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输出参数辨识与双速率采样系统的估计
丁峰，杨慧中，
摘要
在本文中，我们推导数学模型系统和双速随机梯度辨识估计算法估计模型参数和一个输出
算法计算样本输出的基础上直接输入-输出双速数据。此外,我们调查收敛的特性参数和样本估计,我们测试该算法示例系统，包括一个实验性的水位系统。
关键词：收敛性，双率系统，身份识别，建模，多速率系统，参数估计，模拟，随机梯度
1 引言
在系统建模和控制,许多状态估计,包括观察者设计和卡尔曼滤波器(如[1],[2]),假设已知系统参数,通常在实践中并非如此。在系统建模领域,许多出版物识别和参数(时间解决延迟)估计线性或非线性系统的问题,例如,[3]-[6]。然而,大多数识别算法的假设系统输入-输出数据在每一个采样时刻是可用的。对于不规则采样系统。、双速或多重速率的系统,这些算法不能直接应用。多重速率的系统在这个过程中丰富的行业,例如,[7]-[11],[19]-[21]。参数识别和样本估计在多重速率的框架很重要,因为输出他们不仅可以用来监控输出变量(取样很少由于硬件限制)样本之间还要设计推理控制方案与罕见的输出测量([10]为在石油生产上的应用)。
提升技术被用于研究多速率控制系统，例如，参见[7]， [9]以及 [11]。例如，在过程控制领域，[11]讨论了基于模型预测控制的多频系统;[9],[10]应用双速建模辛烷质量推理控制和分析性能推论双速控制方案。然而,报告的大多数控制算法假定参数多重速率的系统是已知的,通常情况不是如此。在这个过程中识别文献,[8]假定系统的状态是已知的,他们用他们的多重速率的输入-输出的数据来估算的解禁参数状态空间模型的多速率系统。他们试图从获得的提升模型中快速提取单频模型，但单频模型的准确性是有限的，取消模型由于模型的转换错误极大地放大。最近,丁磊和陈[12],[13]最小二乘参数参数估计和随机梯度参数估计自适应控制算法双速系统。
本文的主要贡献在于。、
1）使用多项式变换推导出一个双速模式并估计丢失的输出（内采样输出）。在此基础上双率识别模型获得的模型可直接从所识别的双速率取样，因为信息载体的数据双速率的模型不涉及未知内采样输出。
2） 使用随机梯度算法来识别获得双速模型的参数与失踪输出，并调查提出的性能估计算法使用随机过程理论。
3） 此外，以估计丢失的输出（内采样基于所获得的参数估计输出）分析失踪的输出估计误差。
基于随机梯度的识别和算法提出内采样输出估计算法用于估计解除双速率模型参数多项式变换，,这不同于辅助模型库在最小二乘算法[14],辅助模型随机梯度算法[15],辅助有限脉冲响应模型辨识算法[16] 所有估计原单一直接的参数模型，而不是取消了双速的参数模型和估计丢失的双速率采样脉冲输出系统。该方法也不同在分层随机梯度算法[17]和分层最小二乘算法[18]其中两个使用分层识别原理以研究鉴定问题多输入多输出系统。
图1。双速率采样数据系统。
简单地说，本文组织如下。在第二节中，我们描述了问题公式化与双速有关的系统。在第三节中，我们讨论一个多项式变换技术和推导双率的数学模型系统。在此基础上，我们提出了一个参数和样品间输出估计算法，并分析其性能。第四节，第五节给出给出了两个例证的结果证实了本文有效性算法的提出了。最后，第六节总结本文的一些言论。
2 问题描述
本文主要针对一个类的多速率系统，双率采样数据系统，如图1所示， 其中个人电脑是一个连续时间过程，计算机的输入uc（t）是由保持零级Hh产生的周期h，处理离散时间信号u（k），PC的输出yC（t）由样品采样Sqh周期为qh（其中q是一个正整数）产生一离散时间信号y（kq）周期为qh。从这里，我们可以看到输出采样周期是一个整数（q）有多个输入更新周期。对应用程序的一些工作，这样的双速率系统的控制已经存在（参见，例[9]和[10]）。在这样的系统中,输入输出数据以下几点:
1）{u(k) : k = 0, 1, 2,...} 以快速率
2）{ y(kq):k = 0,1,2,hellip;}以缓慢的速率。
因此，除样本的输出，即，y（k I）中，i=1，2，...，q - 1，不可用，并且也被称为失踪输出。在这里，我们指的{ u（k），y（kq）}作为双速率测量数据。
令z代表在以很快的速度向前移位运算符;因此，z-1u（k）= u（k - 1），z-1y（k）= y（k - 1），z-1y（kq）=y（kq - 1），和z –qy（kq）= y（（k - 1）q）。对于这种双重速率采样数据系统， 假定它具有以下与u（k）为y（k）的输入输出关系：
其中，在单速率系统中P1（z）时相应的传递函数，d是系统时间延迟（非负整数），并且a（z）和b（z）是所限定的z-1的多项式如下：
有趣的是下面的问题。
1）如何从u估计模型来基于给定y双速率数据？ （以及如何估计除样品
输出？）
2）如何评价参数和样品的准确性输出估计？
3多项式变换技术
注意,模型(1)是不适合双速系统识别。看到这一点,我们重写(1)如下:
且
例如，对于q= 2，如果y（k）的测定值是k，那么只有过去的测量输出y（kminus;2），y（kminus;4），hellip;，可用;然而，y（k - 1），y（k - 3），...，都没有，因此，信息载体psi;（t）的包含这些不可测量的变量。从而，P1（z）需要将其转换成一种形式，我们就可以直接使用双率的数据。多项式变换技术被采用于该目的。该详情如下。
a(z) 是zi的根
定义
将公式phi;q（z）分子和分母同时乘以p1（z）
变换P1(z)的分母为所需形式。
既
（2）中的模型的优点在于分母是z-q的多项式;从这里产生的是一个递归方程只能慢慢地使用采样输出。系统识别算法，我们将在后面提出双率系统会根据此模型，它不涉及不可用的采样输出数据。在beta;（z）中我们付出的代价是估算更多的参数比在b（z）中。使用分层来解决基于该分级识别估计方法原则[17]，[18]将导致计算量的增加。
4 估计算法与主要结果
让我们先介绍一些符号。上标“T”表示转置矩阵或向量，并且一个向量的范数被定义为| x |2=xTx。我们写f（K）= O（g（k）），如果存在一个常数delta;1gt;0，使得| f（k）| le;delta;1g（K），并且i代表大小适当的单位矩阵。
接下来，我们研究了参数和取样间输出估计运用在（2）中的随机框架模型问题。根据（2）中的模型，并通过引入一个噪声项v（k），我们有
其中v（k）的假设为一个零均值随机信号。在（3）的z-q和（4）(z)的z-1代入多项式(z)中导致了以下回归方程为：
其中参数向量和信息向量（k）被定义为
在（6）中用kq替换ķ
既
方程（7）是双率的辨识模型系统，其不涉及未知的采样输出，因为信息载体ϕ（kq）只使用可用的双率数据，即只有过去的测量输出（慢速率）y（kqminus;q），y（kqminus;2q），hellip;，y（kqminus;qn）和过去的（可能电流）输入（快速率）（kqminus;d）、（kqminus;dminus;1），hellip;，（kqminus;dminus;qn）。
令theta;（kq）是theta;在时间kq的估计。在（7）中我们采用一个简单算法估计theta;
采样输出
方程(8)-(11)组成的基于随机梯度算法估计参数，在（7）中双速率系统的输出,我们参考DR-SG算法。
初始化算法，我们取（0）=0，这是一个小实向量，例如，（0）=10-61n0times;1，其中1n0times;1是一个0维向量，其元素为一。
虽然这里提出的算法似乎是简单的，我们更感兴趣的是具有挑战性的问题，如收敛特性的参数和采样输出的估计。我们认为，这方面的一个重要的应用算法是估计失踪输出样本。
定义参数估计误差向量
采样输出估计误差矢量
它遵循
下面的引理是需要建立的主要收敛的结果。
引理1：f（k）ge;0和g（K）ge;0，假设 f（K）g（K）lt;infin;。 然后，f0=0。
引理2：对于双速率系统中在（7）和DR-SG算法在（8）-（11）中，假设（q）进行持续的，即，存在正的常数c和整数N 使得下面的持久的激励(PE)条件是适用的:
在这里，a.s。表示“几乎可以肯定。”然后，r（kq）满足
证明:以跟踪(A1) 的收益率
根据r（kq）的定义，我们有
通过让k:= N j i, 0 le; iN, 我们有
剩下的是容易的。这里证明引理2
PE条件（A1）是一个识别文献标准的假设且意味着该系统输入是一个持续激励信号序列或足够丰富，而且它也是系统辨识的必要条件。
定理1：对于双速率系统中（7）和DR-SG算法(8)-(11), 假设{ v(k)}是一个独立的
与零均值和有限的时变噪声序列方差，即
在（A1）中假设PE条件成立，并且r（kq iq）= O（r（kq））为有限整数i。然后，参数估计由DR-SG算法给出错误收敛到零在均方意义上，即
证明：相比[13]，在本文中，我们以不同的方式证明了这个定理—鞅收敛定理在[6]中是确定的。代人（8）到（12），并赋给（7）
当
在（14）中使用准则（10）和（15），我们有
由于y（kq），T（kq），r(kq minus; q)和r（kq）是独立与v（kq），对上述两侧的等式取期望，并使用（A2）和（A3）得到
因为第三项上的右边的总和（16）k是1至infin;是有限的，即
运用鞅收敛的确定性版本定理[6，引理D.5.3]至（16），我们认为 收敛到一个有限的常数，例如，E[C]或收敛a.s到有限的随机变量C，即
应用克罗内克引理[6，引理D.5.5]给出
方程(17)表明参数估计误差一致有界的无PE的假设。为了获得一致的参数估计，需要PE的条件。详情如下： 让
从（14），我们有
在（15）用k J替换ķ给出
通过使用(20),它遵循
或
平方求和,j从j = 0 到j= Nminus;1
由于 ， 使用（A1）收益率
在（21）中以l取代k，除以r（
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