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基于非对称质量损失函数的最优制造目标确定
C.-H. Chen11 and C.-Y. Chou2 2
1工业管理系，南台湾科技大学，台南、台湾、中华民国；2工业管理系，国立云林科技大学、斗六、台湾、中华民国
摘要：在1998年，wu和tang表明，通过将制造目标从设计参数中转移出来，可以降低产品的平均质量损失。假设质量特性服从均匀或正态分布，采用二次非对称质量损失函数。然而，他们没有考虑在模型中使用线性非对称质量损失函数的条件。在本文中，我们提出了一个改进的吴和唐模型的均匀或三角形分布的非对称质量损失函数，以确定最佳的制造目标。
关键字：非对称质量损失函数 制造目标
- 引言
Taguchi（1）二次质量损失函数的优点是，它可以用来评估社会总损失的偏差（制造目标和设计参数之间的差异）和过程的变化。最近，Wu和Tang [2], Li [3–5], Li 和 Chirng [6], Maghsoodloo 和Li [7] 和 Li 和 Chou [8]已经解决了不平衡公差设计的问题。
在Wu和Tang [2]的研究中，他们假设质量特性服从均匀或正态分布，采用二次非对称质量损失函数来设计最优制造目标。他们的结论是产品的平均质量损失可以通过将生产目标与结构参数分离降低。然而，他们没有考虑在模型中使用线性质量损失函数的条件。常规二次质量损失函数在某些情况下，显然是不合适的。Trietsch [9]认为：“一个这样的情况下发生时的预期成本超过公差限制不等于目标的右侧和左侧。例如，由于切割过多而丢失，可能意味着废料，而切割太少只会导致返工。当这种情况下，一个可能的响应是拟合的损失函数是不对称的，并且不一定是二次的。“
在本文中，我们提出了一个改进的Wu和Tang [2]模型的产品质量范围内的非对称质量损失函数，以确定最佳的制造目标。修改后的模型采用均匀和三角分布。
- 基于均匀分布修改Wu和Tang [2]的模型
根据Wu和Tang[2] (p. 2533), 每一件产品的平均质量损失是：
k1和k2是常数，被称作质量损失系数，m为目标值，x是制造目标和设计目标与T的正向距离。
为了确定最优的x值，Wu和Tang[2]取式 (1) 的导数，并把一阶导数定为0。因此，最优的是
和
现在，我们在容差范围内采用线性非对称质量损失。修改后的Wu和Tang[2]模型如下：
通过对式 (5) 的x求一阶导数，将该一阶导数设为0，我们有
和
3.基于三角分布改进的Wu和Tang[2]的费用模型
将Y定义为一个随机变量，通过n个随机变量的和表示，即。Killmann和Collani [ 10 ]（17页–18）指出:” 这种随机变量的加性关系常常出现在实际情况中。简单的例子是：（1）具有n个链的链的长度或重量；（2）串联电路的电阻；（3）将信息分割成包的传输时间；（n）n个产品的总寿命长度，下一个产品是在上一个产品失效后投入使用的。
如果是相互独立的随机变量，然后服从三角分布。Y的概率密度函数(p.d.f.) 是
在这里，a=最小值，b=众数，c=最大值；假设a=m-T x,b=m x,和c=m T x。
案例一：二次非对称质量损失函数
修改过的Wu 和Tang [2] 的模型如下：
通过对式 (9) 的x求一阶导数，将该一阶导数设为0，我们有
和
案例二：线性非对称质量损失函数
现在，我们在容差带内采用线性非对称质量损失函数。修改过的Wu 和Tang [2] 的模型如下：
通过对式 (12) 的x求一阶导数，将该一阶导数设为0，我们有
和
很容易发现式（12）和式 (1).是一样的。因此，采用二次非对称质量损失函数的Wu 和Tang [2]模型的最优解与线性分布非对称质量损失函数的修正的Wu 和Tang [2]三角形分布模型是等价的。
4.数值例子
例1：如果产品的质量特性服从均匀分布，相对于质量特性y，概率密度函数表示为一个常数概率。质量特性的容差范围为2T。使设计目标左边的质量损失系数为K1 = 4，设计目标右边的的质量损失系数为K2 = 1，设计目标值m = 10，容差区T = 2，并使制造目标与设计目标的距离为x。概率密度函数为：
- 二次非对称质量损失函数
从式 (3) 和 (4)可知, Wu 和Tang [2]模型的最优值为和，如果,那么。这种观察也表明，制造目标的适当分配可以有效地降低产品的平均质量损失。
- 线性非对称质量损失函数
从式 (6) 和 (7)可知，采用线性非对称质量损失函数的修正Wu 和Tang [2]模型的最优解为和。如果，那么。这表明，制造目标的适当分配可以有效地降低产品的平均质量损失。平均损失有一个最小值，这个最小值与有关。过程规划，包括这种调整，将产生最佳的经济效益。
例2：考虑上述例子，除了三角质量特性。概率密度函数为
- 二次非对称质量损失函数
从式 (10) 和 (11)可知，采用三角形分布的二次非对称质量损失函数修正Wu 和Tang [2]模型的最优解为和。如果，那么。这种观察也表明，制造目标的适当分配可以有效地降低产品的平均质量损失。
- 线性非对称质量损失函数
从式 (13) 和 (14)可知，采用三角形分布的线性非对称质量损失函数修正Wu 和Tang [2]模型的最优解为和。如果，那么。这表明，制造目标的适当分配可以有效地降低产品的平均质量损失。平均损失有一个最小值，这个最小值与有关。过程规划，包括这种调整，将产生最佳的经济效益。
5.总结
在本文中，为了确定最佳的制造目标，我们提出了一个基于在容差范围内的非对称质量损失函数的修改的Wu 和Tang [2]模型。在修改的模型中包括均匀分布和三角分布。结果表明，无论是采用均匀分布的二次非对称质量损失函数的Wu 和Tang [2]模型，还是修改过的Wu 和Tang [2]模型，即采用三角分布的线性非对称质量损失函数，都有相同的最优结果。
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