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第二章 非线性振动系统
21.非线性振动系统的例子
在前一章讨论单自由度系统的振动中，我们假设弹簧服从胡克定律，即弹簧中的力与变形成比例关系。同时我们认识到，粘性阻尼存在的情况下，阻尼力是速度的线性函数。在这些假设成立的条件下，振动系统的运动方程可以用线性的、具有常系数的二阶微分方程来表示。然而，也有许多的物理系统用常系数线性微分方程是不足以描述其运动的，这种物理系统的分析需要用非线性微分方程进行讨论。具有非线性特征的系统为非线性系统。当弹簧中的力与变形不成比例时，我们可以使用这样的系统进行研究。
例如，有时在联轴器和吸振器中使用橡胶或者皮革等有机材料。这些有机材料的拉伸实验图如图75所示的形状；对于小幅度的振动，弹性模量的变化可以忽略不计，但随着振动幅度的增加，弹性模量的增加可能导致振动频率的显著增加。
另一个例子是如铸铁或混凝土之类的材料制成的结构，满足了弹性模量可变的另一个例子。在两种情况下，拉伸试验图是图76所示的形状，即弹性模量随变形而减小。因此，随着振动幅度的增加，频率必然会有所降低。
有时使用特殊的钢制成弹簧，使得它们的弹性模量随变形的变化而变化。涉及这种弹簧系统的固有频率取决于振幅的大小。通过使用这种类型的弹簧，可以减少共振的不利影响。如果达到共振状态，振动的幅度开始增加，振动的频率改变，即共振条件消失。在图77中有这种弹簧的简单示例。支撑重物W的扁平弹簧内置于端部A处。在振动期间，弹簧与两个圆柱形表面AB或AC有部分接触。由于这种事实，悬臂端的自由长度随振幅的变化而变化，因此弹簧的刚度随着挠度的增加而增加。与图75所示的情况相同，振动频率随振幅的增加而增加。
如果已知弹簧的尺寸和曲线AB和AC的形状，就可以很容易地得到一条曲线，是弹簧末端挠度函数的恢复力曲线。
非线性系统的另一个例子是附着在拉伸线段AB上的集中质量m沿x轴方向的振动（图78）。假设S是拉伸线段中的初始拉力，x是集中质量m在水平方向上的小位移，A是拉伸线段的横截面积，E是拉伸线段的弹性模量。
由于位移x，拉伸线段的单位伸长率为：
拉伸线段中相应的拉力为：
作用在集中质量m（图78b）上的恢复力是：
集中质量m的运动微分方程就变为：
我们可以看出，在位移很小的情况下，当初始拉力S足够大时，可以忽略方程（a）左侧的最后一项，得到集中质量m在水平方向上的简谐振动。否则，就必须考虑方程的立方项。在这种情况下，恢复力的增加大于位移的增加，振动频率随振幅的增加而增加。
以一个简单的摆为例（如图79所示），应用达朗贝尔原理，将重量W和惯性力投影到切线mn的方向上，得到运动方程:
或者：
其中L是摆的长度，是摆与竖直方向的夹角。
可以看出，仅在振幅较小的情况下，，这种摆的振动可以被认为是简谐运动。如果幅度较大，则发生更复杂的运动，并且振动周期将取决于振幅的大小。很明显，恢复力与位移不成比例关系，但以较小的速率增加，这使得频率随着振动幅度的增加而减小。在幂级数中展开，只取级数展开式的前两项，得到如下方程：
把这个等式与方程（a）相比较，很容易看出非线性项的符号是相反的。因此，将摆与摆杆（图80）垂直于振动平面的水平拉伸线段相结合，可以得到更好近似解。
图81中给出了另一个例子，振动周期取决于振幅。质量块m通过沿着杆AB在两个弹簧之间没有摩擦的振动。测量从质量块m距离中间位置的偏离程度，可以得到如图82所示的恢复力与位移的变化关系。振动的频率不仅取决于弹簧常数，还取决于弹簧的大小，间隙a和初始条件。
例如，假设在初始时刻（t=0），质量块m处于其中间位置并且在x方向上具有初始速度v。那么通过间隙a所需要的时间就是：
通过间隙a后，质量块m与弹簧接触，在x方向上的运动变为简谐运动。质量块的速度从初始速度v变为O的时间（简谐运动的四分之一周期）是：
其中k是弹簧常数。质量块m的振动周期是:
当间隙a为定值时，确定的质量块m和确定的弹簧常数k，振动周期仅取决于初始速度v。对于较小的v值，振动周期会变得非常大，且振动周期会随着速度v的增加而减小，当速度v等于无穷大时接近极限（如图83）。当振动系统中质量块与弹簧之间存在间隙时，通常可以得到以上条件。
如果间隙非常小，则那么在速度v的较大范围，周期T的变动幅度很小，如图83中的曲线Ⅰ所示。随着间隙增加，在速度v的相当一部分范围，振动周期会发生明显变化，如图83中的曲线Ⅱ所示。这种振动系统的周期可以在和之间取值。如果一个周期大于的扰动力在起作用，那么总有可能给质量块m一个脉冲，使其振动周期等于，从而建立共振条件。这种理论可以很好地解释电动机车的严重振动现象。
另一种非线性系统是当阻尼力不是速度的线性函数时。例如，在相当大的速度下，空气或液体的阻力正比于速度的平方，甚至可能是速度的三次方或四次方，在这种阻力介质中物体的振动方程将不再是线性的，尽管弹簧可能遵循胡克定律。
22.非线性恢复力振动系统
如果忽略阻尼的影响，这种情况下的运动微分方程一般是这样的：
或者是：
其中表示每单位质量的恢复力作为位移x的函数。为了得到方程（51）的第一个积分，我们将它乘以，然后它可以用以下形式表示：
或者是：
通过积分，我们得到：
如果已知和初始条件，则可由方程（b）计算出振动系统任意位置的运动速度。例如，假设恢复力与位移的变化关系如图84曲线Om所示。
而在初始时刻t=0，系统的位移等于，初始速度等于零。然后，从方程（b）中，对于系统的任意位置可以得到：
在系统的任何位置，由于挠度的影响，动能等于在初始时刻存储在弹簧中的势能与最后时刻势能之差。图84中阴影部分表示势能的减少。通过方程（c）我们得到：
对这个方程积分，得到关于时间t的位移函数：
例如，以简谐振动为例。然后令
代入到方程（e），我们可以得到：
或者：
由此，
这个结果和我们之前得到的简谐运动的结果是一致的。
第二个例子，假设，
代入到方程（e），我们可以得到：
振动的周期将会是：
这个方程中积分的大小取决于n的值，由方程可以得出，只有当n=1时，即对于简谐运动，周期不依赖于初始位移。当n=2时，我们有：
代入方程（52）中，可以得到：
即振动周期与振幅成反比。如图78所示的情况下，如果线段的初始张力为零，就会产生这种振动。
更一般的情况如下：
利用椭圆函数可以得到方程（51）的解。但这些解决方法比较复杂，不适合技术应用和推广。因此，现在将讨论求解方程（51）的一些图解法和数值计算方法。
23.图解法
要得到一般形式方程(51)的解，必须进行以上式子（b）和(e)的两个积分。只有在最简单的情况下，才有可能对它们进行精确的积分，形式复杂就很难得到积分结果，但是可以使用近似的图解法，在此基础上，任意振幅的自由振动周期都能以要求的精度计算出来。
设曲线Om(图85)在一定范围内表示系统中恢复力作为位移x的函数。由式子(b)可知，将积分曲线绘制到曲线Om上，得到作为位移x的函数。这个图解法可以按照如下的方式进行，用阶梯曲线代替了连续曲线Om，，和，使得阶梯曲线和x轴围成的面积等于曲线Om和x轴围成的面积。
选择极距，使其与曲线纵坐标尺度上统一，绘制射线Pa、Pr和Ps。作平行线，和，就会得到曲线，它的斜率等于所表示的函数的相应值。这意味着线是线的积分曲线。由于上述三角形全等(如图85所示)，多边折线的边必须与Om的积分曲线相切；切线的点在a1,e1,k1和o1。因此曲线与多边折线相切于a1,e1,k1和o1表示曲线Om的积分曲线，在一定尺度下显示出振动系统在运动过程中，从极限位置()到中间位置()的动能变化。如果曲线Om的纵坐标等于某个刻度，而到极距也是相同的值，那么这个值就是曲线的纵坐标。如果测量出与位移相同的位移，那么就会得到的大小。由此可以很容易地计算出速度和倒数，并绘制出以为变量的函数曲线pn（如图86所示）。系统从极限位置（）到达中间位置（）所花费的时间将由以下积分表示：
这意味着可以通过与上述相同的方式精确地绘制曲线pn的积分曲线（如图86所示）来获得t。最后的纵坐标，用跟相同的尺度去测量，可以得到时间t。在振动系统关于其中间位置对称的条件下，时间t代表振幅的自由振动周期的四分之一。必须注意的是，，即此时变得无穷大。为了消除这种困难，可以从某个点b开始绘制积分曲线，微分量和的确定就是基于这种假设：开始时，系统移动很小的一段位移，且加速度恒等于，然后：
以及：
由罗德卡尔文开发的另一种图解法也可用于求解非简谐振动的微分方程。对于一般情况，运动微分方程可以以下面的形式给出：
这个方程的解将位移x表示为时间t的函数。这个函数可以用来表示时间-位移曲线（如图87所示）。为了得到一个特解，系统的初始条件，即初始位移和初始速度必须已知。我们令时，和。然后求出时间-位移曲线的初始纵坐标和初始斜率。然后把x和的值代入方程（53）中，求出的初始值。根据已知方程：
可以求出时间-位移曲线起点处曲率半径。利用这个曲率半径，可以将时间-位移曲线上的一个微小线段描绘成一个弧线（如图87所示）,从图中可以得到x的纵坐标和点处斜率的值，将上述已知条件代入方程 (53)计算。
现在由式子(a)得到的大小，利用它计算曲线的下一个元素。如上所述，继续这样迭代计算，用图解法获得时间-位移曲线。利用与时间-位移曲线相切的倾角，可以在一定程度上简化计算。设表示这个角，然后：
代入式子（a）中，得到：
在这个计算中，开根号后是正的所以的符号和的符号是一样的。如果是负的，则必须取曲率中心，以使曲线凸起（如图87所示）。
在自由振动且忽略阻尼的情况下，方程(53)采用方程(51)中给出的形式，上述图形积分变得非常简单，因为在这种情况下函数f（x）只依赖于位移x的大小。取初始条件和，时间-位移曲线的一般形式如图88所示。在关于中间位置对称的情况下，这条曲线与t轴的交点将确定系统的自振周期。的大小可以用这种方法确定的，且精确度足以用于实际工程中。
以图88为例，简谐振动的微分方程：
精确解如下：
此时方程(b)变成：
图88中初始位移取20单位长度，取100单位长度。再把代入方程（c）中，可以得到：
从图88可知，是一个与时间相关的物理量，且式子（d）中给出的结果可以用来计算周期值。用和的精度去计算，从图88我们得到：
或者使用式子（d）的结果：
在以上图解法中，绘制时间-位移曲线周期的四分之一只需要划分7个区间，得到的结果误差在1%以内。
24.数值计算方法
方程(51)和(53)给出的非简谐振动也可以用数值计算方法求解。以无阻尼自由振动为例。对应的微分方程为：
假设初设条件为：
在式子(a)中用代替x可以计算出的大小。然后使用加速度在t=0时的大小去计算和，即在t=0时，任意时刻的速度和位移都可以计算出来。令表示时刻到时刻之间的时间差。和的近似值由下列方程得到：
将式(a)中的值替换为，得到的值。再利用后面的值，可以从以下方程计算出和更好的近似值：
现在用的二阶展开代替可以得到更好的近似结果（式子（d）代入式子（a）中）。现在进行第二步，通过，和可以用上述方法精确计算在时间上的，和。把时间间隔变得足够小，再对t的值进行两次迭代计算，以获得第二次迭代的结果，这种数值积分方法在实际应用中总是能够得到足够准确的结果。
该方程对于初始条件（b）的精确解为：
数值积分的结果如下表所示。时间间隔的长度取。记住这个例子中的振动周期为，可以看出所选的时间间隔大约等于周期的。表的第二行表示初始条件。现在，为了得到和的第一次迭代结果，在时间段，使用方程（c）进行计算。计算的结果在表格的第三行。为了得到和更好的计算结果，使用方程（d）进行计算，计算的结果在表格的第四行。按照这种方法计算出了完整的表。最后两列给出了与精确解(e)同有效数字的和的对应值，从而可以直接从表中看出数值积分的准确性。我们发现，通过计算得到的速度总是具有很高的精度。从表的最后一行可以看出位移的最大误差约为初始位移
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