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基于Huber理论的新型鲁棒无迹卡尔曼滤波器
摘要：本课题针对包含遵循非高斯概率分布误差统计的非线性动态系统的无迹卡尔曼滤波器(UKF），提出了一种新的鲁棒无损卡尔曼滤波器(NRUKF)。在NRUKF中，使用Huber成本函数重构测量信息(测量结果和测量噪声），然后将标准无迹变换(UT)应用于精确非线性测量方程。相比于应用Huber技术来修正标准UKF测量更新方程的传统HUKF来说，非线性(统计线性)近似的NRUKF的性能和稳定性大大提升。将NRUKF应用于目标跟踪问题，通过数值模拟研究，验证了该算法的有效性。
1 介绍
基于卡尔曼和布西建设性的论文，因为易于实施和表现出色, 经典卡尔曼滤波器(KF)已经被应用于许多领域不同的领域。KF传播均值和动态与嘈杂测量的协方差在估计问题的类动态和测量过程可以通过线性近似高斯状态空间模型。在一类估计问题中，KF传播平均值和源自噪声测量动态协方差的测量过程可以用线性高斯状态空间模型来近似得出。已经有很多关于将KF扩展到非线性动态和高斯近似后状态分布测量模型的方法被提出，在这些高斯近似方法中，最为著名的就是扩展卡尔曼滤波器（EKF）和无痕卡尔曼滤波器（UKF）。然而，EKF当中的粗略估计会导致概率分布形式不良与感兴趣函数的非线性。UKF是EKF的一种有前景的替代方案，通过一组确定的sigma采样点以及非线性过程传播和测量方程，UKF与EKF有着相似的模型状态概率分布。由于消除了对雅可比/黑森矩阵的繁琐推导和计算，UKF比EKF更容易实现且性能更好，并且已经成功地应用于许多实际问题。
不幸的是，应用中产生的噪声分布经常偏离假定的高斯模型，通常以重尾分布为特征，产生强烈噪声，也就是异常值，在这种情况下的高斯近似卡尔曼滤波器表现就会很差。在很多工程领域中，很自然地会出现污染的高斯噪声和异常观测值，这些例子涵盖了数控系统中的硬件中断、航空航天应用的追踪以及电力系统状态估计等等。为了解决这些问题，人们提出了如高斯和法等许多方法。然而，它所假定的噪声概率分布函数（pdf）是先验的，并且随着状态变量的增加而增大计算量；粒子滤波器（pf）也可以产生一个鲁棒估计，但这个在许多应用中的实时应用还是不能实现。具体来说，基于Huber广义最大似然方法的鲁棒技术可以有效地解决非高斯分布问题，Huber方法是一种结合最小和范数估计技术，应对假定高斯分布的偏差时有鲁棒性。通过将离散时间的卡尔曼滤波（kf）表达为每次测量更新时出现的一系列回归问题，Huber方法已成功应用于滤波问题。值得一提的是，之前所做的就是说，Huber方法适用于线性化或统计线性化过滤器。
本文着重致力于将Huber方法推广到无线性（统计线性）逼近的非线性卡尔曼滤波。对线性化Huber KF的分析指出了Huber成本函数只影响测量噪声协方差。如此一来，基于Huber的估计可看作为修正观测值的平均值或加权平均数（称为“伪观测”）：大部分数据的观测值保持不变，而那些太大或太小的就会被舍弃。在此基础上，提出了一种新的鲁棒无痕卡尔曼滤波法，该方法利用Huber技术对测量信息（测量结果或测量噪声）进行重构并将其用于UKF的标准过程。没有线性（统计线性）近似的话，理论上NRUKF会比线性化或统计线性化的Huber滤波器做得更好，还能保持鲁棒性。
以下是本文的结构顺序：第二节会介绍基于线性化Huber的KF，并针对Huber成本函数的应用加以论证。第三节是通过运用Huber法对测量信息进行重构，进而得出NRUKF算法。在第四节中，与传统的线性化或统计线性化的Huber滤波器作比较以及NRUKF的一些扩展说明。在第五节中通过对目标跟踪问题的数值模拟研究，验证了NRUKF算法的有效性。第六节总结了该算法的性能。
2 线性化的Huber理论滤波技术
本节回顾了线性化Huber过滤技术，并特别论证了Huber成本函数的使用。首先假设所考虑的系统由状态空间模型表示为：
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( 1 ) |
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( 2 ) |
其中和是线性过渡函数和观测函数，是系统在时间步时的维状态，是维观测向量，是由扰动和建模误差引起的过程噪声，是测量噪声。目的是根据模型和观测结果推断出之前的有关状态向量的信息。设表示给定的的线性最小二乘估计，设.表示相应的误差协方差。然后标准的kf递归导出为:
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( 3 ) |
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( 4 ) |
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( 5 ) |
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( 6 ) |
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( 7 ) |
KF的测量更新也可以看作是一个特殊的加权最小二乘问题的结果，就是将预测与观测相结合，得到如下的批量回归表：
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( 8 ) |
其中，是真实状态与预测的误差，是维单位矩阵。将定义为上面右侧的第二个变量。
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( 9 ) |
将（8）乘以，得到：
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( 10 ) |
当,与成立时，关系式（10）是以的标准线性最小二乘回归问题的形式。可以看出KF的递归（5）–（7）是（10）给出的线性回归问题的解。
KF可以看作是一个稳定可解且能被快速解决的线性回归问题（10），可以通过使用被定义为最小化问题的M预估来实现。
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( 11 ) |
其中，是的第个分量，是一个用于处理异常值和污染的高斯噪声的鲁棒分数函数。最小化问题的解可以从成本函数的导数中找到，从而得到隐式方程。
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( 12 ) |
称为干扰函数。定义矩阵，上述方程可以用矩阵形式表示为：
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( 13 ) |
（13）的解由下式给出：
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( 14 ) |
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( 15 ) |
可以选择函数来产生期望估计量。可以这么说，函数在应对高斯噪声很有效，但是对于野值，它就是一个受到有界连续影响的函数。有界性保证了某个结果不会对估计有过大的影响，而连续性保证了许多舍入或量化误差不会产生重大影响。因此，对于比较小的值，应该像，但对于的大值，的增长速度要慢一些，以抑制异常值和重尾效应的影响。实际上，这是一个鲁棒需求且对应于Huber评分函数的选择。
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( 16 ) |
这里必须选出给出高斯模型期望效率的值
3 NRUKF的推导
本节将Huber方法扩展到UKF框架内的非线性滤波情况。现在考虑具有离散时间非线性过程和测量函数的动态系统，如下所示：
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( 17 ) |
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( 18 ) |
其中和是非线性过渡函数和观测函数，与第2节相同。
为了将Huber方法推广到非线性滤波情况，一种直观而直接的方法是线性化或统计线性化非线性观测函数，正如[17]–[19]所做的那样。然而，众所周知，线性化方法存在精度低、推导和赋值雅可比/黑森矩阵繁琐等缺点。虽然统计线性化方法可以改善系统的表现，但它仍然是非线性函数的一种近似。所以，希望的出一种不需要非线性测量函数近似的无需求导算法来应用Huber法。
首先，我们将重构（14）和（15）以指出在没有（统计）线性近似的情况下，Huber方法推广到非线性滤波情况的可能性。
将矩阵分解为与状态预测和测量预测残差相对应的两部分和，以便：
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( 19 ) |
其中，表示零矩阵。然后将增益矩阵定义为：
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( 20 ) |
方程（14）和（15）可改写为[20]：
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( 21 ) |
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( 22 ) |
实际上，由于我们不知道真实状态，所以残差且设为零，所以，如此一来，（20）和（22）归结为：
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( 23 ) |
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( 24 ) |
从（23）和（24）可以看出，使用Huber方法推导的矩阵C只影响测量信息（测量噪声）。因此，将重构的测量信息嵌入到无导数的KF框架中，如UKF，就能有效地导出Huber非线性KF。
根据上述分析，可如下推导出NRUKF：
将非线性回归模型构造为：
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( 25 ) |
式中，为状态预测，相关协方差为 为真实状态与其预测之间的误差。将变量定义为：
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( 26 ) |
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( 27 ) |
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( 28 ) |
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( 29 ) |
其中以和来区分第二节的和，可以看出，的协方差是单位矩阵。将上述方程积分为：
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( 30 ) |
将Huber的一般成本函数定义为：
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( 31 ) |
其中是的第i个分量，与（16）的相同。
定义和（31）的最小值：
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( 32 ) |
定义
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( 33 ) |
令，然后使用重构测量信息。重构测量信息有两种方法，一种方法是根据误差的值对残差协方差进行重新加权：给异常观测值分配较小的权重。这是对如（23）所示的线性情况直接扩展。将表示为修正协方差，即:
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( 34 ) |
由于设为零，可以看出，与状态向量对应的和的相位保持不变，即:
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( 35 ) |
将表示为修改后的测量协方差,
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( 36 ) |
以替换，执行(18)的标准UKF测量更新，会导致NRUKF测量值的更新。
重构测量信息的另一种方法是重构“伪观测”：大部分数据观测值不变，而那些太大或太小的值则用截断。当,用替换。将表示为修改后的残差，，与修改相同，用修改后的表示，而且
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( 37 ) |
可以看出，对应状态向量的和形式不变，即：
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( 38 ) |
将表示为修改后的测量值：
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( 39 ) |
将替换为并执行(18)的标准UKF测量更新，也会导致NRUKF测量值的更新。可以证明，这两个结果NRUKF几乎是
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