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2.2 预测
我们在介绍中认为，预测是多个时间序列分析的主要目标之一。因此,现在我们将讨论预测基于VAR的过程，点预测和区间预测将被认为是反过来。在讨论特定的预测或预测之前(这两个术语可以互换)，我们对预测问题进行评价。
图2.4 投资/收入/消费系统的自相关。
2.2.1 损失函数
预报员通常会发现自己在一个特定的时期t,他不得不对变量的未来价值进行陈述。为了这个目的，他提供了一个模型的数据生成过程和一个信息集，称为，包含了在t时间内的有效信息。数据生成过程的可能出现如，一个VAR（p）过程和可能包含系统正在考虑的过去和现在的变量的情况，，其中， 预测所做的周期t，是预测的起源和未来，这一预测理想的期数是预测的地平线。一种预测，h 期之前，是 h 步预报器。
如果对某一特定目的所做的预测，具体的成本函数可能存在预测误差。如果一个预测最大限度的减少了成本，该预测就是最佳的。在这个意义上找到一个最佳的预测通常是过于苛刻而难以在实践中达到。因此，最大限度地减少了预期的成本或损失是通常被用来作为一个目标。一般情况下，它将取决于那些预测最优的特定损失函数，另一方面，经济变量的预测往往是通用的。在这种情况下，在计算预测中不能将所有潜在用户的特定成本或损失函数考虑在内。在这种情况下，预测和区间预测的统计特性更倾向于是用户能得到他所需要的特定情况下的正确结论。如果他最大限度的减小了合理损失函数的范围，那么他也是一个可取的预测。
在无风险模型的背景下，预测者减少预测的均方误差（MSE）是最广泛使用方法。赞成使用MSE作为损失函数的参数由格兰杰（1969年b）和格兰杰和纽博尔德（1986）给出。它们表明，最小均方误差的预测也比其他MSE减少了一系列损失函数。此外，许多损失函数的最佳预测是最小均方误差预测的简单功能。此外，在一个无偏预测中，均方误差是预测误差的方差这是在建立区间的预测是有用的。因此，最小均方误差预测将在以下几大利益。如果没有另外说明，假设信息是包含系统中考虑到的变量并包括周期t。
2.2.2 点预测
条件期望
假设，是K维稳定VAR（p）的过程如（2.1.1）。那么，在预测起点t的预测范围h内的最小均方误差估计是条件期望
（2.2.1）这种预测可以最大限度地减少各组的均方误差。换句话说，如果是起点为t的任意h步预测
， （2.2.2）
其中，两个矩阵之间的不等号ge;意味着左侧和右侧矩阵之差是半正定。等效地，对于任何（Ktimes;1）矢量c。
.
条件期望的最优性通过注释可见
,
其中=0的情况已被使用，后者的结果成立是因为在t时期后是与的函数不相关的，。
条件期望的最优性意味着
（2.2.3）
是VAR(p)过程的最优h步预测，给定是独立的白噪声，那么当时，和是相互独立的，于是，当时，.
公式（2.2.3）可用于从h=0开始的递归计算的h步预测
，
·
·
·
通过这些递归，我们得到VAR(1)的过程
,
假定，，以下预测是为了获得VAR(1),实例流程（2.1.14）：
， （2.2.4a)
, (2.2.4b)
等等。同样的，我们可以得到VAR(2)的过程（2.1.15），当，，且，
，
， （2.2.5）
条件期望具有以下性质：
（1）这是一个无偏预测，.
（2）如果是独立的白噪声，，预测的
等于给定条件的，
后者的属性遵循类似的论据作为最优预测。
必须强调的是，预测公式（2.2.3）是在为独立白噪声的基础上得出的。如果和不是相互独立的，只是不相关，一般来说是非零的。例如，考虑单变量AR(1)，，其中
其中为标准正态分布（）的随机变量（详见Fuller（1976，章节2，习题16））。很容易的可以看出是不相关但不是独立的白噪声。对任意t，
因为.
线性最小均方误差预测
如果不是独立的白噪声，额外的假设通常需要找到一个VAR(p)的最佳的预测（条件期望）。没有这样的假设，我们可以较为容易的找出线性函数中的最小均方误差的预测。让我们考虑一个零均值VAR（1）的过程。
（2.2.6）
首先，如（2.1.3），它遵循
因此，对于一个预测值
其中是（Ktimes;K）系数矩阵，我们得到了一个预测误差
利用当，与是不相关的，当，我们得到
显然，当，时，这均方误差矩阵是最小的。因此，这种特殊情况的最优预测（线性最小均方误差）是
.
预测误差为
均方误差又或是预测误差的协方差矩阵为
一个零均值的VAR（P）过程，
有一个VAR（1）对应
其中，，和如（2.1.8）中所定义的，使用上述相同的参数，的最优预测可以看作是
.
通过归纳，可以很容易看出在h时
，
其中当 时，，定义（）矩阵：=如（2.1.11），我们得到在以t为起点的最优h-步预测如下：
. （2.2.7）
此公式可用于递归计算的预测。显然，如果是独立的白噪声，则就是条件期望，因为在（2.2.3）中的递归和这里得到的一个=0的零均值过程的递归是相同的。
如果有非零均值，那么
，
我们定义，其中，均值为零，其h步的最优预测为
，
在方程的两边同时加上，给出的最佳线性预测
（2.2.8）
今后，在不考虑白噪声过程的性质时，我们将称为最佳预测因子，即使不是独立，只是不相关的白噪声。
利用
为一个零均值过程，我们可以得到预测的误差为
， （2.2.9）
其中是（2.1.17）中的滑动平均系数矩阵，如果有非零均值，那么预测的误差是不变的，因为平均期限取消。预测误差的表达式（2.2.9）说明了预测值也能用滑动平均表达式（2.1.17）来表示，
（2.2.10）
从（2.2.9）很容易获得预测误差协方差或均方误差矩阵，
（2.2.11）
因此，均方误差是单调非递减的，且当时，均方误差矩阵接近的协方差矩阵。
（见（2.1.18）），可得
（2.2.12）
如果将均值作为一个预测，该预测的均方误差矩阵仅仅是的协方差矩阵。因此，最佳的长期预测（）是过程平均值。换句话说，过去的过程中不包含在遥远的将来发展的过程中的信息。零均值过程是否具有该性质纯粹是不确定的，也就是说如果预测的均方误差满足（2.2.12），那么纯粹是不确定性的。
对于示例VAR（1）的过程（2.1.14），其中如（2.1.33）中定义的，利用（2.1.24）中滑动平均系数矩阵，预测的均方误差矩阵
，
， （2.2.13）
，
可得。同样的，对于白噪声协方差矩阵（2.1.41）的VAR（2）示例流程（2.1.15），我们可以从（2.1.25）中得到，
，
， （2.2.14）
2.2.3区间预测和预测区域
为了建立区间预测或预报的时间间隔，我们做出分布和的假设。这是最常见的需要考虑高斯过程的，其中对于任意的t和h都有一个多元正态分布。等效的，它可以假设是高斯过程，那么是多元正态的，，且当时，和是相互独立的。在这些条件下的预测误差也正态分布为法线矢量的线性变换，
（2.2.15）
这一结果意味着，单个组分的预测误差是正常的，所以
， （2.2.16）
其中是的第K个变量，是的第k个对角元素的平方根，用正态分布的上部100百分点表示，我们可以得到
，
因此，一个（1-）times;100％间隔的预测，向前h期间，对于的第k个分量是
（2.2.17a)
或
， （2.2.17b)
如果这种类型的预测间隔从大量的时间序列的反复计算得来的（所考虑过程的实现），然后大约（1-）100％的时间间隔的将包含随机变量的实际值。
利用（2.2.4a)，（2.2.4b），和（2.2.13），以（2.1.14）的VAR（1）过程为例，95%的预测区间为
或 minus;3.0 plusmn; 2.94，
或 3.2 plusmn; 1.96，
或 3.1 plusmn; 1.69， （2.2.18）
或 minus;1.50 plusmn; 3.29，
或 2.95 plusmn; 2.08，
或 2.57 plusmn; 1.87，
（2.2.15）中的结果也可用于建立联合预测区域的2个或多个变量。举例来说，如果用于第一联合预测区域N个部分是必须的，我们定义（NK)矩阵，并记
， （2.2.19）
为多元正态向量的一个众所周知的结果（见附录B）。因此，该分布可以用来确定预测过程中前N个部分（1-）times;100％的预测椭球。
在实践中，如果N大于2或者3，那么该椭圆体的结构是相当苛刻的。因此，因此，一个更实际的方法是使用邦费罗尼的方法用于构造联合置信区域。它是基于这样的事实，对于事件在以下的概率不等式成立：
，
因此，
，
其中是的补集。因此，如果是事件落在区间内，
（2.2.20）
换句话说，如果我们为每N个部分都选择100%的预测区间，由此产生的联合预测区域有至少（1minus;）100%的概率含有n个变量的联合。例如，对于VAR（1）示例流程事先被认为是
是的一个包含了至少90%以上内容的联合预测区域。
通过相同的方法，不同范围h的联合预测也是可以得到。例如，的一个包含了至少(1 minus; )100%以上内容的联合预测区域为
（2.2.21）
因此，例如，的一个包含了至少90%以上内容的联合预测区域为
，
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