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4. 卡尔曼滤波器
在可用于噪声传感器测量的随机估计的重要数学工具箱中，最著名和常用的工具之一是所谓的卡尔曼滤波器。卡尔曼滤波器以Rudolph E.Kalman命名，他于1960年发表了他的著名论文，介绍了递归的解决方案。离散数据线性滤波问题（Kalman 1960）。对于卡尔曼滤波器基本概念在（Maybeck 1979）第1章中得到了良好的介绍。可以从上面的卡尔曼滤波器网站获得，并且我们已经包含它（经许可）在这个课程中。而且可以在（Sorenson 1970）中找到更完整的介绍性讨论，其中也包含一些有趣的历史叙事。更广泛的参考文献包括（Gelb 1974; Maybeck 1979; Lewis 1986; Jacobs 1993; Brown and Hwang 1996; Grewal and Andrews 2001）。此外，多年来我们一直致力于卡尔曼滤波器的网站。该站点包含相关工作，论文，书籍甚至一些软件的链接，包括一个新的基于Java的卡尔曼滤波器学习工具。
http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/
当满足某些条件假设时，卡尔曼滤波器本质上是一组数学方程，其实现预测器-校正器类型估计器，其在最小化估计的误差协方差的意义上是最优的。自推出以来，卡尔曼滤波器一直是广泛研究和应用的主题，特别是在自动域。这可能在很大程度上是由于数字计算的进步使得滤波器的使用变得切实可行，而且还因为滤波器本身的相对简单性和本身的强大性质。实际上存在最佳性所需的条件很少，但是尽管存在这种情况，但过滤器仍然适用于许多应用。
特别值得注意的是，卡尔曼滤波器已被广泛用于交互式计算机图形中的跟踪。 我们在HiBall跟踪系统中使用单约束卡尔曼滤波器（参见第41页的第5.4节）（Welch，Bishop等人1999; Welch，Bishop等人2001），可从3rdTech商业获得。 （3rdTech 2000）。 它被用于运动预测（Azuma和Bishop 1994; Azuma 1995），它被用于intersense的商业中Constellation区域跟踪系统中的多传感器（惯性声学）融合（Foxlin，Harrington等人1998; Intersense 2000）。 另见（Fuchs（Foxlin）1993; Van Pabst和Krekel 1993; Azarbayejani和Pentland 1994; Emura和Tachi 1994; Emura和Tachi 1994; Mazuryk和Gervautz 1995）。
4.1 离散卡尔曼滤波器
本节描述了其原始公式（Kalman 1960）中的滤波器，其中测量发生并且记录在离散时间点估计状态。
4.1.1 估算的过程
卡尔曼滤波器解决了试图估计由线性随机差分方程控制的离散时间受控过程的状态的一般问题。
， （4.1）
测量即为
， （4.2）
随机变量和分别表示过程和测量噪声。 假设它们是彼此独立的，白色的并且具有正态概率分布
， （4.3）
， （4.4）
在实践中，过程噪声协方差和测量噪声协方差矩阵可能随着每个时间步长或测量而改变，但是在这里我们假设它们是恒定的。
在没有驱动函数或过程噪声的情况下，差分方程式（4.1）中的矩阵将前一时间步长k-1的状态与当前步长k的状态相关联。 请注意，在实践中A可能会随着每个时间步而改变，但在这里我们假设它是恒定的。 矩阵B将可选的控制输入与状态x相关联。 测量方程式（4.2）中的矩阵将状态与测量相关联。 在实践中可能会随着每个时间步或测量而改变，但在这里我们假设它是恒定的。
4.1.2 过滤器的计算起源
在给定步骤k之前的过程知识的情况下，我们定义（注意“超级减”）作为我们在步骤k的先验状态估计，并且在给定测量的步骤k处是我们的后验状态估计。 然后我们可以定义先验和后验估计错误为
,and
.
然后是先验估计误差协方差
， （4.5）
并且后验估计误差协方差是
. （4.6）
在推导卡尔曼滤波器的方程时，我们首先找到一个计算后验状态估计的方程的目标，作为先验估计与实际测量和测量预测之间的加权差的线性组合，如下所示 在等式（4.7）中。 等式（4.7）的一些理由在下面的“滤波器的概率起源”中给出
（4.7）
等式（4.7）中的差称为测量创新或残差。 残差反映了预测测量值与实际测量值之间的差异。 残差为零意味着两者完全一致。
等式（4.7）中的矩阵K被选择为最小化后验误差协方差方程（4.6）的增益或混合因子。 这种最小化可以通过首先将等式（4.7）代入上述定义中来实现，将其代入等式（4.6），执行指示的期望，取结果的轨迹相对于K的导数，将该结果设置为等于零，然后求解K.有关详细信息，请参阅（Maybeck 1979; Jacobs 1993; Brown and Hwang 1996）。 最小化方程（4.6）的结果K的一种形式由下式给出
. （4.8）
观察等式（4.8），我们看到当测量误差协方差R接近零时，增益K对残差进行更大的权重。 特别的，
.
＿
所有卡尔曼滤波器方程都可以用代数方法处理成几种形式。 方程式（4.8）表示一种流行形式的卡尔曼增益。
另一方面，当先验估计误差协方差接近零时，增益K对残差的权重较小。 特别的，
.
考虑K的加权的另一种思考方式是，当测量误差协方差R接近零时，实际测量越来越“可信”，而预测的测量越来越少。 另一方面，随着先验估计误差协方差接近零，实际测量值越来越低，而预测测量值越来越受信任。
4.1.3 过滤器的概率起源
等式（4.7）证明基于先验估计的概率，该概率取决于所有先前的测量（贝叶斯规则）。 现在让我们指出卡尔曼滤波器保持状态分布的前两个时刻，
.
后验状态估计方程（4.7）反映了状态分布的平均值（第一时刻） - 如果方程（4.3）和 方程（4.4）得到满足。 后验估计误差协方差方程（4.6）反映 状态分布的方差（第二个非中心矩）。 换一种说法，
有关卡尔曼滤波器概率起源的更多详细信息，请参见（Brown and Hwang 1996）。
4.1.4 离散卡尔曼滤波器算法
我们将以一个广泛的概述开始本节，涵盖了一种离散卡尔曼滤波器的“高级”操作（参见前面的脚注）。 提出这个之后，在高级视图中，我们将把重点缩小到特定的方程式及其在滤波器的这种转换中的用途。
卡尔曼滤波器通过使用一种形式的反馈控制来估计过程：滤波器在某个时间估计过程状态，然后以（噪声）的形式获得反馈测量。 因此，卡尔曼滤波器的方程分为两组：时间更新方程和测量更新方程。 时间更新方程负责预测（及时）当前状态和误差协方差估计以获得下一时间步的先验估计。 测量更新方程负责反馈 。 即，用于将新测量结合到先验估计中以获得改进的后验估计。
时间更新方程也可以被认为是预测方程，而测量更新方程可以被认为是校正方程。 实际上，最终估计算法类似于用于解决数值问题的预测器 - 校正器算法，如图4.1所示。
时间和测量更新的具体方程式如下表4.1和表4.2所示。
（4.9）
（4.10）
再次注意表4.1中的时间更新方程如何将状态和协方差估计从时间步骤k-1向前推进到步骤K。A和B来自等式（4.1），而Q来自等式（4.3）。 过滤器的初始条件在前面的参考文献中讨论过。
（4.11）
（4.12）
（4.13）
测量更新期间的第一个任务是计算卡尔曼增益。 注意，这里给出的等式（4.11）的等式与等式（4.8）相同。 下一步是实际测量获得的过程，然后通过结合测量来生成后验状态估计，如公式（4.12）所示。 同样，等式（4.12）简单地在此重复等式（4.7）以获得完整性。 最后一步是通过公式（4.13）获得后验误差协方差估计。
在每个时间和测量更新对之后，重复该过程，其中先前的后验估计用于投影或预测新的先验估计。 对于每个估计，这种递归性质是卡尔曼滤波器非常吸引人的特性之一 - 它使实际实现比（例如）Wiener滤波器（Brown和Hwang 1996）的实现更加可行，该滤波器旨在直接对所有数据进行操作。 相反，卡尔曼滤波器递归地调整所有的当前的估计过去的测量。 下面的图4.2提供了过滤器操作的完整画面，将图4.1的高级图表与表4.1和表4.2中的公式结合起来。
4.2 扩展卡尔曼滤波器（EKF）
4.2.1 估算的过程
如
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