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基于伽柏展开的响应信号模态参数识别
Z.Y. Zhang, H.X. Hua, X.Z. Xu, Z. Huang
（中华人民共和国上海交通大学振动、冲击与噪声研究所，上海市华山路1954号）
于2002年1月30日受理，2002年10月1日授权
摘要：本文提出了一种基于伽柏变换分解响应信号从而识别模态参数的新方法，用于预估线性定常系统的固有频率、阻尼比和振型。根据伽柏展开理论，多自由度系统的响应可以分解为不耦合的信号分量，每个分量在一个固有频率上振动。从这些不耦合的信号中，使用常用的方法提取模态参数。该方法可以处理稳态和非稳态响应，除了作用于系统的未知激励产生的响应信号外，不需要输入其他信号。由于对输入输出信号的限制较小，基于时频分解的方法可以普遍运用。后对简支梁在非平稳激励下的仿真研究表明，该方法在参数估计中是有效的。
1.前言
传统的模态参数识别方法已经得到了很好的发展，如今已经可以在方便对结构进行激励的实验室和其它场景下进行全面的识别试验。在拥有采样输入和输出数据的情况下，可以完成在时域或频域内的许多过程，例如基于频率响应矩阵的模态参数提取方法、时间序列递推模型或状态空间方程[1-5]。在实验室和理想环境中，这些方法很有效并且不能替代。然而，对于大型结构或运行中的机器，通常情况下存在励磁能耗过高或无合适励磁位置的问题，因此，如何进行试验成为了一个大问题[6]。近些年提出的环境激励下的参数识别方法，通过假设环境激励具有足够的能量、满足信号平稳性且只有模态参数是从响应数据里提取的，从而绕过了在上述情况下遇到的一些困难。当环境激励为平稳白噪声时，可以使用众所周知的NExT方法来估计模态参数[7–9]。但在现实世界中，静止是环境激励的必要条件。因此，模态参数识别必须考虑非平稳过程和结构对环境激励的响应。幸运的是，信号的时频分析在过去20年中得到了很好的发展，它提供了一种仅从响应数据中识别模态参数的新方法。通过时频分析，平稳和非平稳信号都可以在时频域中进行处理和表示，这对于从非平稳响应数据中识别参数至关重要。
在纯时域或频域信号的处理过程中通常无法分离混合在给定信号中的特征值，特别是对于那些可变频率的信号[10–11]。然而，时频分析会将任意信号转化为时间和频率的函数，从而在时频平面上给出了更准确、更充分的特征演化和能量分布信息。此外，时频分析方法在工业中也有许多成功的应用案例[12]。在模态参数识别中，利用信号的双线性时频变换已经应用在了提取模态参数上[13]。双线性变换虽然具有许多优点，但交叉项和负能量分布会降低分辨率，导致精度较差。与这种变换相比，短时傅立叶变换、伽柏变换、小波变换等线性变换没有交叉项，且总是给出非负的能量分布。在小波分析中，为了获得最佳的时间分辨率，采用了自适应窗[14]。因此，在较低到较高的频带之间，频率分辨率是不同的。与小波变换相比，伽柏变换使用固定的分析窗口，从而可以获得恒定的频率分辨率。伽柏变换可以将任意信号分解成在时频平面上某一晶格上振动的短周期波[15-16]。从这些短周期波中，可以重建局部信息来表示某些特征。本文采用伽柏展开法对响应信号进行分解，以提取模态参数。
事实上，与从输入输出数据中提取参数的传统方法不同，基于伽柏展开理论的方法是将每个采样响应分解成不耦合的信号分量，然后用常用的方法从这些不耦合的分量中提取模态参数来进行预估。此外，该方法适用于平稳和非平稳响应。本文将分三部分讨论此方法，第一部分介绍了伽柏展开理论；第二部分对所提出的方法进行了全面的探讨；第三部分对非平稳激励下简支梁的参数估计进行了仿真研究。
2.伽柏展开
假设和构成一个框架，即存在常数和且满足：
（1）
此式满足：
的伽柏展开在框架下可表示为：
（2）
其中称为伽柏系数, 是双框架的,是分析窗口函数，是合成窗口函.数式（2）是信号的原子分解；这表示晶格处的局部振动波的叠加等于。这意味着信号中包含的所有信息都可以从伽柏系数重建。
当某一特征对应的伽柏系数都分布在区域中时（图1中，实心圆和矩形代表不同的特征），可以用展开式完全恢复相应的信号。但是当伽柏系数未被给定区域完全覆盖（如图1所示）或在某种程度上被噪声系数污染时，来自选定伽柏系数的构造信号与精确信号则不同。不过可以通过执行优化过程来获得最佳近似值[16]。
图1 晶格和分布系数
3.LTI系统的参数识别
设想一个自由度为的LTI系统：
（3）
设对应的种振型，上式的初始状态为具有足够的带宽。根据振动理论，上式的响应可化为：
（4）
设为第四模态振动，即：
（5）
定义伽柏算子：
则有：
（6）
将点的响应代入上式中，得到:
（7）
式中是s点第四模态响应的伽柏系数，式（7）揭示了响应的伽柏系数是模态的总和，此性质使得伽柏变换在响应分解方面优于其他高阶变换。系数实际上分布在时频平面的某个区域上，从中可以重构频率的振动信号，也可以通过从中选择伽柏系数来重构。为了保证重构的精度，每个震动模型的能量应该集中在频率附近，或者模态频率的间隔足够大。在这种假设下，有可能重构后的响应与频率相对应，也可能会受到其它模态的轻微污染。式（8）给出了从时间-频率平面上区域内选定系数重建的公式：
（8）
其中定义为：
是伽柏系数的一个区域，以下各节中的参数估计基于式（8）。
3.1. 频率估计
从重构信号的伽柏系数可以估计出固有频率，对于延迟固有频率，可以写为：
（9）
其中是第个离散频率，代表任意点指的是任意时刻。对于稳定的随机响应，应为所有估计样本的期望值，即：
（10）
也可以用传统方法估计，但式（9）非常通用，完全适用于时间变化问题和非线性系统的频率估计。
3.2.模型预估（实际模型）
式（5）中，点的第四模态振动可以描述为：
（11）
式中，是点处状态的振幅。假设，然后依据式（11）可以估计延缓的规范化振型：
（12）
然而，直接用公式（12）估计振型可能会导致较大的误差。为了减少估计误差，可以构造如下两个有限序列:
因此有限序列可给出：
（13）
式（12）表明振型的估计与激振力无关。因此，也可以通过将激励力代入式（11）来获得振型。对式（11）的两边进行傅里叶变换可得到：
（14）
式中,傅里叶变换后分别为和，。式（14）表示力信号的时频滤波与响应数据的直接滤波具有相同的效果。请注意，是频率的信号，它应与生成的信号相同。因此，也可以从所有重建的中预估标准化的振型。
一般情况下，由于混合条件的环境激励，在时频平面上的分布比较复杂，但基于式（8）的振型预估仅受重构信号有效性的影响。因此，只要在附近具有足够的信噪比（SNR），就可以高精度地提取振型。传感器噪声和来自相邻振型的干扰构成中的总噪声，所以使用式（13）时，可能会导致预估振型出现较大的误差。对于随机响应，的伽柏系数将随机分布在时间-频率平面的某个区域上。将记为一个线性算子，为了减少相邻模型的干扰， 应该由区域的高能系数重新建立。然而，根据随机振动理论，当环境激励用于统计的白噪声时，响应的相关性包含在每个模式的振幅和相位信息中，并且在本例中，每种模式都可以通过伽柏变换，变换成具有高精度的相关数据而完成间接估计。在频率估计中，振型预估对信号静态性没有限制，但伽柏变换和信噪比（SNR）的分辨率除外。
3.3.阻尼预估
一般而言，阻尼比的精确估计通过相应数据比用振型和频率更难估计。在我们的方法中，通过假设响应中存在高能量自由振动，或者根据响应数据可以构建自由振动的方法估计了阻尼比。当激励是静态白噪声时，响应数据的自相关形式是自由振动。在本案例中，阻尼预估相对简单，当响应是非静态但具有高能量自由振动时，可以根据式（8）重新构造自由振动。
假设中存在自由振动。那么它可以重新构造和表达为：
（15）
其中表示噪声，定义标量函数，则有：
（16）
其中是积分区间的长度，如果，则可以写为：
（17）
式中：。给定一个有限元，阻尼比可以通过曲线拟合的方法从式（16）中准确地估算。虽然这是一种较为通用的方法，但是的条件依然存在，估算精度会受影响。
综上所述，当激励为平稳白噪声时，响应数据的自相关具有自由振动的模式，但是这会削弱低能信号，导致自由振动仅包含高能模态的振动。因此，如果模态振动能量集中在模态频率附近，则可以在低能量模态振动重构后进行关联，其有效性由可由式（14）保证，这也说明时频滤波的响应等于频率响应函数的权重。所以模态振动能量的集中是必要的，否则重构信号的相关性将没有意义。
在下一节，公式（8），（9），（13）和（16）将用于估计简支梁在非平稳激励下的模态参数。
4.模拟实验
设想一个三自由度的简支梁（如图2）。该模型的固有频率和阻尼比分别为28.33、112.54、238.95Hz和0.0562、0.0141、 0.0067。图3给出了对应于每个测量点的频率响应函数FR1—FR3。
图2 简支梁
图3 频率响应函数
在点1处激励梁，同时测量三个点的加速度响应，采样率为1000Hz。激励为快速正弦扫频加白噪声，持续时间为1.28s，快速正弦扫频的频带和振幅分别为1—400Hz和1.0。白噪声的均值和方差分别为0和1.0。显然，每个点的加速度响应都是非平稳的。图4给出了点3的加速度响应，其中包含三个模式的重叠自由振动。图5是点3的伽柏系数分布，它清楚地反映了激励和模态响应的演变。图6和图7分别是点2和点1响应的伽柏系数分布。在图7中，由于点1加速度响应中的直接噪声耦合，随机响应的伽柏系数不集中在三个模态频率附近。
图4 点3的加速度响应
图5 伽柏系数分部（点3）
表1 实际模态参数和预估模态参数
|
频率（赫兹） |
阻尼比 |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
|
|
实际值 |
28.33 |
112.52 |
238.95 |
0.0562 |
0.0141 |
0.0067 |
|
预估值（点3） |
28.5 |
112.8 |
239.5 |
0.0547 |
0.0144 |
0.0071 |
|
预估值（点1） |
28.1 |
112.4 |
239.6 |
0.07 |
0.0147 |
0.0069 |
为了估计模态频率，从图5的分布中收集对应于每个模态频率的伽柏系数，并且根据等式（9）计算一阶矩，估算频率列于表1。在这个例子中，由于模态频率是恒定的，我们也可以重建每个模态振动，通过频谱分析估计所有的频率。图7中的分布估计的模态频率也在表1中给出，这表明频率估计对噪声污染也是有效的。
为了估计模态阻尼，依据图5中的分布重构自由振动。图8—10是受噪声污染较轻自由振动的重建结果。在恢复自由振动的情况下，根据公式（16）计算函数，，，并通过曲线拟合的方法估计各振型的阻尼比，表1给出了估计结果。图7中的分布也用于给出另一个预估结果，但是表1表明，第一模态估计的阻尼比有较大偏差，而其他模态
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