顾了通过谐波混频来进行频率变换的概念。这些概念是我们变分模态分解模型提出的基础构建板块。尽管可以期望信号处理学者们熟悉这些概念，但我们包含了这一简短的更新，以保持文稿很大程度上是独立的，并可供不同来源的读者访问。第三部分详细的展示和解释了我们的变分模型，我们使其最小化的算法，和在优化、边界和周期性方面更精细的技术。第四部分包含了我们的试验和结果，列出了一些简单的定量性能评价，并与EMD进行比较，还包含各种合成多模信号和我们的方法对其的分解。具体来说，将分析音调检测和分离以及噪声鲁棒性，并把它与EMD进行比较。此外，还将考虑实际信号。第五部分总结了我们提出的变分模态分解方法，再次总结了主要的假设和局限性，并包含了一些未来的发展方向和预期的改进。
Ⅱ. 信号处理的工具
在这个部分我们会简要的回顾那些组建我们变分模态分解模型的信号处理的工具的一些概念。首先，我们展示维纳滤波器降噪的一个经典例子。接着，我们描述了希尔伯特变换和它在单边带解析信号构造中的作用。最后，我们展示了纯复谐波多重叠加是如何用来对信号进行频率转换。
- 维纳滤波器
让我们由一个简单的降噪问题开始。考虑这个观测信号f0(t)，和在原信号基础上附加均值为零的高斯噪声后的信号f(t)：
（4）
恢复未知信号f是一个典型的病态求逆问题[22],[23]，经典的解决方法是使用吉洪诺夫正则化[24],[25]：
（5）
从这个式子里可以轻松的获得欧拉-拉格朗日方程，可以典型的在频域处理：
（6）
这里，是信号f(t)的傅里叶变换。显然，恢复的信号f是输入信号f0在omega;=0附近的一个低通窄带选择。事实上，这个解决方案对应于包含维纳滤波器的卷积，而alpha;代表了白噪声的方差，且信号有着低通1/omega;2的先验功率谱[26],[27]。
- 希尔伯特变换和解析信号
在这里，我们引用[28]里给出的希尔伯特变换的定义：
定义3：（希尔伯特变换）：一维希尔伯特变换是一个线性移不变的算子H，它把所有的一维余弦函数映射成相应的正弦函数。它是一种以传递函数为特征的全通滤波器。
因此，希尔伯特变换在频域里是个乘数因子，对应的冲激响应是。由于与h(t)的卷积是不可积的，信号f(t)的希尔伯特变换Hf(t)便作为卷积积分的柯西主值（表示为p.v.）:
(7)
关于希尔伯特变换更进一步的性质和解析，我们参考[29]中的例子。
希尔伯特变换最突出的用途是从纯实信号构造分析信号，正如Gabor在文献[30]提出的那样。
定义4：（解析信号）假设f(t)为一个纯实信号，复值的解析信号现在被定义为：
（8）
这个解析信号有如下重要的特性。复指数项是描述复信号在时间上旋转的相量，oslash;(t)是相位，而幅值由实际包络A(t)决定。这个表述尤其适用于定义为的时变幅值和瞬时频率的分析，特别的，对于形式（1）中幅值Ak变化的足够慢的本征模式函数信号，Bedrosian定理应用于文献[31]，分析信号直接承继相同的振幅函数：
（9）
第二个特性是解析信号的单边频谱仅由非负频率组成。最后，我们注意到，从这样一个解析信号中，原始（真实）信号很容易从实部中恢复：
（10）
- 混频和外差解调
在引入所提出的变分模态分解之前，我们想回顾的最后一个概念是混频原理。混频是将两个信号非线性地组合在一起，从而在输出中引入交叉频率项的过程。最简单的混频器是乘法器。将两个真实信号与频率omega;1和omega;2相乘，分别在输出中创建混合频率omega;1-omega;2，omega;1 omega;2，这很容易用以下三角恒等式表示：
（11）
这里我们混合这两个独
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