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基于规范和统计的整合方法
在本章中，我们研究基于规范和统计方法的整合方法以便在具有确定性扰动和随机误差的系统中寻址FDI。三个有不同的解决策略和被不同工具支持的方案将会被呈现。第一个方案处理在有异常干扰和随机噪声的系统中的FDI，第二和第三个方案寻址具有随机变化参数的系统。
11.1 有确定性干扰的随机系统中的残差评价
在这一部分，我们继续开始于最后章节的研究。 我们将系统建模如下
术语,表示因为已知分布矩阵，和未知输入矢量 的输入从而导致的一些确定性未知输入的影响，其受限于以下公式
其中s表示评估窗口的长度。, 假定为离散时间，零均值，白噪声并且满足
此外，假设，在统计上独立于输入向量。
我们的目标是检测不为零时的故障矢量。
11.1.1 残差生成
为了残差生成的目的，我们使用不失一般性的FDF
这产生
和
使用统一解或卡尔曼滤波器可以用观察者矩阵L和后滤V来举例。
在稳态下,,,的值满足以下公式
为了我们的目的，我们将写入
并且
注意，在无故障情况下，残差信号的平均值受限于
对于所有的k来说。 在稳定随机过程的假设下，协方差矩阵的由下式给出
当P gt;0时
为了简化研究，假设
11.1.2 问题构想
除了 10.4节的方法,我们为研究制定了两个问题。
问题1 给定，找到残差评价函数（检测统计量，阈值并计算由下式定义的误报率
问题2 给定，允许误报率，
残差评价函数（检测统计量），, 如问题1中定义的，找到阈值，所以
这两个问题具有很强的实际利益。
11.1.3 GLR解决方案
下面，我们使用GLR方法来解决上述两个问题。 为此目的，
给定。 结果,
其中
介绍符号
接下来得到
此外，的有界性给出
接下来，我们计算，，的LR估计：
以及对于,,k
结果我们得到
回想一下，在GLR方案的上下文中，当 gt; 0时，将做出关于故障的决定。因此，从（11.13）得出假报警的概率（误报率）等于
以这种方式， ,,k 定义残差评价函数（检验统计量）和阈值。
对于计算误报率，我们需要进一步的研究测试统计 ,,k 。
记住在无故障的情况下,
因此，对于 , ,,k是自由度等于的非中心发散chi;2并且非中心参数为,,,。考虑到
因此，alpha;受限
其中 chi;2 (, ) 表示具有自由度等于和非中心参数的chi;2分布。 结果，问题1是解决了。
我们总结以下算法的主要结果。
算法11.1（给定统计量和阈值的alpha;的计算）
S1：根据（11.7）计算，
S2：根据（11.15）的形成Sigma;
S3：使用（11.16）计算概率(chi;2 (, )le; ) ，最后是alpha;的界限。
算法11.2（在线实现）
S1：计算检验统计量,,k
S2：检验统计阈值= 之间的比较。
现在，我们针对给定的测试统计量,,k和允许误报率alpha;解决问题2
从（11.16）得出，可以通过解决下式确定阈值
chi;2 ,le; (11.17)
得到以下算法。
算法11.3（阈值计算）
S1: 计算
S2: 根据（11.17）确定
11.1.4 举例
例11.1 我们继续在例10.1中的研究，其中故障检测系统设计用于三罐系统基准。现在，除了噪音，考虑传感器中的偏移并将其建模为未知输入
, 和 。
假设d由 限定。 我们的设计目标是确定使用算法11.3的阈值。 对于残差生成的目的，我们使用在示例10.1中设计的相同的两个卡尔曼滤波器，即（a）卡尔曼滤波器由罐1的液位传感器驱动（b）由所有三个传感器驱动的卡尔曼滤波器。
在alpha;= 0.05的相同假设下，我们有
案例(a) 一个传感器: = 26.3291
案例(b) 三个传感器: = 65.1979.
图11.2和11.3显示了测试统计量和阈值在t = 12秒时传感器1中的偏移故（5cm）
相对于设计的FD系统的模拟结果。
图 11.2测试统计和阈值：一个传感器的案例
图11.3检验统计和阈值：三个传感器的案例
11.2 随机不确定残差评价方案系统
在8.5节中，我们研究了随机的残差生成问题不确定系统。 本节的目的是解决残差评估问题。
11.2.1 问题构想
如8.5节中的研究，我们考虑系统模型为
其中
，，，，和表示满足的模型不确定性
与已知矩阵，，，，，，，...， ，等适当尺寸。
表示模型不确定性并表示为一个随机过程
其中,,,, 已知。进一步假定p（0），p（1）,...， 是独立且x（0），u（k），d（k），f（k）独立于p（k）。
为了残差生成的目的，FDF
被应用。上述残余发电机的动力学指标由下式控制
r(k)的值为
（11.23） - （11.24）中的矩阵，，，，，， 和 在第8.5节中有描述。我们假设系统是均方稳定的。
在本节的其余部分， r(k)的标准方差表示为
并且
(k) = r(k) minus; r(k)
我们在本部分的研究目的是，残差评价战略将被开发并纳入设计基于观测器的FDI系统。这种残差评价战略应考虑到先前知识的模型不确定性，并结合统计测试和基于规范的残差评估方案。注意，在最后一节中考虑的残差信号假设为正态分布。不同的是，我们不知道本节所述残差信号的分布。
在接下来的小节中要解决的问题是：
残差评价函数的选择和对于给定残差评价函数的阈值确定和容许误警率alpha;。
11.2.2 解决方案和设计算法
评估残差信号最简单的方法是在连续的时间内计算其大小并将其与阈值进行比较。考虑r（k）是随机过程，其分布是未知的，将阈值设置下式是合理的
并将决策逻辑定义为
其中beta;（gt; 1）是用于降低误报率的一个常数。 在（11.27）中，第一项表示断层中残差信号的平均值的界限，而考虑到r（k）的随机特性，使用第二项以表示r（k）与其平均值的预期偏差。
显然，如果r（k）的标准方差较大，具有阈值（11.27）的上述判决逻辑可以导致误报警率较高。 为此，我们提出以下残差评价函数
对于一些N。 事实上
是在时间间隔（k-N，k）上受加法和乘法断层影响的残差信号的平均值。下面的定理揭示了评价函数（11.30）的重要统计特性。
定理11.1给定系统模型（11.23） - （11.24）并假设系统是均值平稳，即满足下式的和 有界。
⎟
然后，
其中eta;gt; 0是一些常数。
证明 注意，对于
它导致
和
得出
此外，考虑到，0的所有特征值小于一，我们也有forall;j
受限于
证明
注意，,是有界的，即对于,,有
forall;j ,
我们有
其中，由于和的界限，eta;是常数并独立于N。
最终得到
因此，定理已被证明
注意
我们有，以下定理11.1，
（11.32）并且定理11.1揭示了对于N→infin;
即J将为残余信号的平均值提供良好的估计。
在上述讨论的启发和指导下，我们提出，相应于评估函数（11.30），设置阈值的以下一般形式：
其中beta;（N）是给定N的常数。 这样，确定阈值的问题被减小到找到beta;（N）。 接下来，我们针对给定的问题处理这个问题的允许误报率alpha;。 为此，我们首先介绍了著名的切比雪夫不等式，其表明：对于满足的给定随机数x和常数，它使下式成立
回想一下，误报率由下式定义
此外
根据切比雪夫不等式设置
其满足
确保
从（11.37）可以看出，较低的可允许误报率alpha;需要较大的beta;（N）。
为了完成我们的设计程序，它仍需找到和以及计算阈值（11.35）所需的和以及eta;（11.31）。 使用第8章中介绍的LMI技术,我们得到以下结果。
定理11.2 给定系统模型（11.25） - （11.26），，并假设
然后, forall;k
对于Pgt;0，如果以下两个LMIrsquo;s成立
其中 表示矩阵的最大奇异值
证明 这个定理的证明是直截了当的。 事实上，从（11.26）可以得出
因此，根据离散时间版本的引理9.1，第一项受限于
和下式
定理11.3 给定系统模型 (11.23)–(11.24) 并且,,假设
然后, forall;k
如果以下矩阵不等式适用于某些Pgt; 0，那么
该定理的证明与定理8.3的证明相同，因此在此省略。
定理11.4 给定系统模型 (11.23)–(11.24)并且,，假设
当，forall;k为
如果以下矩阵不等式适用于某些Pgt;0
其中M1在（11.44）中给出。
证明 通过证明定理8.3，已经表明对于给定Pgt;0
如果 (11.50)正确，由于
结果
当
定理因此被证明。
定理11.5 给定系统模型 (11.23)–(11.24),并且gamma;gt;0,假设
当，forall;k为
如果存在Pgt;0,那么
其中M1在 (11.44)给出。
证明 在定理8.3的证明中，已经表明对于给定的Pgt;0
macr;
如果（11.54）成立。结果，对于给定的,得出
定理被证明。
我们想请读者注意这样一个事实，,和的界限分别是输入信号,的函数。因此，由（11.35）定义的阈值是自适应阈值或由驱动的阈值发生器。
基于上述定理，我们现在能够通过给定的误报率alpha;和评估窗口来呈现用于阈值计算的以下算法。
定理11.4 (阈值计算)
S1:使用定理11.3-11.5中给出的结果计算由（11.31）定义的eta;
S2:确定由（11.37）定义的beta;(N)
S3:根据（11.35）设置。
备注11.1 我们要强调的是，增加N可以显着降低阈值，从而增强故障检测能力。
但是，这是以早期故障检测为代价实现的。
11.3 概率鲁棒性技术辅助阈值计算
在本节中，我们介绍一种用于计算阈值和误报率的新策略。这项研究的动机是观察到最近出现了一个与完善的鲁棒控制理论平行的新的研究线，其中鲁棒控制问题在概率框架中被解决。与上一节中介绍的方法相比，该技术的实现需要较少涉及的计算，并且阈值设置不太保守。它开启了一个新的、有效的方法来解决FD问题，并且建立一个额外的传统统计检验和基于规范的残差评价方法之间的联系。
11.3.1 问题构想
设置系统模型为
其中，，，，，代表模型不确定性满足
具有适当尺寸的已知矩阵E, F, G, H, J。不同于第4章中介绍的类似模型形式，Sigma;表示范数边界不确定性，并且在其支持集上具有已知概率分布的随机矩阵表示，其中表示矩阵的最大奇数值。
如第3章所述，我们通过下式模拟故障的影响
其中,,,和,分别表示设备，致动器和传感器中的乘法和加法故障。假设是未知向量,,是具有适当尺寸的已知矩阵，并且,,,是未知的。为了简化符号，我们将使用
表示乘法故障集合，使表示无故障情况，否则存在至少一个故障。
为了
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