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第5章 梁
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- 绪论
梁是支撑横向荷载的结构构件，因此主要受到挠曲或弯曲的影响。如果存在较大的轴向载荷作用，则将构件称为梁柱(在第6章中会学习梁柱)。虽然在任何结构构件中都会存在一定的轴向载荷作用，但在许多实际情况下，这种效应是可以忽略的，构件通常可以作为梁来处理。梁通常被认为是水平方向放置的，并受到垂直荷载作用的影响，但事实并非如此。结构构件如果因为荷载作用而导致弯曲，则此结构构件通常被认为是梁。
梁常用的横截面形状包括W、S和M形状。就像用工字型或方盒形状的板材所建造的横梁一样，通道形状的梁有时也会被使用。为了便于之后的讨论分析，最有效的是双轴对称形状截面，如标准滚动的W、M和S形状。
在AISC规范中横梁的论述范围主要包括两章，分别是第F章的 “弯曲构件的设计”和第G章“剪切构件的设计”，规范中涵盖了几类梁；而在此教材中，我们将在本章讨论最常见的案例，在第10章中，我们会讨论一个特殊的案例，即板梁。
图 5.1
图5.1显示的是两种类型的梁截面，一个热轧的双轴对称工字型和一个焊接的双轴对称工字型。热轧的工字型是最常用的横梁。焊接的形状通常属于归属为板梁的类别。
对于弯曲构件(稍后将介绍剪切)，需要的和可用的强度是力矩。对于荷载和阻力系数设计(LRFD)，方程2.6可写成下式5.1所示：
Mu le;phi;bMn （5.1）
其中：
Mu —所需力矩强度=由ASCE 7控制负载组合所引起的最大力矩
phi;b —弯曲的阻力系数(屈曲) = 0.90
Mn —额定力矩强度
方程5.1的右边是设计强度，有时也称为设计力矩。
对于许用强度设计(ASD)，公式2.7可以写成下式5.1所示：
Ma le; （5.2）
其中：
Ma —所需力矩强度=与ASCE 7控制负载组合对应的最大力矩
Omega;b —弯曲安全系数= 1.67
方程5.2也可以写成下式所示：
Ma le; =0.6Mn
再将两边除以弹性截面模S(下一节将讨论)，我们可以得到允许应力设计的方程：
le;
或者
fb le; Fb
其中：
fb — 最大计算弯曲应力
Fb—容许弯曲应力
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- 弯曲应力和塑性力矩
为了能够确定额定力矩强度Mn的大小，我们必须先检查梁从很小的载荷到临界点的整个载荷范围内的特性。考虑梁如图5.2a所示,这里将弯曲侧作为主轴(工字型, x 轴)。对于线性弹性材料和小变形构件，弯曲应力的分布如下图5.2b所示，应力假设在梁的宽度范围内是均匀分布的 (在5.8节将单独考虑剪切作用)。从基础材料力学出发，可以从弹性公式中找到任何点的应力：
fb = （5.3）
其中：
M— 考虑横截面的弯矩
y—中性面到所求点的垂直距离
Ix—横截面相对于中性轴的转动惯量
图 5.2
对于匀质材料而言，中性轴与中心轴重合。上式5.3是基于从上到下的应变线性分布假设，而这是基于构件在弯曲后横截面仍然是平面的平截面假设。此外，横梁的横截面必须有一个垂直的对称轴，并且载荷必须在包含这个轴的纵向平面上。不满足这些条件的梁我们在5.15节讨论。最大应力发生在构件边缘部分， 此处y取最大值。因此有两个最大值：顶部纤维处的最大压缩应力和底部纤维处的最大拉伸应力。如果中性轴是对称轴，则这两个应力大小相等。对于最大应力，方程5.3采用以下形式表示：
fmax = = = （5.4）
其中：
c—从中性轴到构件边缘处的垂直距离
Sx—横截面的弹性截面模量。对于任何截面形状，截面模量是一个常数。对于不对称截面，Sx将有两个值：一个是顶部的极端纤维，另一个是底部的极端纤维。标准轧制形状的Sx值在说明书的尺寸和规格表中都有所列出。
只要载荷足够小，且材料保持在其线性弹性范围内，上式5.3和5.4均是有效的。对于钢结构而言，这意味着应力fmax不得超过Fy，且弯矩也不得超过下式：
My=Fy Sx
其中：
My— 使梁达到屈服点的弯矩
图 5.3
如上图5.3所示，显示的是一个简支梁的中跨作用有集中荷载，其在加载阶段中的应力分布图像。一旦屈曲开始，应力在横截面上的分布将不再是线性的，而屈服将从极端纤维向中性轴的方向发展。同时，当弯曲力矩到达更多位置时，所产生的屈服区域将从梁的中心向两端纵向延伸。这些屈服区域如图5.3c和d中的黑色区域所示，而在图5.3b中，屈服刚开始，在图5.3c中，屈服已经发展到腹板中心处，在图5.3d中，整个横截面都产生了屈服。从b阶段到d阶段需要的额外力矩是10%到20%的用于W型的屈服矩。当加载到达d阶段时，由于横截面的所有构件都已达到应力-应变曲线的屈服点，并且不受限的塑性流动将发生，所以负载的任何进一步增加都会导致构件坍塌。通常来说，一个塑料铰链一般是在梁的中心形成的，而这个铰链与实际的铰链会在梁的末端形成一个不稳定的构件。在塑性坍塌过程中，塑性铰运作如下图5.4所示。研究坍塌机理的结构分析称为塑性分析。本教材的附录有塑性分析和设计的相关介绍。 图 5.4
塑性矩是塑性铰产生的力矩，我们可以很容易地计算出相应的应力分布。如下图5.5所示，显示的是压缩应力和拉伸应力的分布图像。这些是在塑性中性轴上方和下方的区域，这与弹性中性轴并不一定相同。
图 5.5
从力的平衡来看，存在如下关系：
C=T
Ac Fy= At Fy
Ac= At
其中：
Ac—受压缩的横截面面积
At— 处于张力区域的面积
因此，塑性中性轴将横截面划分为两个相等的区域。对于关于弯曲轴对称的截面，其弹性和塑性中性轴是相同的。塑性弯矩Mp是由两个相等和相反的力形成的抵抗矩，也可以用下式表达：
Mp= Fy（Ac）a = Fy（At）a = Fy a = FyZ
其中：
A—总横截面面积
a—两个半区域的质心之间的距离
Z—塑性截面模量，Z=（）a
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- 稳定性
如果一根梁能在完全的塑料状态下保持稳定，则可将其名义力矩强度作为塑性矩量，即：
Mn= Mp
否则，Mn小于Mp
图 5.6
与受压构件一样，不稳定性可以是总体的，也可以是局部的。整体屈曲如图5.6a所示。当梁弯曲时，压缩区域(中性轴上方)类似于柱，并且类似于柱的弯曲作用，如果构件足够细长，则其将弯曲。然而，与柱不同的是，截面的压缩部分受到张力部分的约束，而向外挠曲(弯曲屈曲)会伴随扭曲(扭转)。这种形式的不稳定性称为横向扭转屈曲(LTB)，横向扭转屈曲可以通过控制支撑梁在足够近的间隔内来防止扭转。这可以通过两种稳定性支撑来实现：如图5.6b所示的横向支撑以及如图5.6c所示的扭转支撑。横向支撑，可防止横向平移，应尽可能靠近压缩法兰；扭转支撑可以直接防止扭转，它可以是节点的，也可以是连续的，它通常采用交叉框架或横膈膜的形式实现。（节点和相关类别详见第4章“压缩构件”中的定义，《AISC规范》附录6中给出了梁支撑的强度和刚度要求，这些规范是根据Yura（2001）的工作制定的。）正如我们所知，力矩的强度部分取决于支撑长度，也就是支撑点之间的距离。
梁是否能保持足够大的力矩使其达到完全塑性状态，也取决于其横截面能否保持完整性。例如，如果横截面的一个压缩构件发生弯曲，则会破坏其完整性。这种类型的屈曲可以是压缩翼缘屈曲，称为翼缘局部屈曲(FLB)，或者是腹板受压部分屈曲，称为腹板局部屈曲(WLB)。正如第4章所讨论的“压缩构件”一样，梁是否会出现局部屈曲，取决于其横截面压缩区域的宽度与厚度的比值。
图 5.7
上图5.7进一步说明了局部屈曲和侧向扭转屈曲的影响。这张图反应的是五个独立的梁的荷载与中点挠度图。梁1的荷载-挠度曲线说明其在第一次屈服之前(见图5.3b)就已经失去了承载力(见图5.3b)，梁2和梁3荷载-挠度曲线说明其可以加载超过梁1的荷载大小，但还不足以形成一个塑料铰链和由此产生的塑性塌陷。如果能达到塑性破坏，荷载-挠度曲线将如曲线4或曲线5所示。曲线4表示在梁的整个长度上分布有均匀力矩的情况，而曲线5表示具有可变弯矩(力矩梯度)的梁。安全设计可通过与这些曲线中的任一个相对应的梁来实现，但曲线1和曲线2表示材料的利用率并不高。
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- 形状分类
AISC将横截面形状分为紧凑、非紧凑、细长，这取决于横截面宽度与厚度的比值。对于工字型，翼缘（未加筋)的比值是bf/2tf ,腹板（加筋)的比值是h/tw 。形状分类详见规范的第B4节 “构件性质”中的表B4.1b(表B4.1a适用于受压构件)。它们可以概括如下：
如果lambda; le; lambda;p ，则表明翼缘连接到腹板，形状是紧凑的；
如果lambda;p le; lambda; le; lambda;r ，则表明形状是非紧凑的；
如果lambda; ＞lambda;r ，则表明形状是细长的。
其中：
lambda;—宽厚比
lambda;p—紧凑型的上限宽厚比
lambda;r—非紧凑型的上限宽厚比
该类别是最差的横截面宽厚比，例如，如果腹板是紧凑的，而翼缘是不紧凑的，那么形状就被归类为非紧凑的。表5.1是从AISC中专门应用于热轧工字型截面的表B4.1b摘录而来。同时，表5.1也适用于其他情况，但翼缘为bf/tf的情况除外。
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