一种用于图像去噪的非局部算法外文翻译资料

 2022-11-18 07:11

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一种用于图像去噪的非局部算法

Antoni Buades, Bartomeu Coll

Dpt. Matem`atiques i Inform`atica, UIB

Ctra. Valldemossa Km. 7.5,

07122 Palma de Mallorca, Spain

vdmiabc4@uib.es, tomeu.coll@uib.es

Jean-Michel Morel

CMLA, ENS Cachan

61, Av du Pr′esident Wilson

94235 Cachan, France

morel@cmla.ens-cachan.fr

摘要

我们提出了一种新的方法噪声方法来评估和比较数字图像去噪方法的性能。 我们首先计算并分析这种方法噪声，用于广泛的去噪算法，即局部平滑滤波器。 其次，基于图像中所有像素的非局部平均，我们提出了一种新的算法，即非局部均值（NL-means）。 最后，我们介绍一些比较NL-means算法和局部平滑滤波器的实验。

1. 介绍

图像去噪方法的目标是从噪声测量中恢复原始图像，

v（i）= u（i） n（i） (1)

其中v（i）是观测值，u（i）是“真”值，n（i）是像素i处的噪声扰动。最简单模拟噪声对数字图像影响的方法是添加高斯白噪声。 在那种情况下，n（i）是具有零均值和方差sigma;2的iid高斯值。

已经提出了几种方法来消除噪音并恢复真实的图像u。尽管他们可能在工具上有很大的不同是非常，但必须强调的是广泛的类共享相同的基本评论：去噪是通过平均来实现的。 这种平均可以在本地进行：高斯平滑模型（Gabor [7]），各向异性滤波（Perona-Malik [11]，Alvarez等人[1]）和邻域滤波（Yaroslavsky [16]，Smith等人（Rudin-Osher-Fatemi [13]），或者在频域中：经验维纳滤波器（Yaroslavsky [16]，Tomasi等人[15]）通过变分计算：总变差最小化）和小波阈值法（Coiffman-Donoho [5,4]）。

在形式上，我们定义一个降噪方法Dh作为分解

v = Dhv n（Dh，v），

其中v是噪声图像，h是通常取决于噪声标准偏差的滤波参数。 理想情况下，Dhv比v和n（Dh，v）更平滑，看起来像白噪声的实现。 光滑部分与非光滑部分或振荡部分之间的图像分解是当前研究的主题（例如Osher等人[10]）。 在[8]中，Y.Meyer研究了适合这种分解的功能空间。 后一个研究的主要范围不是去噪，因为振动部分包含噪音和纹理。

去噪方法不应改变原始图像u。 现在，大多数去噪方法会降低或消除u的细节和纹理。 为了更好地理解这种移除，我们将介绍和分析方法噪声。 该方法噪声定义为原始（总是稍微有噪声）图像u与其去噪版本之间的差异。

我们还提出并分析了由简单公式定义的NL-means算法

NL[u](x)=u(y)dy，

其中xisin;Omega;，C(x)= dz是一个归一化常数，Ga是一个高斯核并且h作为一个过滤参数。这个公式相当于说，在x处的去噪值是所有点的高斯邻域看起来像x的邻域的值的平均值。 根据[6]的精神，NL-means算法与局部滤波器或频域滤波器的主要区别在于系统地使用了图像可以提供的所有可能的自我预测。 有关NL-means算法的更详细分析和更完整的比较，请参见[2]。

第2节介绍了方法噪声并计算了其所提到的局部平滑 -过滤器。 第3节给出了NL-均值算法的离散定义。 在第4节中，我们给出了方法一致性的理论结果。 最后，在第5节中，我们比较了NL均值算法和局部平滑滤波器的性能。

2. 方法噪声

Denition 1（方法噪声）设u是图像，Dha去噪运算符取决于滤波参数h。然后，我们将方法噪声定义为图像差异

u - Dhu

去噪算法的应用不应该改变无噪声图像。 因此，假定图像的某种规律性时，方法噪声应该非常小。 如果去噪方法运行良好，则即使噪点很小的图像，方法噪声也必须看起来像噪声，并应包含尽可能少的结构。 由于即使是高质量的图像也会产生一些噪音，因此以这种方式评估任何去噪方法是有意义的，而不需要传统的“添加噪声然后去除它”的技巧。 我们将列出允许计算和分析几种经典局部平滑滤波器的方法噪声的公式：高斯滤波[7]，各向异性滤波[1,11]，全变差最小化[13]和邻域滤波[16]。 频域滤波器的方法噪声的形式分析超出了本文的范围。 这些方法噪声也可以被计算，但它们的解释取决于小波基的特定选择。

2.1高斯滤波

图像各向同性线性滤波由线性对称内核归结为图像的卷积。 这种内核的范例当然是高斯内核x→(x)=。在这种情况下，有标准偏差h，很容易看出

定理1（Gabor 1960）用高斯核Gh卷积的图像方法噪声是

u -Gh* u = -h2Delta;u o（h2），

h足够小。

高斯方法噪声在图像的谐波部分和非常大的近边或纹理处为零，拉普拉斯不能小。 结果，高斯卷积在图像的部分处是最佳的，但是边缘和纹理被模糊。

2.2各向异性滤波

各向异性滤波器（AF）试图通过在x处仅在与Du（x）正交的方向上卷积图像u来避免高斯的模糊效应。 这种过滤的想法可以追溯到Perona和Malik [11]。 它被定义为

Au(x)=u(x t)dt，

对于x使得Du（x）ne; 0，并且其中（x，y）perp;=（y，x）和Gh是具有方差h2的一维高斯函数。 如果假定原始图像u在x处是连续可微的（C2）的两倍，则可以通过二阶泰勒展开很容易地显示出来：

定理2各向异性滤波器的图像方法噪声

AFh是

u(x)- Au(x)=- h2|Du|curv(u)(x) o(h2)，

当Du（x）ne;0时，关系成立。

通过curv（u）（x），我们表示曲率，即通过的水平线曲率半径的有符号倒数x。 无论你在本地表现如同一条直线，还是在弯曲的边缘或纹理（曲率和梯度运算符都取高值）时，噪声都是零。 结果，直线边缘得到了很好的恢复，而纹理和纹理区域退化。

2.3全变差最小化

全变差最小化由Rudin，Osher和Fatemi [13]提出。 给定一个噪声图像v（x），这些作者提出恢复原始图像u（x）作为最小化问题的解决方案

TV(u)(x)=argminTV(u) ?

其中TV（u）表示u的总变化量，lambda;是给定的拉格朗日乘数。 上述最小化问题的最小值存在并且是唯一的。 参数lambda;与噪声统计相关并控制所得解的过滤程度。

定理3全变差最小化的方法噪声为

u(x)-TV(u)(x)=- (curv(u))(x)

正如在各向异性情况下，由于其小曲率而保持直边。 但是，如果lambda;太小，细节和纹理可能会过度平滑。

2.4邻域滤波

我们称邻域滤波器是通过取相邻像素的灰度值相似值的平均值来恢复像素的任何滤波器。 Yaroslavsky（1985）[16]对具有相似灰度值且属于空间邻域Brho;(x)的像素进行平均，

YNu(x)=

其中xisin;Omega;，C(x)=是正常化因子并且h是过滤参数。

雅罗斯拉夫斯基滤波器比最近的版本更为人所知，即SUSAN滤波器（1995）[14]和双边滤波器（1998）[15]。 两种算法都不考虑固定空间邻域Brho;（x），而是对参考像素x的距离进行加权，

SNu(x)=

其中C(x)=是正常化因子并且rho;现在是空间滤波参数。 实际上，YNFh,rho;和SNFh,rho;没有区别。 如果两个区域之间的灰度差大于h，两种算法都计算属于与参考像素相同区域的像素的平均值。 因此，该算法不会模糊边缘，这是它的主要范围。 在实验部分，我们只比较雅罗斯拉夫斯克邻域滤波器。

这些过滤器的问题是，当这些值有噪声时，仅比较单个像素中的灰度值并不那么健壮。 邻里过滤器也会产生人为的震动，这可以通过计算得到其方法噪声见[3]。

3. NL-means算法

给定离散噪声图像v={v(i)|iisin;I}，计算像素i的估计值NL [v]（i）作为图像中所有像素的加权平均值，

NL[v](i)=，

其中权重{w(i,j)}j的族依赖于像素i和j之间的相似性，并且满足通常条件0le;w(I,j) le;1和le;1。

两个像素i和j之间的相似性取决于强度灰度级矢量v（Ni）和v（Nj）的相似性，其中Nk表示固定大小的正方形邻域并且以像素k为中心。

图1. NL-means策略的方案。 相似的像素邻域给出了一个很大的权重，w（p，q1）和w（p，q2），而不同的邻域赋予一个小权重w（p，q3）。

这种相似性被测量为加权欧几里得距离的递减函数，，其中其中agt; 0是标准偏差的高斯核。欧几里德应用到嘈杂街区的距离引发了以下等式

E 2sigma;2

该等式显示了该算法的鲁棒性，因为在期望中，欧几里德距离保存了像素之间的相似性的顺序。

如图1，具有与v(Ni)相似灰度的邻域像素的平均权重较大。这些权重定义为，

W(i,j)=,

其中Z（i）是归一化常数

Z(i)=

参数h用作过滤程度。它控制指数函数的衰减，并因此控制作为欧几里得距离的函数的权重的衰减。

NL-means不仅比较单个点中的灰度级，而且还比较整个邻域中的几何配置。 这个事实允许比邻域滤波器更强大的比较。 图1说明了这一事实，像素q3具有与像素p相同的灰度级值，但邻域差别很大，因此重量w（p，q3）几乎为零。

    1. (b) (c)

(d) (e) (f)

图2.显示用于估计每个图像中心像素的NL-means权重分布。 权重从1（白色）变为0（黑色）。

4. NL-means一致性

在平稳性假设下，对于像素i，NL-均值算法收敛于我曾经观察到其邻域的条件期望值。 在这种情况下，平稳性条件可以说，随着图像尺寸的增大，我们可以找到许多类似的补丁，用于图像的所有细节。

令V是一个随机场并假设有噪图像v是V的一个实现。令Z表示随机变量序列Zi= {Yi，Xi}其中Yi= V（i）是实数并且Xi= V（Ni {i}）是Rp值。NL-means是条件期望r（i）= E [Yi|Xi= v(Ni {i})]的估计量。

定理4（条件期望定理）令z = {V（i）,V(Ni{i})}对于i = 1,2，...是严格平稳和混合的过程。 设NLn表示应用于序列Zn=的NLn-均值算法。然后

|NLn(j)-r(j)|→0 a.s

对于jisin;{1,...,n}。

定理的假设及其证明的完整陈述可以在[12]的更一般的框架中找到。 这个定理告诉我们，NL-means算法校正噪声图像，而不是试图从真实图像（平滑）中分离噪声（振荡）。

在假定加性白噪声模型的情况下，下一个结果表明条件期望是V(Ni{i})的函数，其使真实图像u的均方误差最小化。

定理5设V，U，N是I上的随机域，使得V = U N，其中N是信号独立的白噪声。 然后，下列声明成立。

(ⅰ)E[V(i)|Xi=x]=E[U(i)|Xi=x]对于iisin;I和xisin;R?。

(ⅱ)期望的随机变量E[U(i)|V(Ni{i})]是V(Ni{i})的函数，使其均方误差最小化

minE[U(i)-g(V(Ni{i}))]2

类似的最优性理论结果已经获得[9]并提出二值图像的去噪。 这两种算法之间的理论联系将在未来的工作中探讨。

5. 讨论和实验

在本节中，我们比较了局部平滑滤波器和NL-means算法在三个明确标准下的情况：方法噪声，恢复图像的视觉质量和均方误差，即恢复图像和真实图像之间的欧几里得差。

为了NL-均值算法的计算目的，我们可以限制在尺寸为Stimes;S像素的较大“搜索

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