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第13章布莱克_斯科尔斯-默顿模型
20世纪70年代初，费希尔bull;布莱克(Fisher Black),迈伦bull;斯科尔斯（Myron Scholes)和罗伯特bull;默 顿(Robert Merton)在期权定价领域内取得了重大突破e，他们发展了被称为“布莱克-斯科尔斯”（Black- Scholes)或“布莱克-斯科尔斯-默顿”（Black-Scholes-Mertcm)的模型。该模型对于交易员如何对期权定价 与对冲都产生了重大影响，并且对于近30年来金融工程领域的发展与成功起到决定性的作用。在1997 年迈伦bull;斯科尔斯及罗伯特bull;默顿荣获诺贝尔经济学奖，这充分说明了这一模型的重要性。不幸的是费 希尔bull;布莱克在1995年去世，否则，毫无疑问，他也会成为诺贝尔奖的得主之一。
本章我们将给出布莱克-斯科尔斯模型对无股息股票上欧式看涨期权与看跌期权定价的推导过程， 并且解释如何从历史数据估计或由期权价格中隐含来得出波动率。本章还将说明如何使用在第11章中 引进的风险中性定价方法，以及如何推广布莱克-斯科尔斯模型来处理对支付股息的股票看涨及看跌期 权的定价和一些关于支付股息的股票上美式看涨定价的结果。
13.1股票价格的对数正态分布性质
布莱克、斯科尔斯和默顿用来描述股票价格行为的模型正是我们在第12章中建立的模型。该模型 假设无股息股票在一短时间区间内的百分比变化是正态分布。
定义 ：股票每年的收益率期望；
:股票价格每年的波动率。在t时间段股票收益的均值值是,股票收益的标准差为因此
其中S为股票价格在At时间区间内的变化，W代表期望为；n,标准差为!;的正态分布。 由此可以得出
式中、是在未来时间T时的价格S。是在时间0时的价格。式（13-3)说明lnSr服从正态分布，所以ST 具有对数正态分布。lnSr的均值是lnS。 ，标准差是。
例13-1
考虑一个初始价格为40美元的股票，该股票的 收益率期望为毎年16%,波动率为毎年20%。由 式（13-3)我们知道，股票价格、在6个月时的概率 分布是
一个服从正态分布的变量取值落在与均值的距 离小于1.96倍标准差范围内的概率为95%。这时,标准差
因此在95%的置信度下， 我们有
这可以写成
e3trade;-1-96^141 lt; Sr lt; e3-75^1-96^0141
因此，在6个月后股票价格介于32. 55 ~ 56. 56范围 内的概率为95%。
具有对数正态分布的变量可以取零与无穷大之间的任何值。图13-1显示了对数正态分布的形状。与正态分布不同的是，它呈偏态，因此它的均值(mean)、中位数(median),以及众数（mode)均不相等。 由式（13-3)以及对数正态分布的性质，我们可以证明的期望值为
这与将定义成收益率期望是一致的。的方差可以表示为
例13-2
考虑一只股票，其目前价格是20美元，其期望 收;益率是每年20%,波动率为每年40%。股票在1 年后价格#39;的期望和方差由下面式子给出
一年后股票价格的标准差为，即10.18。
13.2收益率的分布
由股票价格服从对数正态分布的性质出发，我们可以得出0 ~ T之间以连续复利收益率的概率分布。 将0与T之间以连续复利的收益率计为X那么:
= S0exT
当T增大时，x的标准差减小。为了理解这一点，我们可以考虑T=1和T=20两种情形，我们比较相信20年的平均收益估计比1年的平均收益估计更为准确。
例 13-3
考虑某一股票，丼预期收益率为每年17%,波 动率为每年20%，在3年内实现的平均收益（以连续 复利)服从正态分布，均值为：
即每年15%，标准差为
即每年11.55%。因为一个服从正态分布的变量有 95%的机会会落在与其均值距离小于1. 96倍标准方差的范围之内，因此我们有95%的把握肯定，在今后3年内实现的平均收益率介于-7. 6% ~ 37. 6% 之间。
13.3预期收益率
投资者从一只股票中所寻求的收益率期望与股票的风险有关，风险越大，预期收益也会越高。它 还依赖于经济中的利率，利率越高，对所有股票所要求的收益率期望也会越高。幸运的是，我们不需要 关心决定的任何细节。事实上，当利用标的股票价格来表示期权价格时，期权价格与毫不相关。尽 管如此，股票收益率期望的一个性质常常引起混清，因此我们特别解释这个性质。
式（13-1)表示是股票在较短时间段内价格变化百分比的期望值。由此我们可能会很自然地 假设是股票以连续复利的收益率期望。但事实并非如此。在一段长度为T的时间内真正实现的以连续 复利的收益x是由式（13-6)给出的
而且由式（13-7),我们知道期望值 ;
为什么以连续复利的预期收益率不同于的原因并不是那么一目了然，但却十分重要。假定我们考虑很多长度为的很短的时间区间定义为股票在第i个时间区间末的股票价格，定义为Si 1 - Si。当表示成以区间复利时，在所有数据所覆盖的区间上收益的期望接近于,而不是。
业界事例13-1所提供的关于互惠基金的数值例子说明了原因。为了以数学的方式解释原因，我们首先由 式(13-4)开始：
取对数，我们得出
我们可能会认为
并由此得出,
业界事例13-1
互惠基金的收益率可能 会令人误解
与的不同与互 惠基金所报告的收益率关系 密切。假定某互惠基金经理 报告的在过去五年内的年收 益率(以年复利)为15% , 20% , 30%, -20% 及25%。 这些收益的算术平均值等于 以上5个数值的和除以5,即 14%。但是如果一个投资者将 资金投入该互惠基金，并投 资5年，那么其收益率会小于 每年14%。100美元的投资在
下声明就不太会使人误解：“投资者在过去5年将资金投 入我们互惠基金所得收益为： 每年12.4%。”在有些地区，i 监管当局的准则要求基金经 理以第2种形式报告收益率。
以上现象是数学家所熟悉的一个著名结论：一组数； 据(不全部相等)的几何平均值总是小于算术平均值。在 我们的例子中，收益每年的乘数项为 1.15、1.20、1.30、\ 0.8和1.25。这些数字的算术平均为1.140，而它们的几何平均值为1.124。
5年后的价值为
100 x 1. 15 x 1.20 x 1.30 x 0. 80 x 1. 25 = 179. 40美元 而以年复利14%的收益率计 算，相应值将为 100 x 1. 145 = 192. 54美元 在5年后，终端值为179.40 美元所对应的收益率为 12.4%，这是因为 100 x 1. 1245 = 179. 40美元 那么，基金经理应该报告哪 一个收益率呢？基金经理常 常会做出以下声明，“在过去 5年，我平均每年的收益率为 14%。”虽然这一声明没有错, 但它会令人产生误解，而以
13.4波动率
股票的波动率是用于度量股票所提供收益的不定性。股票通常具有介于15%〜50%之间的波 动率。
由式(13-4)可知股票价格的波动率可以被定义为按连续复利时股票在1年内所提供收益率的标 准差。
当很小时，式(13-1)表明近似地等于在时间内股票价格变化百分比的方差。这说
明近似地等于在时间内股票价格变化百分比的标准差。例如，一股票价格为50美元，其波动率 =0.3,即每年30%。对应于每周价格百分比变化的标准差近似地等于
在一周内股票价格有一个标准差的变化为50 xO. 0416,即2. 08美元。
由标准差来描述股票价格变化不定性的增长速度大约为时间展望期长度的平方根(至少在近似意义 下)。例如，一个股票价格在4周内的标准差大约为股票价格在一周内标准差的2倍。
13.4.1由历史数据来估计波动率
为了以实证的方式估计价格的波动率对股票价格的观察通常是在固定区间内。定义：
n 1---观测次数；
Si ----第i个时间区间结束时变量的价格， i=0,1.....n;
- --时间区间的长度 以年为单位。
在计算中选择一个合适的n值并不很容易。一般来讲，数据越多，估计的精确度也会越髙，但c确 实随时间变化，因此过老的历史数据对于预测将来波动率可能不太相干。一个折中的办法是采用最近 90 ~ 180天内每天的收盘价数据。另外一种约定成俗的方法是将n设定为波动率所用于的天数。因此， 如果波动率是用于计算两年期的期权，在计算中我们可以采用最近两年的日收益数据。关于估计波动率 比较复杂的方法涉及GARCH模型，在第21章中我们将对此进行讨论。
标准差每年3.1%。
即1. 216%。假设每年有252个交易日，t = 1/252, 以上数据给出的波动率的估计值为每年 0.012 16 7552 =0. 193,
例13-4
表13-1给出了在21个相继交易日的股票价格序 列。这时
日收益率标准差的估计值为 0.01216
在以上的分析中假定股票不付股息，但这里的分析同样也适用于支付股息的股票。对应于一个包含除息日在内的时间区间，股票的收益率被定义为
其中为D为股息的数量，在其他时间区间内，股票的收益率仍被定义为
但是，由于税收因素会对收益率在除息日附近的计算起一定的作用，所以当我们利用每天或每星期的数 据计算时，也许去掉包含除息日在内的时间区间里的数据是最好的做法。
13.4.2交易曰天数与曰历天数
在计算与使用波动率参数时，一个很重要的问题是我们究竟是应该采用日历天数还是应该采用交易 日天数来度量时间。如业界事例13-2所示，研究结果表明交易所开盘交易时的波动率比关闭时的波动 率要髙很多。因此，在由历史数据来计算波动率时以及计算期权期限时，市场参与者往往会去掉交易所休市的日
业界事例13-2
什么引起波动率
我们可以很自然地假设 市场波动是由刚刚到达市场 的新消息所引起。这呰新消 息会使投资者改变对股票价 值的观点，这会引起股票价 格变化，从而产生市场波动。 但是这种引起市场波动的观 点没有得到研究结果的验证。
应用连续几年中每天的 股票数据，研究人员可以 计算：
bull;在中间不包含砟交易 日时，一个交易日结 束时与下一个交易日
结束时股票价格收益 率的方差。
bull;在周五结束时与下周 一结束时股票价格收 益率的方差。
第2项方差为3天收益率的方 差。第1项方差对应于一天。 我们也许很自然地认为第2项 方差为第1项方差的三倍。 Fama （ 1965 ）、French （ 1980 ） 以及 French 和 Roll （ 1980 ）的 论者证明事实并非如此。三 项研究结果分别证明第2项方 差只分别比第1项方差高 22%、19% 以及 10. 7%。
这时，你也许会说这些 结果的起因是由于在交易开
盘时有更多信息，但是Roll （1984）的研究结果并不支持 这一观点，Roll检测了橙汁期 货的价格：对于橙汁期货价 格而言，最重要的决定因素 是气候，而有关气候的信息 对于任何时间都有同样的可 能性，当Roll做了一个类似 我们刚刚描述的有关股票的 分析，他发现第2项（星期五 至星期一）方差只是第1项的 1.54倍。
唯一合理的结论就是市 场波动在某种程度上是由交 易本身造成的（交易员一般并 不认为这一结论难以接受）。
这也正是在例13-4中利用表12-1的数据来计算波动率时采用的公式。对于股票，我们通常假设每年的 交易日天数为252天。
期权期限通常也是由交易日天数而不是由日历天数来度量，结果用T年来表达，其中
13. 5布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的概念
布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程是每一个与标的资产有关的衍生产品价格必须满足的方程式。我们 将在13. 6节推导这个方程，在这里我们考虑布莱克-斯科尔斯-默顿方法的本质。
这种方法与第11章中利用二叉树来描述股票价格时的无套利方法类似。在定价的过程中需要构造 一个由期权与标的股票所组成的无风险交易组合，在无套利的条件下，这一交易组合的收益率必须为无 风险利率「，由此我们可以得出期权价格必须满足的微分方程。
我们之所以可以建立无风险交易组合的原因是由于股票价格与期权价格均受同一种不定性的影响，
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