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非局域复合物质波孤子的正常模式振荡
摘要：通过变分法（VA）和数值模拟证明了具有非局部相互作用的玻色-爱因斯坦凝聚体中三个孤子的稳定束缚态的存在。来自VA的孤子之间相互作用的可能性显示为分子类型，即长距离吸引和短距离排斥。通过计算靠近其平衡位置的各个孤子的小振幅振荡来研究三孤子分子的正常模式。制备分子的对称和不对称拉伸状态，并将其用作非局部Gross-Pitaevskii方程的数值模拟中的初始条件。与通常的三原子分子相反，我们发现三孤子分子的不对称模式的频率小于对称模式的频率。简要讨论了观察这些结果的可能实验设置。
一、引言
孤子之间的相互作用和它们束缚态的形成一直是非线性波物理学中长期关注的主题。很久以前理论上预测的孤子相互作用的一些特征在现今的实验中得到了证实[1,2]。在色散管理光纤中实验证明了稳定的二和三通络合物，即所谓的孤子分子[3-5]。并且揭示了它们先进光通信的可能性[6]，在这方面取得了显着进展。从基础物理学和实际应用的角度来看，孤子相互作用是重要的。光通信的动机导致在光孤子的早期研究中发现光纤中的孤子相互作用[7]。例如，已知的是，在基于孤子光纤通信线路[8-10]共同传播孤子的相互作用可以降低系统的整体性能。
另一种可以存在孤子的物理介质是稀释原子气体的玻色-爱因斯坦凝聚体（BEC）。许多出版物已经报道了BEC中孤子的实验和理论研究（参见综述文章[11-13]）。大多数论文都致力于单孤子和孤子列车的特性。物质波孤子之间相互作用的证据是从相邻孤子的行为推断出来的，在准一维（准1D）谐波陷阱中振荡[2,14]。在参考文献[15]中已经研究了绝热极限中受外部电位限制的孤子链的集体动力学。在参考文献[16]中研究了双组分BEC中的类似现象。在参考文献[17]中发现了从碰撞中产生物质-波孤子的束缚态的方案。值得注意的是，对BEC中仅两个或三个孤子的相互作用过程的系统研究需要精确的生产和操作技术，这些技术正在开发中[18-20]。
这里要强调的一个重要事实是，在BEC的平均场描述中，就具有通常接触原子相互作用的Gross-Pitaevskii方程（GPE）而言，孤子不能形成具有有限结合能的稳定束缚态。它们之间的相互作用力取决于相位差，可能具有吸引力或排斥性，它们的相互作用潜力不是分子类型。参考文献[21]计算了两个碰撞非线性薛定谔孤子的电位曲线。因此，该模型中的孤子复合物不具有固定的平衡距离，类似于原子分子的键长。在这方面，值得一提的是，通气由两个相等的和同相孤子，周期性地穿过彼此，通过标准的非线性薛定谔方程（NLSE）与调焦三次非线性所预测的，尚未在实验中发现[7]。原因是当两个孤子合并时，高阶非线性现象开始发挥作用，而这些现象并未被标准NLSE捕获。
BEC中具有远程双二极子原子相互作用的情况不同。在定性方面，可以说，在偶极BEC孤子内的原子可以直接与另一孤子内的原子相互作用，使得组合的偶极和孤子通常相依赖的相互作用可能会打开的方式朝向形成真实物质波孤子分子。在几篇论文中，理论上已经预测了在偶极BEC中存在明亮物质-波孤子的稳定束缚态，其中孤子在长距离上相互吸引并在短距离上排斥。具体而言，参考文献[22]和[23]分别报告了准一维和准二维陷阱堆叠中的孤子束缚态。在这些模型中，形成束缚态的各个孤子位于不同的堆叠中。偶极唐克斯-普吉拉多气体中亮孤子和暗孤子对存在在参考文献[24]进行了研究。参考文献[25,26]也报道了准2D和3D偶极BEC中孤子束缚态的数值分析。在参考文献[27]中已经研究了由偶极孤子碰撞引起的孤子束缚态的形成及其融合。在参考文献[28]中研究了双极BEC中的双孤子分子的振动光谱，局限于单个准1D陷阱，而相互作用的潜力，双孤子分子的形成及其结合能在一个在参考文献[29]中通过变分法和数值模拟研究了二维双极BEC。最近在参考文献[30,31]中报道了偶极BEC中的暗孤子，它们通过分子型电势相互作用并能够形成稳定的束缚态。非局部光学介质中的孤子束缚态和团簇也被深入研究（最近的综述，参见书[32]）。一旦形成孤子分子，许多有趣的现象，类似于分子物理学中观察到的那些，可以用它们建模。
我们在本文中的主要目的是研究三能孤子分子的动力学和正常模式振荡，它们可以存在于非局部介质中。为此，我们开发了一种变分方法（VA）[33,34]来找到三孤子分子的静止形状，揭示相互作用势的特征，并估计孤子在其平衡位置附近的小振荡频率。还发现三个孤子分子的VA静态分布与从应用于GPE的自洽（SC）程序[35]获得的数值非常一致。为了探索分子动力学，我们通过对基态波函数施加恒定和不均匀的调频来制备分子的对称和不对称拉伸状态，使用它们作为GPE的初始条件，并记录每个孤子在其时间演变期间的位置，构成我们数值实验的基础。
结果，我们表明，当在适当的坐标中考虑时，GPE动力学简化，显示类似于通常三原子线性分子的正常模式的谐波振荡。然而，与在分子物理学中观察到的相反，我们发现由对称拉伸引起的运动的振荡频率总是大于由三孤子分子的不对称拉伸引起的振荡频率。我们发现静态三孤子分子的VA预测和分子的对称振荡与数值GPE积分非常一致。然而，VA不允许我们对不对称振荡进行预测，因为难以找到适合此情况的试验函数。正常模式振荡也被研究了正弦戈登方程[36]的拓扑孤子束缚态和二元BEC混合物的位移动力学[37]。
本文的结构如下。在第二部分中，我们使用Gauss-Hermite试验函数开发VA用于三孤子分子，并通过将其预测与控制非局部GPE的数值解的结果进行比较来检查其有效性。在第三部分中，我们首先考虑适合激发分子内部模式振荡的变形状态，并将它们用作GPE数值积分的初始条件。然后将结果与VA分析的预测进行比较。在第四部分，我们简要总结了我们的发现，并讨论了我们的结果与其他类型的非局部相互作用的一般性。还简要讨论了可能的实验设置和获得的结果可能有用的研究领域。
二、模型方程与变分分析
我们模型的控制方程是一维非局部Gross-Pitaevskii方程，以标准化单位表示如下：
， （1）
其中是凝析油的平均场波函数，q和g是非线性系数，负责局部接触和远程非局域原子相互作用。波函数归一化为冷凝物中的原子数，这是方程（1）的守恒量。由于非局部相互作用对于孤子分子和分子动力学的存在是必不可少的，我们将主要集中在的情况下，并且最后讨论在接触相互作用的存在下也可以保留结果。我们还注意到，在实验中可以通过费什巴赫的手段来失谐三次非线性为零共振[38]。
方程（1）中的响应函数R（x）表征介质的非局部性程度，其表示给定位置处的属性取决于其邻域的属性有多强。为了便于分析，我们考虑将标准化为1的高斯函数，
（2）
并在最后一节中显示，对于具有代数而不是指数的远距离衰减的长程响应函数，也可以获得类似的结果。方程（2）中的参数表示非局域性的强度。在时，响应函数类似于狄拉克函数。在这种情况下，媒介被称为弱非本地。在大的相反情况下，与激发的腰部相比，介质被称为高度非局部的。对于偶极子BEC的响应函数，局限于准一维陷阱，在参考文献[39]中得出。
对于三孤子束缚态，我们可以采用类似于参考文献[28,29]中开发的变分方法。作为合适的试验函数，我们使用第二高斯-厄米特函数，
， （3）
其中变分参数，，，分别表示幅度，宽度，调频和相位。应该注意，该波形可以通过以反相配置排列的三个高斯函数来建模。当相邻孤子之间的相位差不同于时，三个孤子的稳定束缚态不会出现，正如我们从数值模拟中发现的那样。
试验函数的范数与减少的原子数成比例，是。为了开发VA，我们注意到方程（1）可以从拉格朗日密度获得：
。（4）
使用响应函数（2）和方程式中的拟设（3），我们评估拉格朗日密度（4）。对空间变量的后续积分产生平均拉格朗日量
， （5）
其中，
。 （6）
根据欧拉-拉格朗日方程，对于变分参数，我们得到的下列等式：
。 （7）
该等式与单位质量粒子在非调和势U（a）中执行振荡的运动方程形式类似：
， （8）
如图1的上图所示。处的电位（8）的最小值对应于分子的固定宽度。可以从估计分子的小振幅振荡的频率。应该指出的是，方程（8）给出的孤子之间的相互作用势是一种分子类型;即孤子在长距离相互吸引并在短距离内排斥，因此如果之间的距离孤子倾向于收缩，而则倾向于扩张。在平衡距离处，吸引力和排斥力相互平衡，孤子保持不动。在图1的下图中，我们显示了从方程（7）的固定点发现的静止波轮廓，并将其与从自洽（SC）程序[35]数值获得的精确波轮廓进行比较。适用于GPE（1）。出色的一致性证实了方程（3）中试验函数对我们的分析计算的有效性。
在与中性原子组成的普通分子的键长类比，两个侧向孤子的最大值之间的距离的可孤子分子的特性参数。
为了检查VA的准确性，我们定期调整非局部非线性强度g（t），并将方程（7）的结果与GPE（1）的数值解进行比较。与偶极BEC实验，这样的偶极非线性管理可以通过旋转磁场[40,41]来实现。或者，这可以通过缓慢改变偏振角theta;来实现，因为，其中theta;是准1D陷阱的长轴与偶极子之间的角度。
图1.顶部面板：g=10且q=0，plusmn;1的势能U（a）。插图显示q=0时三孤子分子的波函数。底部面板：模数的平方波函数，根据VA，参数值N=6，w=5，q=0，g=10，A=0.975，a=1.781。虚线表示使用自洽程序构建的驻波分布[35]。两条曲线几乎重合，表明方程（3）代表了良好的试验函数。
图2左侧图：三个孤子分子的稳定传播，其中参数由VA预测。通过GPE（1）的数值解获得密度图。虚线对应于中心和横向孤子的最大值的位置，其中时间相关参数a（t）由等式（7）评估。右图：偶极相互作用强度的周期性变化在共振频率时，会产生振幅增大的横向孤子振动，而中心孤子保持在原点由于对称性。参数值：g0=10，=0.1。其他参数与图1类似。
图3：作为非局部系数的三个值且q=0的范数函数的化学势。曲线根据VA方程（11）和（12）绘制，而符号代表数据，由SC程序[35]获得。显然，更强的非局部相互作用导致更稳定的孤子分子。
图2显示了在不同的非局部相互作用强度下三孤子分子的动力学。从该图中可以看出，VA提供了动态的准确描述。非线性波动方程的局部解的稳定性可以通过Vakhitov Kolokolov（VK）准则[42]来检验。按照通常的程序[34]，我们寻找GPE的平稳解作为，其中表示化学势。与时间无关的GPE采用这种形式
， （9）
相应的拉格朗日密度是
。
执行进一步规范VA程序与拟设
， （10）
并使用响应函数（2），我们得到的化学势和规范下面的表达式：
， （11）
， （12）
具有由等式（6）给出的函数。从图3中描绘的对比度图与，可以看出总是满足条件，这表明根据VK准则，三孤子的稳定性。分子对于系数g的不同值。正如预期的那样，孤子之间更强的吸引力导致分子更稳定。
三、数值结果
为了探索分子三孤子动力学，我们需要准备分子的初始对称和非对称拉伸状态，并将它们用作GPE数值模拟的初始条件。然而，拉伸和释放分子的方式是每个孤子在其平衡位置附近振荡，而分子的质心保持静止（通常由正常模式理论推测），这是一个非常具有挑战性的问题。这就是为什么我们采用另一种方法激发分子的对称和非对称模式，最初以其基态制备。
特别是，为了激发分子的对称模式，当侧翼孤子以反相振荡，而中心孤子不移动时，我们用一个小的调频参数，施加恒定的调频，为了激发对称和非对称模式，我们对施加不均匀的调频，并且对于施加.应该强调的是，不均匀的调频会引起所有孤子的振动，以及整个运动的运动。分子，如图4的右图所示。下面我们使用附着在移动分子上的参考框架。在图5中，我们显示了如上所述激发的三孤子分子的各个孤子的质心位置的时间演变。
由于所得到的分子动力学是不同模式的叠加，因此在实际的质心坐标中不容易识别其周期性特征（参见图5的左下图）。然而，如果引入坐标，则周期运动变得明显
， （13）
其中表示孤子相对于它们的平衡位置的位移。注意，除了常数因子外，这些坐标与通常的线性三原子分子的正常模式坐标相同。显然，当非谐波效应可忽略不计时，该模型对于孤子的小振幅振荡是有效的。
在正常模式坐标（13）中，动态确实看起来是周期性的，并且容易识别对称和非对称模式的频率（参见图5的右图）。
图4：三个孤子分子的对称（左）和对称和不对称（右）模式的激发。通过恒定的线性调频2激发对称模式，其中。对于非对称模式，对于，；对于，。
图5：根据方程（1）的数值解，在参考文献中使用实际（左图）和正常模式坐标（右图）表示的三孤子分子的各个孤子的质心中心位置框架，附着在移动的分子上。在非对称模式（蓝色虚线）中与纯正弦特征的小偏差是由于孤子之间的物质交换。对于参数值，从GPE模拟得
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