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单自由度系统：
自由响应特性
4.1简介
4.2无阻尼和阻尼系统的自由响应
4.2.1简介
4.2.2初始速度
4.2.3初始位移
4.2.4初始位移和初速度
4.3一个单自由度系统的稳定性
4.4机床震颤
4.5 具备非线性元件的单自由度系统
4.5.1非线性刚度
4.5.2非线性阻尼
4.6总结
练习
简介
在第3章中，我们说明了如何导出单自由度系统的控制方程。在本章中，我们确定了该控制方程的解，并在此基础上讨论了单自由度系统在不同初始条件下的响应。正如第3章所指出的，它表明自由响应可以用阻尼因子来表征。介绍了一个解的稳定性的概念，并简要讨论了。介绍了一个解的稳定性的概念，并简要讨论了。在车削加工过程中也考虑了机床颤振问题，并举例说明了该问题的数值稳定性。第5章和第6章讨论了单自由度系统的强迫响应。
对于所有线性单自由度系统，控制方程可以用式（3.22）形式，在下面重复。
（4.1）
为给定的一组初始条件，用公式（4.1）描述的系统寻求一个解决方案。这种类型的问题称为初值问题。由于系统惯性、刚度和阻尼参数相对于时间是恒定的，公式（4.1）中的系数相对于时间是恒定的。对于常系数线性微分系统的解决方案，可以通过使用时域方法和拉普拉斯变换方法，如附录D中的说明。后者已在这里使用，因为一般的解决方案的响应的一个强迫振动系统可以确定任意形式的强迫。然而，一般性的代价是，在拉普拉斯变换方法中，直到最终的解决方案被确定时，振动系统的振荡特性是不明显的。另一方面，当使用时域方法时，在初始发展中所假设的解的显式可以使人们容易地看到振动系统的振动特性。为了补充这种互补方法的优点，在附录D中总结了时域方法。我们用拉普拉斯变换求解线性常微分方程的简便性，通过第8章中的麦斯威尔材料的响应和求解第二章中两个自由度系统的响应来说明。在第9章中，我们还展示了如何用拉普拉斯变换求解薄梁的自由响应。使用拉普拉斯变换方法的一个优点是可以方便地看到时间和主域的响应的对偶性，这对于理解相同的信息如何在两个不同的域中表达是很重要的。
在这一章中，我们将展示如何：
bull;确定一个线性的解决方案，单自由度系统是欠阻尼、临界阻尼，阻尼和无阻尼单度的。
bull;确定单自由度系统对初始条件的响应，并利用其结果研究碰撞和碰撞的响应。
bull;确定系统何时稳定，以及如何使用根轨迹图获得稳定信息。
bull;在机床振动时获取条件。
bull;使用不同的模式：粘性阻尼（沃伊特），麦克斯韦，迟滞。
bull;具有非线性刚度和非线性阻尼的检测系统。
sup1;见附录A
4.2无阻尼和阻尼系统的自由响应
无阻尼和阻尼系统的自由响应
4.2.1引言
在这一部分中，无阻尼和阻尼的单自由度系统在无强制—就是f（t）0—的情况下的反应进行了探索。这些反应也被称为自由响应，当系统无阻尼、欠阻尼，响应被称为自由振荡。在没有强迫的情况下，Eq.（4.1）给出的单自由度减小到
（4.2）
自由响应是一个系统的初始位移x（t）= x（0），一个初始速度x（0）＝V（0）或一个初始位移和初始速度。根据附录D中的讨论，有四种不同类型的解式（4.1）取决于阻尼系数zeta;的大小。这四个区域描述了四种不同类型的系统，如下所示。
欠阻尼系统：0lt;zeta;lt;1
当阻尼系数范围在0＜zeta;＜1，我们表示系统为欠阻尼系统。从公式（3.20）我们可以看出，在这个区域，阻尼系数c小于临界阻尼系数cc。为zeta;此范围内的值，以方程的解（4.2）由Eq.（d.15）或Eq.（16）；即，
（4.3）
或
（4.4）
分别在
（4.5） 其中omega;d是阻尼的固有频率和
(4.6)
第4章单自由度系统
临界阻尼系统：zeta;＝1
当zeta;＝1时，我们将系统表示为临界阻尼；即，C＝CC。式（4.2）的解决方案在这种情况下，是由式（D.19）给出的；即，
（4.7）
过阻尼系统：zeta;＞1
当阻尼系数zeta;＞1，系统是过阻尼的；即，阻尼系数C大于临界阻尼系数CC。在这个区域，对方程（4.2）的解是由方程（D.9）与f（t）＝0提供的；即，
（4.8） 在
（4.9）
无阻尼系统：zeta;＝0
当阻尼系数zeta;＝0，系统无阻尼；即，阻尼系数C = 0。在这种情况下，对方程（4.2）的解是由方程（D.24）或方程（D.25）；即，
（4.10）
和
（4.11） 分别在
(4.12)
我们现在可以研究三种不同阻尼水平的质量响应的差异，并确定阻尼比对衰减率的影响。为了简化问题，我们假设初始位移X0＝0，初始速度V0ne;0。然后，引入无量纲时间变tau;＝omega;nt，我们简化了方程式（4.10）、（4.3）、（4.7）和（4.8），分别，
zeta;＝0
0lt;zeta;lt;1
zeta;＝1
zeta;＞1
三个阻尼情况下的时间历程被绘制在图4.1中，在那里，当zeta;＝1时，位移在最短的时间内衰减到平衡位置。这种特性被用于例如风门的设计中。此外，可以看出，对于zeta;＜1，响应是振荡的，而对于zeta;≧1，响应是不振荡的。然而，随着zeta;的增大，峰值振幅减小。
图4.1
一个单自由度系统对三个不同zeta;值的初始速度的响应
- 单自由度系统
设计准则：临界阻尼系统的自由响应在最短的时间内达到平衡或静止位置。
在无强制的情况下，当zeta;gt; 0，位移响应一直衰减到平衡位置x（t）＝0。然而，当zeta;＜0时这不是真的；系统的响应将随时间成长。这是一个不稳定响应的例子，在第4.3节中讨论过。接下来，我们给出了三个例子来探索欠阻尼和临界阻尼系统的自由响应。
例4.1微机电系统的自由响应
微机电系统的质量为0.40毫克，刚度为0.08 N / m，和可忽略不计的阻尼系数。重力荷载对这个质量的运动方向也没有影响。当系统在初始位移为2 mu;m，初始速度为零时，当系统不受力作用时，我们将确定和讨论该系统的位移响应。由于V0 = f（t）=zeta;＝0，我们从式（4.10）看出位移响应的形式
（a）
在
(b) 由公式（b），自然频率是
或
将这个值和初始位移的给定值2mu;m代入方程（a）中
（c） 方程（c）是位移响应。根据式（a）或式（c）的形式，很明显，位移是余弦调和函数，它随时间周期性变化，并具有周期性。
从方程（c）的形式来看，很明显，反应不会衰减，因此，反应不会沉降到静态平衡位置。系统，相反，振荡谐波位置的平衡具有2mu;m的振幅。
例4.2 汽车轮胎的自由响应
宽基轮胎具有1.23times;106 N / m的刚度，30赫兹的无阻尼自然频率，和4400 N·s / m的阻尼系数。在没有强迫的情况下，我们将确定系统在非零初始条件下的响应，评估系统阻尼的固有频率，并讨论响应的性质。
让轮胎的质量用M表示。基于图3.1所示的系统的第3章导出的运动方程，由方程（4.2）给出了轮胎系统静态平衡位置的运动方程；即，
（a）
对于这种情况，
(b)
由于阻尼系数小于1，该系统欠阻尼。因此，方程（a）的解是由方程（4.4）给出的，即轮胎系统在静态平衡位置上的位移响应是
（c） 其中的系数A0和phi;D的初始位移和初始速度由方程（4.6）决定。阻尼因子xi;和固有频率omega;n是由方程（b）确定，阻尼自然频率omega;D是由方程（4.5）确定
方程（c）给出的响应具有阻尼正弦周期的形式。
因此，轮胎摆动来回约有35.4毫秒内随着时间的推移静力平衡位置的位移响应幅值随时间呈指数衰减，并且在极限，
由于指数项。因此，一个快速的衰减后，轮胎系统集数据到静平衡位置。
例4.3 门的自由响应
图4.2所示的门在垂直方向上绕垂直轴旋转。由式（3.13），这个系统的控制方程是
(a)
其中质量惯性矩J＝20kg·Msup2;，制门器提供的黏性阻尼为48 N·m·s/rad，门铰链的转动刚度为28.8 N·m/rad。当门从从初始位置theta;＝0以4弧度/秒的初始速度被打开时，我们应确定该系统的响应。然后我们将这个反应绘制成时间的函数，并讨论它的运动。
方程（a）将通过惯性Jdoor用式（4.2）写成来获得
（b） 在
(c)
对于给定的参数值，阻尼因子和自然频率，从方程（C），
(d)
因此，该系统是临界阻尼。位移响应由方程（4.7）给出；即
图4.3
图4.2中门的位移时间历程。
（e） 当把给定的初始条件代入时，theta;(0)＝0，theta;(0)＝4 rad/s和从方程（e）中的方程（d）的固有频率值，我们获得了门的位移响应
（f） 这个响应被绘制为图4.3中的时间函数。从这个图可以看出，这是在超过一个周期的系统的无阻尼振荡之后，该临界阻尼系统迅速达到静平衡位置theta;＝0的明显的自由响应；即，当T＝2pi;/omega;n＝5.24s。峰值位移振幅发生在theta;(tpeak)＝0，或tpeak＝1/1.2＝0.833 s。正如一个临界阻尼系统所期望的那样，运动不是周期性的，也不是关于平衡位置
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