英语原文共 12 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
变次数样条基函数的显式表示
摘要
由迭代积分法定义的变次数样条(简称CD-样条)基函数是B-样条基函数的扩展。CD-样条是由不同次数的多项式组成的分段函数。本文我们将给出CD-样条基函数的显示表示,从中可以清楚地看见覆盖的线性空间。我们的方法对于以类似的积分方式给出的其他基函数的显式表示也是可行的。
1.介绍
著名的B-样条有许多优秀的自由形状建模特性，因此它在计算机辅助几何设计中起着重要的作用。每一个B-样条基函数都是一种在自然数为n的结点序列T上定义的样条函数。它是一个分段函数，由在其支撑区间上具有相同次数n的多项式组成。所有的B-样条基函数形成一个B-基，对于T上的多项式样条空间具有最优的保形性质。
变次数样条(简称CD-样条)是一种可变次数的多项式样条。也就是说，它的基函数是一个由可变次数多项式组成的分段函数。为了保形插值的目的，早期研究了非均匀次数的多项式样条。之后对类似B-样条的性质提出了要求，并构造出了一些次数为1,2,3的多次数样条。在产生了一些具有B-样条特性的二次多项式样条基函数。在2010年，产生了一些任意次数多项式的样条，它们是B-样条的扩展。但是它们的基函数不能形成一个B-基。这个缺点激发了CD-样条的产生，它是B-样条的直接扩展。CD-样条基函数具有最佳的保形特性。而且，当我们使用它们来设计由不同次数的多项式分段组成的曲线时，控制点的数量可能会减少[10]。
CD-样条基函数利用迭代积分的方法定义在结点序列T以及阶数序列G。它们不能显式表示，所以这些基函数所覆盖的线性空间并不清楚。这个空间是否有像截尾幂函数的基？如果有，我们如何用这个基来表示CD-样条基函数？类似的问题已被彻底研究作为B-样条理论的重要部分。B-样条基函数可以唯一的表示为截尾幂函数的线性组合。这些表示用来计算曲线/曲面，在不同系统之间转换模型，研究样条函数空间等等。但是对于CD-样条，关于显式表示的这些问题还没有得到解决。在本文中，我们研究它们是为了发展与B-样条相似的理论。
我们首先定义一些截尾多项式函数，其次，不是直接给出，用CD-样条基函数去覆盖同一个线性空间，我们证明了一个函数如果有局部支持区间，并且在这个区间上满足一些连续性条件，那么是唯一的，并且是一个常数。第三，对于每个CD-样条基函数，我们用一个与有关的行列式来获得与CD-样条基函数具有相同支持区间和相同连续性的函数。所以每个CD-样条基函数可以表示为行列式和某个常数的乘积。最后这个常数将从CD-样条基函数的归一化性质中得到。
这种显式表示的方法仅使用CD-样条基函数的一些性质。对于以类似的积分方式定义的许多其他基函数也是适用的。它们是代数三角多项式空间的Bernstein基函数、B-样条基函数、C-Beacute;zier和AT B-样条基函数，双曲多项式空间的AH Beacute;zier和AH B-样条基函数，代数双曲三角多项式空间的AHT Beacute;zier和NUAHT B-样条基函数，omega; Beacute;zier和omega; B-样条基函数以及多次样条基函数。
本文的其余部分分为四个部分。我们在下一节中回顾CD-样条基函数的定义和性质。在第3、4节我们分别给出了简单结点和复杂结点的CD-样条基函数的显示表示。最后一节则是包含的一些结果。
2.回顾
在本节中，我们回顾了CD-样条基函数的定义和一些将用于显式表示的性质[10]。
与B-样条基函数不同，对于CD-样条基函数不仅需要知道结点序列T还需要知道每个结点之间的间隔度。令是一个非递减的实数序列以及为满足以下条件的正整数序列：
，则按照B-样条的定义，T被称之为结点序列，G被称之为T的阶数序列。
对于每一个结点区间，其对应的阶数为。简单起见，阶数为n的区间称之为n-区间。如果，则结点有m重。简单起见m重的结点称之为m-结点。
在本文的其余部分，序列T始终是一个结点序列，序列G始终是满足条件(C)的T的阶数序列，并且
对于，定义在T和G上的函数将通过下列迭代的方法产生。最后得到的函数便是定义在T和G上的CD-样条基函数。
其中
如果，我们则令
事实上，在这种情况下，是Dirac函数。
如果n=0，则任何满足，因此初始函数的定义包含在
式(2)中
命题2.1 CD-样条基函数具有以下B-样条特性
(1) (规范化性质)
(2) (局部支撑性质)
函数支撑在区间，,并且序列递归定义
(3) (基性质)
在每一个区间上，只有函数是非零的，它们是线性
无关的阶多项式。
对于的显式表示，我们还需要其连续性。然而这个性质很复杂，它们与结点的多重性有关。因此，我们将给出简单结点时的性质，然后把它用到多个例子中去。
3. 简单结点情况下的显式表示
从最简单的例子开始，然后过渡到更复杂的例子。我们将重点放在本节的简单结点上。如果T中所有的结点都是简单的，那么在条件(C)下，G是递减的，即对任何，
在这种情况下，考虑每一个在其支撑区间上的结点的连续性。因为每一次积分都会使函数的连续性的阶加1，从(1)很容易得到在的连续性的阶的表达式
其中由下面的式子从迭代得到的
我们将定义在T和G上的CD-样条基函数所覆盖的线性空间记为。在本文中空间被称之为变次数样条空间(简称CDS-空间)。然后我们定义一个的子空间如下：
被称之为局部支撑连续变次数样条子空间(简称LSCCDS-子空间)
3.1 一类截尾函数
截尾幂函数通常用于B-样条基函数的显式表示，它们中的每一个都是由0和幂函数组成的分段函数。幂函数在每一个结点区间上都有相同的阶。
在这里，我们用一些类似于截尾幂函数的函数。它们在结点区间上可能有不同的阶。这些函数记作为，定义如下：
其中是上定义的函数
事实上，当时是在的泰勒展开式。从(6)和(7)可以清楚的看见的性质。
命题3.1
(1)在区间上，当时，每一个都是阶为的多项式
(2)每一个
(3)函数是线性无关的
图1. 简单结点情况下的截尾函数示例
(4)如果，在是阶连续的()，否则连续性阶数大于等于
我们在图1给出了一个函数的例子。结点序列是
相应的阶数序列是
分段函数用实线表示出来。在每个-区间上，是次数为的多项式，。
3.2 LSCCDS-子空间的维数
在这一小节，我们考虑LSCCDS-子空间的维数
引理3.1 对于任意函数，如果每一个右导数
则存在实数使得
证明：因为在是次数小于等于的多项式函数，所以可以表示为
对于实数,带入并计算,由此可以得到因此
根据的定义，我们有，由此可得
从(4)和(5)，我们推断出如下结论：
引理3.2
引理3.3 给定整数，并且，则行列式
证明：假设行列式不等于0，则存在不全为0的个数使得
令，从定理2.1的(1)和(4)我们可以看出，在区间上，Y是一个多项式函数，并且在处其次数小于等于它的连续性的阶。因为，所以，这意味着当时，这与假设相矛盾。所以引理成立。
从上面的几个引理可以得到子空间的维数。
定理3.1 线性空间的维数是1
证明：令是上的任意一个函数，因此我们有
其中
首先考虑在，由引理3.1知存在实数使得
另外，考虑在区间上的函数，根据的连续性知存在实数使得
递推的，我们可以知存在个实数使得
然后考虑函数在处的连续性。我们有，即
因为，所以(8)可以表示为
的维数等价于线性方程组(9)解空间的维数。由引理3.3可以看出(9)的系数矩阵具有满秩，而方程组(9)的自变量个数为，因此解空间的维数是1。因此空间是一个维数为1的线性空间。
从定理3.1的证明可以看出每一个CD-样条基函数可以表示成一些函数的线性组合，因此函数也构成了CDS-空间的一组基。
3.3 最终的表示
在这一小节中，我们将用基来显式表示
根据定理3.1以及的定义，我们有，并且的维数是1.如果我们可以找到一个函数并且一定存在一些实数使得，由此我们可以得到以下定理。
定理3.2 令
则有
其中
以及
证明：根据(10)，可以很容易推断出函数是的线性组合。再根据的性质很容易看出。因此存在系数使得
为了得到，我们利用定理2.1.考虑在区间上的非零的CD-样条基函数，我们可以得到，因此存在下列线性方程组
做和引理3.3一样的证明，我们可以看出(14)的系数矩阵是满秩的，因此方程组有唯一解。利用克拉默法则可以得到
因此，定理得证。
如果我们关注另一个包含结点的区间，我们可能会得到的不同表示。但是因为的线性无关性，它必须等于上述所给定的的表达式。
4.多重结点情况下的显式表示
在本节我们将考虑多重结点的情况。它是先前的一般情况，在这里的一些符号的定义是上一节里的扩充。我们添加一个上划线来表示扩充的符号。
为了看到每一个的连续性，我们先给出以下定义。
定义4.1 设为两个整数，，可以是，可以是，是定义在结点序列T上的非负整数。定义为在结点序列中出现的次数
然后我们可以得到的连续性阶的表达式如下：
其中，由下列的迭代递归得到，
在本节，定义在T和G上的CDS-空间依然称为.定义在上的LSCCDS-子空间则是：
4.1 一类截尾函数
像在3.1节一样，我们定义 如下：
其中是上定义的函数
其中
从(17)式可以看出的次数不仅由决定，还由结点的重数所决定。假设当前的函数是在区间，然后最后一个函数是，因此最后一个非零结点区间是，如果的次数小于等于当前的阶，则当前的函数等于最后一个函数；否则，当前函数等于最后一个函数在的阶的泰勒展开式。
我们在图2中给出一个这样的函数的例子。这里结点序列为
然后相应的阶序列为
图2. 多重结点下的截尾函数示例
我们分别用实线、点、虚线来表示函数，在区间上
在区间上，函数不变，我们有
在区间，我们仍然有
但是等于在处的三阶泰勒展开式。
从我们的定义，我们很容易推断出的下列性质
定理4.1
(1)每个，在区间是一个次数小于等于的多项式(如果)
(2)每个
(3)函数是线性无关的
(4)如果，当时 在的连续性阶等于，否则大于等于
4.2 LSCCDS-子空间的维数
像引理3.1一样，我们有下列引理。
引理4.1 令，对于任何一个函数，如果右导数
对于
全文共15609字，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
资料编号：[14749]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
以上是毕业论文外文翻译，课题毕业论文、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
