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一种基于灰色Verhulst模型和BP神经网络的混合灰色神经网络用于时间序列预测
摘要—BP的优缺点
分析了神经网络和灰色Verhulst模型对时间序列预测的影响，提出了一种新的S型或生长型时间序列增长时间序列预测模型。从数据拟合的角度出发，在灰色Verhulst模型和BP神经网络的基础上，建立了灰色Verhulst神经网络模型。首先，Verhulst模型是 将其映射到BP神经网络，建立了灰色Verhulst模型参数与BP网络权重的对应关系。然后，利用BP算法对BP神经网络进行训练。 当BP网络收敛时，可以提取最优权值，得到最优的灰色Verhulst神经网络模型。实验结果表明，该模型是 该方法具有精度高、样本量少、计算简单等优点，充分利用了灰色系统模型与BP神经网络模型的相似性和互补性。 L型网络解决了分别应用灰色模型和神经网络的缺点。结果表明，灰色Verhulst神经网络是一种可行、有效的S型曲线增长时间序列建模方法。
关键词：离子的时间序列预测，BP神经网络，灰色Verhulst模型，灰色神经网络，灰色Verhulst神经网络
1、介绍
时间序列预测是指根据从过去数据点和当前数据点获得的信息预测系统未来值的过程[1]。目前，有 时间序列预测的方法，从传统的统计方法，如ARMA（自回归滑动平均）模型到人工智能的方法，这些模型的核心是建立预测模型[2]。基于神经网络(NN)的模型作为一种基于人工智能的方法得到了广泛的应用，反向传播(BP)是目前应用最广泛的模型参数更新技术。BP神经网络是目前应用最广泛的神经网络。它具有独特的逼近能力和简单的结构，是一种性能良好的神经网络。BP学习过程在小的迭代步骤中工作，并且网络基于其突触权重的当前状态产生输出（最初，输出将是随机的）。将该输出与已知良好的输出进行比较，并计算均方误差信号。然后，错误值通过网络向后传播，并对每个层中的权重进行小的更改。计算权重变化是为了减少所述情况下的误差信号。对于每个示例案例，都会重复整个过程，然后再返回到第一个案例，依此类推。然而，不仅统计模型不像基于神经网络的非线性问题方法那样精确，而且它们可能过于复杂，无法用于预测时间序列的未来值。对bp模型的一个主要批评是它需要大量的训练数据[3]，其应用主要受到收敛速度慢和训练时间过长(Prim)的限制。 对大初始样品进行不适当的样品预处理的结果主要是不适当的。另一方面，隐层神经元数目的选取也是一个重要而棘手的问题，因为它影响了神经网络的整体性能。但是，目前还没有明确的理论来解决这一问题。
作为神经网络，大量的数据可以用来提供信息，但也增加了处理这些数据的难度[3 ]。灰色系统理论是邓聚龙于20世纪80年代初首次提出的跨学科科学领域。在信息研究领域，深浅颜色分别代表着清晰或模糊的信息。同时，黑色表示研究者对系统的结构、参数和特征一无所知，而白色则表示信息是完全清晰的。黑白之间的颜色表示不清楚的系统，如社会、经济或天气系统。灰色理论所涵盖的领域包括系统分析、数据处理、建模、预测、决策和控制。灰色理论主要是研究贫乏的，不完整或不确定信息的系统分析。由于灰色系统模型需要的原始数据少，计算过程简单，预测精度高，因此在时间序列预测中得到了广泛的应用。 在这些研究和其他研究中，基于灰色系统理论的方法在应用于实时系统时可以获得良好的性能特性，因为灰色预测器可以根据新的参数来调整它们的参数从而新产出可供使用。因为这个原因，与传统方法相比，灰色预测器对处理噪声和缺乏建模信息更稳健[1，4]。灰色预测模型是灰色系统理论[5]的重要组成部分，灰色Verhulst模型是灰色系统中的一种特殊模型。灰色Verhulst模型[6-10]被用来对原始序列生长呈S型或饱和生长进行了预测。然而，传统的灰色模型[11-13]存在许多缺陷。首先，传统模型需要面对背景值的合理选择[13]。另一方面，为了得到预测模型，在该模型中，将灰色差分方程中的参数替换为灰色微分方程[14]。 传统的灰色建模中，差分方程到微分方程的跳变误差是不可避免的。
在实际预测中，同一问题可以有许多不同的预测方法。考虑到许多近似方法，工程师很难为所研究的问题选择最合适的方法[15]。另一方面，在实际应用中，由于时间序列具有不规则性、混沌性和非线性特性，很难建立理想的预测模型系统[2]。因此，将不同的预测方法结合起来，可以更好地发挥不同模型的优势，获得更好的预测精度，具有十分重要的意义。随着灰色系统理论和BP神经网络在预测领域的应用，时间序列预测技术得到了长足的发展。灰色预测模型对一般模型具有很强的融合能力和渗透性，可以与其他模型相结合，提高预测精度。因此，对灰色模型与其他模型的组合进行了分析研究，建立了组合预测模型[16-20]。
基于“混合专家”的方法,一些研究人员根据GM(1，1)和NN的互补优点，将两者结合起来进行预测。一般来说，将GM(1，1)和神经网络结合的方法可分为以下四类[16，21]：简单的组合，连续的组合，利用神经网络强化灰色系统，借助灰色系统建立神经网络。文[12]和[22]建立了GM(1，1)模型和神经网络相结合的灰色神经网络。灰色神经网络是一种创新的智能计算方法，它充分利用了灰色系统模型与BP神经网络的相似性与互补性来解决单独应用灰色系统模型与BP神经网络的缺点[21]。然而，当时间序列呈S型曲线的级数增加，或时间序列的增量处于饱和阶段[23]时，这种方法进行预测的结果不完美。其中一个主要原因是基于GM(1，1)模型建立了这类灰色神经网络模型的结构，因此存在GM(1，1)模型的缺陷。GM(1，1)的本质是一个模型拟合，如Aate指数函数，要求原始数据具有近似指数增量特性。在这种情况下，灰色神经网络模型的时间序列预测误差会越来越大，在现实中是无法接受的。为了解决这一问题和扩大灰色神经网络模型的应用范围，本文提出了一种将灰色Verhulst模型与BP神经网络相结合的混合灰色神经网络。基于灰色VerHulst模型和BP神经网络的新的灰色神经网络集成了不同模型的优点,利用它对于S型曲线的时间序列增加是理想的。
本文的其余部分按以下方式组织。第二节介绍了灰色Verhulst模型。第三节分析了灰色Verhulst模型进行时间序列预测离子的缺点，本节建立了一种新的基于灰色Verhulst模型和BP神经网络的灰色神经网络的混合灰色神经网络在时间序列预测中的应用。第四节给出了实验结果和讨论。最后，在第五节中得出结论。
2、灰色Verhulst模型
灰色Verhulst模型是灰色系统中一种特殊的模型。它被广泛应用于解释种群增长、生物繁殖和个体生长的现象。灰色Verhulst模型也是一个时间序列预测模型，其构造过程描述如下[23]：
- 非负原始序列表示为:
（1）
- 对原始非负序列进行累加生成运算（Ago）〔1〕，定义为：
（2）
其中，。
- 对构造一阶微分方程从而建立灰色Verhulst模型。
（3）
可用最小二乘法求出方程（3）的解，即：
（4）
其中，
应用累减生成操作(IAGO)[4]，得到灰色Verhulst模型的拟合和预测值为：
（5）
式(4)和式(5)由原始数据构造的序列，我们称之为模型为X(0)-Verhulst模型。
在实际应用中，如果原始数据序列呈S型曲线的增加，我们也可以用“X(1)”直接构造Verhulst方程。Verhulst模型相对适用于描述S型曲线上单调变化过程的增加，或非负原始序列的增量处于饱和阶段。
3、基于灰色Verhulst模型和BP神经网络的灰色神经网络
3.1 灰色VelHulst模型与BP神经网络映射关系
我们将直接建立灰色Verhulst模型。让我们考虑以下非线性函数:
（6）
式中，是未确定的参数
设AGO数据序列X(1)是原始序列X(0)随S型曲线增加，或原序列增量处于饱和阶段，与灰色VelHul斯特模型相比，当式（6）取t（t=2,3,...,n）时的函数值可以作为灰色Verhulst模型对应时间t的预测值，然后从数据拟合的角度出发，可以用式(6)拟合序列X(1)。因此,我们可以通过式（6）拟合一个AGO数据序列X（1），关键问题是如何估计参数a，b，。
为了得到更好的解决办法，这个初始值不接受原始序列数据的第一个数据，而是作为一个参数，由数据拟合来确定。
因为式(6)是非线性的，我们现在用BP网络来解决上述问题，它可以任意精度地逼近非线性函数。
首先，(6)被转换为：
（7）
（8）
因为，所以
将上述方程映射到BP神经网络，网络结构描述为图1：
建立了网络权重与Gery Verhulst模型参数之间的对应关系：
（9）
LD电平的阈值为：
以LB能级神经元的传递函数为Sig Moid型函数，,函数表达式为：,存在一个高增益区域，保证网络最终达到稳定的[22]。其它神经元的传递函数作为线性函数。
通过上述方法，将灰色Verhulst模型映射到BP神经网络中。图1显示了这种神经网络结构。建立了灰色Verhulst模型参数与BP网络权值的对应关系。同时，建立了基于灰色VelHulst模型和BP神经网络的灰色神经网络，简单地称之为灰色Veluulst神经网络。
3.2灰色Verhulst神经网络的特征分析
上述灰色Verhulst神经网络是一个集灰色Verhulst模型和神经网络于一体的混合模型。然而，该模型与两个单一模型不同。在该模型中，将传统的灰色VerHulst模型参数估计问题转化为神经网络权值的优化问题。众所周知，在神经网络的设计中，关键在于网络每一层的隐层数和节点数。合适的隐藏层节点数可以使网络的系统误差达到最小化。隐层单元的数量直接关系到问题的需求和输入输出单元的数量。因此，选择最优的隐层单元是至关重要的。然而，当问题特别复杂时，由于缺乏严格的设计准则[24]，很难设计出一个神经网络。本文中的灰色Verhulst神经网络也是一个神经网络，这种新的神经网络是在灰色Verhulst模型的基础上，以及对BP模型中关键参数的选择提出了一些有益的建议上建立出的。因此，图1显示了这种神经网络结构简单。与传统BP神经网络相比，该模型更加方便、直观。神经网络是通过数据集来训练的，当BP网络收敛时，可以得到优化的网络模型权值[13]，实现了基于BP算法的灰色Verhulst模型的优化建模。然后，应用逆累积生成运算，拟合了灰色Verhulst模型并算出预测值，由下式得到：
式中，
与灰色Verhulst模型相比，计算更简单，建模过程更直观。另一方面，它不需要从离散形式到连续形式的转换，从而避免了差分方程到微分方程的跳变误差，克服了灰色Verhulst模型的缺陷。
4、小样本实验验证与讨论
灰色模型由于其各自的特点：用较少的数据进行建模(适用于数据只有4)[25]，从而灰色建模和灰色预测奠定基础。神经网络的吸引力在于它们最适合于解决传统计算方法中最难解决的问题。如上所述，灰色Verhulst神经网络是一种集灰色Verhulst模型和神经网络优点于一体的混合模型。在这一部分中，我们通过一个小的例子验证了灰色Verhulst神经网络的性能。
4.1实验数据与设计
我们使用下面的示例，用很少的数据和很少的示例来进行实验。原始系列说明如下[25]：
原序列近似于单峰型，而的A Go序列具有饱和特性，适用于灰色Verhulst模型[25]。根据本文提出的方法，建立了三层隐层的BP神经网络。网络结构如图1所示。第一级神经元的传递函数为Log-Sigmoid型函数，其它神经元的传递函数为线性函数。
最大训练时间M=300，允许误差E=0.0000005。以Levenberg-Marquardt(Levenberg-Marquardt)为训练算法，学习速率由LM算法动态确定。利用Matlab6.5编程，当网络达到精度要求时，可以得到最优的灰色VerhulstBP神经网络模型。
并与传统的GM(1，1)模型和灰色Verhulst模型进行了比较。为了验证上述模型的准确性，可以将实际值和预测值进行比较。建议采用平均绝对百分比误差(MAPE)[26]方法进行验证。平均绝对百分比误差定义为：
（10）
式中，为真实值，为预测值，为的绝对百分比误差。
4.2实验结果与误差分析
与传统的灰色Verhulst模型和GM(1，1)模型进行了比较，实验结果和MAPE在表1中得到了显示。
在表1中，该模型的总体拟合精度较高，MAPE为1.43%。与传统的灰色Verhulst模型相比，精度提高了85.48%。与GM(1，1
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