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直齿圆柱齿轮动力学仿真及故障增长估计
摘要：
本文研究了齿形裂纹对直齿圆柱齿轮减速器振动响应的影响。齿轮系统的总啮合刚度会反映齿裂纹的增长。采用集中参数模型对这对啮合齿轮的振动响应进行了仿真。在文献中用一些统计指标来反映牙齿裂纹引起的振动响应的变化。比较这些指标的性能，指出他们的优点和缺点。
1.引言
变速箱是工业机械、汽车应用和日常生活中最重要的机制之一。它们被广泛用于传输功率和产生高转速变化和/或改变运动方向。由于其在现代技术中的应用越来越广泛，齿轮箱的健康监测和早期故障检测成为了深入研究和研究的课题[1]。
直齿圆柱齿轮动态模型的研究已经有进行大量的研究。Kasuba和Evans[2]用数字化的方法对齿轮啮合刚度的计算。Yang 和Lin[3]使用名为势能法的方法去表示一对啮合齿轮的总啮合刚度，刚度与齿轮的转角有关。考虑到剪切网刚度，他们的模型被Tian[4]进一步完善。Bartelmus[5]将数学建模和计算机模拟应用于变速箱动态检测。扭转和横向振动都包含在他的一阶直齿轮变速箱系统的研究中。在参考文献中还给出了包含摩擦力的八自由度模型。[5]。最近tammigana等人[6]，Vedmar和Anderson [7]，Kartik和Houser [8]，伊兰克斯和ajmi[9]以及他[10]等人报道了更为复杂的直齿圆柱齿轮和斜齿轮的动态模型，包括不同程度的自由度、各种传动因素如齿轮传动误差，以及各种非线性因素如变啮合刚度、啮合阻尼和齿轮几何误差。这些模型更真实地反映了啮合齿轮的动态特性。然而他们没有考虑机械损伤对系统动态响应的影响。
这些不同的齿轮动力学模型可以为故障检测提供有用的信息。基于振动的时域、频域和时频域分析是旋转机械故障检测的有力工具。有一种传统的技术是基于振动信号的统计测量。最简单的指标包括峰值、均方根( RMS)和峰因子(CF)。峰度是一种应用广泛的高阶统计量，其已成功地应用于轴承状态监测[11]。故障增长参数（FGP）及其修订版FGP1是另外两个新提出的指标，已被证明为跟踪齿轮齿裂纹(或飞溅)的发展提供了明确的方法[12]。
本文的研究范围仅限于直齿圆柱齿轮副。本文报道了Wu[13]所提出的结果，并在Wu 和Zuo[14]的论文中报告了本文的一个更简单的版本。利用计算机模拟研究齿形裂纹对直齿圆柱齿轮减速器振动响应的影响。将一定尺寸范围内的齿根裂纹引入到一个小齿轮齿中，并模拟了相应的振动响应。应用不同的统计指标检测牙齿损伤程度，研究这些指标的性能。由于我们关注的是裂纹对啮合齿轮振动响应的影响，我们忽略了齿轮制造误差、齿轮之间的摩擦以及其他诸如齿隙等实际现象的影响，例如反弹。
2.齿裂时齿轮啮合刚度的建模
本研究所描述的齿轮啮合刚度模型是基于Yang和Lin [3] 在1987中所做的工作，他们用势能法分析了有效网格刚度。在齿轮系统存储的总势能被认为包括三部分：电磁能量，弯曲能量，和轴向压缩能量。该模型于2004由Tian[4]提出，并考虑了剪切能的影响。所以对于单齿啮合啮合时间，总有效啮合刚度可以表示为[4]
（1）
其中kh，kb，ks和ka分别表示赫兹、弯曲、剪切、轴向压缩刚度。对于双齿啮合时间，总有效啮合刚度是两副的刚度之和，具体表现为[4]
（2）
其中i＝1表示第一对啮合齿，i＝2代表第二对啮合齿。这两个方程的推导是在Tian[4]中给出的。文中给出了当齿轮没有裂纹时两个方程组各分量的计算。[3,4,15]，在参考文献。[15]是参考文献的一个较短的版本。[4]。本文稍后将给出这些构件在裂纹出现时的表达式。
对于表1给出的典型齿轮参数，我们编写了简单的MATLAB程序，得到的总有效啮合刚度的数值作为齿轮转角的函数。在齿轮的一个轴周期内的总有效啮合刚度绘制在图1中。图1表示当齿轮完整（即无裂纹）时这对齿轮的总啮合刚度。
关于齿轮裂纹发展的讨论。参考文献[16 - 19]认为裂纹是在齿轮的单齿的根部形成的。齿根裂纹通常出现于材料中最大应力点处。在文献[20]中，应用线弹性断裂力学原理建立齿轮齿根裂纹扩展的计算模型。根据计算结果，裂纹扩展路径显示出一条从齿根延伸的轻微曲线，如图2的左侧图所示[20]。Lewicki [21]还指出裂纹扩展路径是连续平滑的，并且在大多数情况下，只有轻微的弯曲而直。他也研究了轮辋和腹板厚度对裂纹扩展路径的影响，发现存在不同的裂纹扩展路径。
表1 齿轮和小齿轮的主要参数
图1 当齿轮处于完整状态时，在一个轴周期内，总有效啮合刚度kt与齿轮的角位移y1
图2 假设裂纹扩展路径
本文根据文献20中的结果，进一步简化了裂纹模型。我们将认为裂纹路径是一条直线，如图2右侧所示。接着如图2所示，裂纹从小齿轮的根部开始。然后参考图3 - 6，将裂纹和中心线之间的交叉角u设置为常数45。裂纹长度q1从零开始以Delta;q1=0.1毫米的增量增加直至裂纹达到齿的中心线。在这一点上，q1达到最大值3.9毫米。
图3. 例1的裂纹模型
之后裂纹将方向转变为q2（见图5），假设它与齿的中心线正好对称。从理论上来讲，q2的最大长度应该和q1一样长。
图4. 例2的裂纹模型
然而在裂纹贯穿整个牙齿之前，牙齿可能会遭受突然的断裂。因此，Q2的最大长度为q1最大长度的60% ，并且增量Delta;q2大小也是0.1毫米。在之后的裂纹扩展，我们将使用一个相对长度作为参考。全穿透裂纹的理论的总长度最高为3.9 60% * 3.9 = 24毫米，或80%（= 24 / 7.8）。
图5. 例3的裂纹模型
图6. 例4的裂纹模型
根据上述的裂纹描述，我们需要计算的总啮合刚度的所有成分，即赫兹刚度、轴向刚度、弯曲刚度、剪切刚度。根据参考文献[15]中记录，当裂纹出现时，赫兹和轴向压缩刚度保持不变，但弯曲和剪切刚度会由于裂纹的外观变化，并在以下四种情况下提供了它们的推导。
例1 Tian[4]: 当并且时，alpha;=90°-（压力角）
通过计算啮合齿轮的势能，可以计算出啮合齿轮的势能
（3） （4）
其中Ix和Ax分别表示区域的转动惯量和距齿根的距离为x的截面面积，G代表剪切模量。他们可以通过以下方式获得
（5）
（6）
（7）
其中，hx表示齿形曲线的点到齿的中心线之间的距离，到齿形根部的水平距离为x。
（8）
裂纹齿的剪切啮合刚度为
（9）
例2 Tian[4]: 当或并且时
裂纹齿的弯曲啮合刚度为
（10）
并且裂纹齿的剪切啮合刚度为
（11）
例3 : 当或并且时
本案未在于参考文献[4]中。裂纹齿的弯曲啮合刚度为
（12）
并且裂纹齿的剪切啮合刚度为
（13）
例4 : 当并且时
这种情况下没有出现在文献[4]中。我们发现裂纹齿的弯曲啮合刚度是
（14）
表2不同裂纹长度的样本
图7. 不同裂纹水平下的总啮合刚度：（a）例1：q1=1.4mm，（a）例1：q1=3.1mm，（a）例1：q1=3.9mm，q2=1.1mm，（a）例1：q1=3.9mm，q2=2.4mm。
并且裂纹齿的剪切啮合刚度为
（15）
根据所给出的总啮合刚度的表达式，可以求出给定的各轴转角和各裂纹尺寸下的总啮合刚度值。对于一对标准渐开线钢直齿圆柱齿轮，主要参数见表1，以表2给出的四个具体裂纹尺寸为例。这些选定的裂纹大小涵盖上述四种情况下的分类。计算四种裂纹尺寸下的总啮合刚度随轴转角的函数，并绘制在图7中。从图7可以看出，随着裂纹尺寸的增大，裂纹啮合时的总啮合刚度要低得多。这是故障检测和评估的重要信息。
3.齿轮箱振动响应的动态仿真
我们采用Bartelmus[5]在2001年度报告的扭转和横向振动的数学模型。图8给出了单级变速箱系统的模型。它是一个具有扭转和横向振动的双参数（刚度和阻尼）模型，这意味着它既包括系统运动的线性方程，也包括系统的转动方程。这个模型表示了一个六自由度的系统，它由电动机力矩M1驱动，并带有外部力矩M2。该模型简单，可以集中讨论裂纹扩展对振动响应的影响。
图8. 单级变速箱系统[5]
因此，在本文中我们假设所有齿轮都是理想几何形状的刚体。为了简单起见，这里忽略了内齿摩擦。本研究采用以下符号：
- Fk=Fc: 刚/阻尼齿间力
- Fu=F uc: 输入轴承内部刚度/阻尼力
- Fl =Flc: 输出轴承内部刚度/阻尼力
- Mpk=Mpc: 输入联轴器刚度/阻尼力矩
- Mgk=Mgc: 输出联轴器刚度/阻尼力矩
- kt: 总啮合刚度
- ct: 啮合阻尼系数
- Im=Ib: 电机/负载质量惯性矩
- I1=I2: 小齿轮/齿轮质量转动惯量
- M1: 电机输入转矩
- M2: 负载输出转矩
- m1=m2: 小齿轮/齿轮的质量
- Rb1=Rb2: 小齿轮/齿轮基圆半径
- RO1=RO2: 齿轮/齿轮外圆半径
- kp=kg: 输入/输出挠性联轴器扭转刚度
- cp=cg: 输入输出柔性联轴器阻尼系数
- k1=k2: 输入/输出轴承的垂直径向刚度
- c1=c2: 输入/输出轴承的垂直径向粘滞阻尼系数
- y1=y2: 小齿轮/齿轮沿y方向的直线位移
- ym=yb: 电机/负载角位移
- y1=y2: 齿轮/齿轮的角位移
由于忽略了摩擦力，x方向的振动是自由响应的，并由于固有阻尼而消失。在本文中我们只关注y方向的运动。基于Barte[5]小齿轮和齿轮的垂直运动(y方向)方程为
（16）
小齿轮和齿轮的旋转运动方程如下：
（17）
电机和负载的旋转运动方程如下：
（18）
力和力矩的值由
（19）
（20）
（21）
根据所建立的模型，下一步是使用这些方程组进行计算机模拟，当齿轮是新的或裂纹不同程度的情况。考虑到裂纹尺寸对总啮合刚度的影响，我们进一步假设垂直径向刚度的输入轴承K1和输出轴承K2是相等的，不变的，为K2=K1=KR；阻尼系数的输入轴承C1和该输出轴承C2等于一个恒定的Cr；输入柔性联轴器P1和输出柔性联轴器P2的扭转刚度，等于一个常数Kc；输入柔性联轴器Cp和输出柔性联轴器Cg的阻尼系数，等于Cc。另外，啮合阻尼系数CT被设置成正比于总啮合刚度KT，即：
（22）
其中mu;是以秒为单位的标度常数，其数值被选择为3.99*10^6（s）。此外变速箱系统的其他参数列于表3。利用Matlab的ODE15s函数，求得理想齿轮齿和裂纹齿轮齿的变形曲线。
如前所述，裂纹长度从零增长，增量尺寸为0.1mm。此增量裂纹大小表示为理论贯穿齿裂纹大小的百分比，并且大约是1%（=0.1mm/7.8mm）。由于在裂纹发展到完整长度之前，齿轮齿可能遭受突然断裂，因此假定最大裂纹水平为80%。图9示出了当裂纹分别为0%、2%、6%、18%和28%时啮合齿轮的动态响应。图10提供了当裂纹等级分别为42%、53%、71%和78%时的动态响应。
在图9中，故障影响对视觉观察并不十分明显，与完美的齿轮振动信号（0%裂纹）相比，信号看起来非常相似。低于30%的裂纹级产生的振动信号看起来都非常相似。如图10所示，齿根裂纹超过40%会引起齿轮振动信号的明显变化。随着裂纹的增加，在时域信号中裂纹齿会产生的明显的周期性脉冲，这可以作为诊断信息。
表3齿轮箱系统的主要参数[4]
图9. 不
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