具有相干，部分相干和和非相干的光学多层系统的一般传输矩阵法外文翻译资料

 2021-12-27 10:12

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具有相干，部分相干和和非相干的光学多层系统的一般传输矩阵法

Charalambos C. Katsidis and Dimitrios I. Siapkas

相干薄膜多层膜的光学响应通常用2times;2的菲涅耳系数矩阵表示。这里，通常的传输矩阵被修改为通用形式，通过使用菲涅耳系数的平方的绝对值，以便来表示非相干（厚层）和部分相干（粗糙表面或界面）的反射和透射。这种方法结合了折射率深度剖面模型。其实用性通过离子注入硅形成的各种多层结构来说明，包括利用在厚的非相干薄膜的任意位置的埋置绝缘和导电层或多层中。

1.介绍

对于正入射的光，多层结构的相干光学反射率和透射率容易表示为系统传输矩阵的乘积，该矩阵方法假定多层结构由光学各向同性和均匀平面和平行层组成。系统传输矩阵的原理可以用多层膜结构的复振幅反射与透射系数和来表示。

通常需要分析一个具有多层一维不均匀性材料的系统。将离子注入材料用作多层膜模型应用的示例。特别的，将注入区域划分为一组均匀的平行面采样层来模拟掺杂曲线，折射率的大小在每层内是固定的，但在层与层之间的大小是具有差异的，因此，这代表了一维不均匀性。如果在适当的分散模型结构中选择不同折射率的材料，多层异质结构的建模同样是可以说明的。如果用一般的系统传输矩阵形式来表示相干光的传播，可能会导致计算的反射率光谱和透射率光谱中产生窄（法布里 - 珀罗）振荡。当多层结构中的至少一层足够厚（与入射辐射波长相比）以及透明到可以产生多个相干反射时，这种振荡就会发生。但是由于在实际的测量中可能存在干扰破坏效应，例如厚膜的表面不平行或者受限的分辨率，所以这些窄振荡通常无法观察到。又由于厚层内的相位不相干或者由于测量的分辨率有限，因此应该在模型中允许抑制厚膜振荡形式。信号带宽，是影响相干性的另一个因素（相干长度，)。

在本文中提出了一种通用的矩阵方法，用于替换普通的相干系统传输矩阵，并允许考虑多次相干和非相干反射。在其他地方提出的第一次尝试，通过使用解析表达式来限制单层厚衬底上的薄固体薄膜多层结构，现在已经通过矩阵公式完成并推广到任意连续的相干、非相干、部分相干、吸收、透明、均匀或不均匀的层中。因此，对于分析具有吸收中间非相干层或具有多个非相干层的复杂结构是可行的。通过将相干传输矩阵中的菲涅耳系数替换为平方的绝对值来降低一般矩阵中的干扰，从而实现强度的增加而不是复振幅的增加。用一般矩阵处理不相干性会得到与文献15中基于部分波强度总和的反射和透射率校正公式相同的结果，该公式适用于厚基板一侧任意的固体薄膜多层结构。另外，它具有适用于任意位置的厚层多层结构以及在一定条件下适用于多个非相干层的多层结构的优点。一般矩阵的使用也扩展到了部分相干的情况。在先前的介绍中，传输矩阵可用于合并部分相干性的便利性已经说明。部分相干性，通常是由于粗糙表面或界面的存在而产生的，会影响需要乘以修正系数的菲涅耳系数。这些修正因子代表了反射光束和透射光束中由于不规则的高斯分布而引起的相位差。最后，阐述了相干性、部分相干性和非相干性的应用的原理，从而验证了一般矩阵法在计算任意连续的薄而厚的导体或者具有粗糙表面和界面的绝缘层的反射和透射率的可能性。

2.矩阵方法

A.背景

结果表明在膜两侧上的电场矢量E的切向分量的关系是线性的,因此可以方便地处理矩阵方程。图1所示的多层结构由折射率复杂的层构成，含有界面。图1中场强的下标表示介质;上标 和-分别表示右行波和左行波。数字用于表示界面右侧的波。电矢量上标 和-的使用是矢量源对切向电场Et在层内任何位置的描述，即两个平面波在相反方向上穿过介质的叠加（）。

图1 任意多层膜内电场振幅的符号。下标表示媒体、 和-符号分别区分左行波和右行波，而引号用于表示界面右侧的波。

每层中的电场振幅依次由2times;2矩阵的乘积表示。界面的每一面（例如）由相应的动力学矩阵表示，而每层的影响和作用则由其传播矩阵表示。界面左侧的场振幅（例如图1中界面的和）与右侧相应的场振幅相关。

(1)

传输矩阵（界面折射或透射矩阵，）的乘积是一个2times;2矩阵。而当用菲涅耳反射系数和透射系数来表示的时候，无论是S波还是P波，它都具有相同的形式。第（m-1）层左侧和右侧的场幅度与层的传输矩阵相关。

(2)

式中，是大部分第（m-1）层对光施加的一次横向相位厚度，和则分别是折射率和层的厚度。对层和界面重复上述转换可得到一个由个2 x 2矩阵（一个折射矩阵和n层传递矩阵）的乘积构成的矩阵。

(3)

由上述过程得到的乘积矩阵也是2times;2矩阵，称为系统传输矩阵

B.一般矩阵方法：方法描述

1.折射矩阵的广义形式

根据系统传递矩阵元素，给出了多层膜的相关系数（直接根据其定义）。

(4)

(5)

(6)

(7)

从中分别获得前后反射率，和透射率，，它们分别是复矢量，和，大小的平方，

因为方程(4)-(7)将元素与反射矢量和透射矢量联系了起来，所以T矩阵可以写为

(8)

在这个矩阵中，通常无法统一。通过将多层膜的反射和传输复矢量减少到相应的单个界面的菲涅耳系数，将上述矩阵的应用从多层膜直接扩展到界面。

(9)

对于非吸收性介质，斯托克斯关系代表理想的可逆性原理，。从而广义形式降为普通折射矩阵。具有形式的折射矩阵表示斯托克斯关系似乎是关于界面光学响应非理想的假设（非理想的界面，例如粗糙的界面）或者只是表示吸收介质的情况。而由理想界面分隔的媒介，斯托克斯关系采用更为通用的形式，该形式包含了具有不同于整体矩阵形式的相位共轭（），其允许方程（9）中矩阵行列式不统一。

2.部分相干的介绍

我们可以通过修改各个界面的菲涅耳系数来引入宏观表面或界面粗糙度产生的部分相干。修正项代表了由高度和均方根高度的不规则高斯分布引起的反射光束和透射光束的相位差。第个粗糙界面的修正系数（对应粗糙表面）是

(10a)

(10b)

(10c)

(10d)

上标（0）表示光滑界面菲涅耳系数以及。在处理相关粗糙度的时候，应该考虑到使用修正系数是一种标量处理的方法。

3.非相干性介绍：一般强度矩阵

完全不相干，通常是由来自厚基板侧面的光束反射造成的，与部分不相干的光束相比，处理方式更类似于相干反射。不需要修改公式（10）中的形式，而是使用r、rrsquo;、t以及trsquo;矢量振幅的平方来代替。如图1所示，由N层和N 1界面组成的多层结构中的第m层为非相干层。计算分两步进行，首先计算两个相干多层膜的系统传输矩阵（将其简化为两个边界为非相干层的有效界面）。从传输矩阵出发，对这两个多层膜系统的复振幅反射和传输系数进行了计算，当这些系数被它们的平方振幅替换时，修改后的矩阵变成

(11)

(12)

并且直接得到两个相干多层膜的反射和透射比，而不是它们的复振幅反射和透射系数。然后将这些修正矩阵（强度矩阵）与第M层非相干层的修正传播矩阵相乘：

(13)

生成系统强度传输矩阵：

(14)

其中是非相干层的强度传播矩阵（其元素是各自矩阵元素的振幅平方），并降到透明层的单位矩阵。这样，我们就不需要求出非相干层各界面所反射的场振幅之和，而是求出完全非相干层所施加的场强之和。当公式（14）中,时，一般矩阵减小到相干强度矩阵，就需要把多层结构视为相干结构，并且公式表达的是反射率和透射率而不是它们的复振幅。当时，则是遇到了有限的非相干后基板。而代表中间存在厚的非相干层。系统的反射率和透射率由非相干传输矩阵的元素表示为

(15)

(16)

其中当介质0和N 1的折射率相等并且对应于插入和测量样品的介质时（通常是空气），方程（15）和（16）实际上是复振幅的无限艾里几何级数的和。有限衬底的相干响应由一般传输矩阵表示。当矩阵被正确拆分时，就会得到复振幅之和，(正如处理非相干时对一般强度矩阵所做的那样)。

(17)

系统的复振幅反射和传输系数由相干一般传递矩阵的元素表示为

(18)

(19)

如预期的那样，方程（18）和（19）表示场振幅几何级数的总和。当反射系数和透射系数在等式的右侧部分时。在方程（18）和（19）中把其替换为它们的平方绝对值，方程（15）和（16）是对应于不使用强度矩阵的非相干处理而得到的（该方法可以在参考文献14中得到验证，其适用于任意的固体多层薄膜单层厚衬底的一侧）。从方程式（15）和（16）可以看出在多色光源的光谱窗口上采用相干反射或透射率的积分进行光谱平均的结果。

系统的复振幅反射和透射系数由相干传输矩阵的元素给出。等式（18）和（19）表示场振幅的几何级数的总和，和预想中的一样，当反射和透射系数在等式（18)和(19)的右半部分用它们的绝对值平方代替的时候，根据参考文献中遵循的方法，在不使用强度矩阵的情况下获得对应于不相干处理的图15和16（该方法如图14所示，适合于在单个厚基板上的任意薄的固态膜多层薄膜结构）。 方程式（15）和（16）可以看作是在多色光源的光谱窗口上采用相干反射或透射率的积分进行光谱平均的结果。

在两种情况下分解矩阵，方程(14)和(17)]能够表示厚基板内的多次反射，以及与文献中关于基板上的薄膜的艾里求和公式相比较.虽然矩阵的方法可能无法直接显示在薄膜系统内部进行的多次反射，与总和公式相比，它相对简单，对于艾里求和公式来说，即使对于基板上的少量层，它们在分析上也变得十分复杂。

通用强度矩阵的优点在于其可以非常容易地应用于多层薄膜结构的任意具有非相干层的位置。 具有多于一个非相干层的多层结构的问题也可以使用类似法布里-珀罗谐振器或分束器的情况处理。举个例子，我们可以考虑在具有N层的薄膜结构下：介质0（半无限）/从第一层到第（m-1）层/第m层的相干层从第（m 1）层到第（j-1）层/第j层非相干/相干层来自 （j 1）到第N层/中N 1（半无限）。 然后，该系统的强度传递矩阵为

(20)

在将多层分组成相干或部分相干堆并且形成相应的组的强度矩阵之前，每个层在计算算法中用传递矩阵来定义。 （可从方程（1）,（2）和（10）中得到）

当层是相干的时，因子变得等于统一（，而在具有粗糙面的层的情况下，因子引入部分相干（，，，，）。

图2 粗糙表面或界面（）的影响。

在每个层的相位参数公式中出现的折射率和厚度也都应该在算法中进行定义。图2中的结构示出了（）粗糙表面或界面的影响。在厚300mu;m的Si衬底上计算了2mu;m厚的层的两组反射光谱，因此需要在通用矩阵中引入部分相干性。假设衬底是有限非相干的，那么就计算具有高反射率的光谱组，而对于低反射率的光谱组，应使用半无限衬底来近似，而对应于表面和界面处没有粗糙度的光谱，则用两组点状灰色曲线显示。在两组中引入表面粗糙点线曲线导致干涉条纹图案中对比度下降，但其主要变化是在高频的境况下降低了反射率。

(21)

当在表面实曲线中而不是在表面中引入1000粗糙度时，其变化是完全不同的并且容易区分的：界面粗糙度的影响随波数增加，而不是降低平均反射率，它会导致干涉条纹图案中对比度更加严重的降低。当表面和界面都显示出相同数量的粗糙度虚线曲线时，它们的特征组合，即平均水平的降低和对比度的降低是显而易见的。然而，当Si衬底是有限且不相干时，观察到的两组光谱之间的反射率差异是由于反射率大平均大小引起的。该等式可通过在800cm-1附近的强晶格吸收区域消除了这种高度，其中光被阻止到达衬底Si-揳界面的背面这一现象来阐释。

图3 堆的光谱与图2的光谱进行比较，所述光谱对应于半无限Si基板上的2m 层1000的粗糙界面厚曲线和薄固体曲线。

在图3中，图2的光谱对应于半无限衬底上的2m厚的层，其表现出在1000粗糙界面，将其分别与没有粗糙度薄和厚实曲线计算的堆的光谱相比较 。可以看出，粗糙界面的结构的反射率接近在高波数下堆的反射率。粗糙表面（） 的影响也在虚线和虚线对比的灰色曲线中有所表现。表面粗糙度的堆实际上是具有理想界面和1000表面粗糙度的结构的相应条纹图案的平均值。图3证明了图2中基板上薄膜所的特性。界面粗糙度破坏了干涉，保持平均反射率达到较大水平，而表面粗糙度降低了平均反射率，因此它可以防止光以更大波数进入样本。

在图3的反射率光谱的晶格振动区域中（cm-1，cm-1，，），在790和870cm-1的波长范围内，膜变得不透明并且其光谱与块体的光谱重叠。无论是粗糙还是光滑的表面都不能提高反射率，并且在进行不同尺度的绘图之后，这个区域中只能表现出表面粗糙度的存在。

利用图4的计算光谱说明了厚层（相干或非相干）的影响。通用系统转移矩阵用于计算（空气---）结构的反射率。通过氧离子注入或晶片键合成的Si埋入无定形的结构是具有重要的技术意义的。 假设顶部Si层是均匀掺杂的，并且具有2.5times;1020cm-3的自由载流子体积浓度和0.08mu;m的厚度。 埋入的绝缘层厚1.6mu;m，

资料编号：[3407]

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