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中国经典数学教法的智慧
概要：在过去的的三千年里，中国数学教育已经发展出了属于自己的一套体系。在这个体系中蕴含的大量丰富的教育理念已经被后人不断地积累和概括。贯穿中国数学教育的历史进程，出现了许多经典并且耐人寻味的教学案例，这些案例充分显示了启发教育学的智慧，简明的解释了用大量的的实践解释数学理论的方法论，强调了“熟能生巧，勤加练习”的重要性，以及对于相同问题的不同解法的理论。基于这些中国古代数学杰作例如所《罗门的算术经典与天堂圆路》，《九章算术》，《数学论文九节》，《杨辉算法》等中的例子，这篇论文调查研究了中国古代数学教育中采用的的准则和价值观以及方法。
关键词：中国古代数学教育，中国古代数学，数学教育思想
- 理解中国古代数学教育
中国古代的数学教育已经有了超过三千年的悠久历史，在这个期间涌现了众多杰出的数学家。由于地理，政治的原因，对于中国发展的大部分历史而言，西方的影响实际上并没有对中国的发展起直接的作用而是中国相对独立发展出了属于自己的教育体系和哲学体系。在十六和十七世纪耶稣会会士来远东完成他们使命的时候，来自西方的科学的知识以及教育理论才得以短暂在中国萌芽发展。但是由于新建立的清朝采取的“闭关锁国”政策，这样的东西方相互影响的过程很快就意外地被暂停了。然而这个阶段也是中国数学开始衰退的阶段。所以，接下来的文章中我们将使用“传统的中国”或者“古代中国”来代替十七世纪以前的那些世纪。在那样一段悠长的岁月里，中国的数学家和教育者们在世界范围的历史上都打破了大量的记录。例如，中国在唐朝建立了世界上第一个名为宣学馆的高等数学教育机构；中国的数学家们成功计算出了pi;小数点后面的正确的六位数值，而在西方直到一千年以后才有人打破这个记录；并且他们还成功的发现了许多定理和特性遥遥领先于那些有了相同发现的西方著作。因此，从历史的角度来看，研究中国古代数学教育是非常有意义的事情，它还可以帮我们窥见中国数学家和教育家的伟大成功之处。虽然现如今的中国数学教育很大程度上受了西方影响，但是古代中国创造的思想和方法论仍然为现代数学教育提供了许多借鉴。因此，从教育的观点来看，研究古代教师们去教数学是非常重要的以至于从他们的教学经验中去学习，甚至将他们方法论的一部分应用到现当代的课堂教学。
在最近几年里，有大量的报纸，文献等集中研究中国古代数学教育中的各个方面以及例子。数学经典著作例如：《周髀算经》（所罗门的算数经典和天堂圆路），《九章算术》（数学艺术上的九章内容）都已经被翻译成英语，这样的话，更多的人们能够接触到这些著作。除此以外，也有许多的文章和书籍讨论中国古代数学的学术和教法。简单的来说，关于中国古代数学教育的研究已经不再局限于那些经典的案例，例如一些中国数学家们的故事或者在数学问题的零星的讨论像吾不知其数（中国的剩余定理），勾股定理（中国版本的毕达哥拉斯定理）。
克罗斯，一个著名的意大利历史学家，宣称：“无论多遥远的事件似乎被当时的人们多么及时的重新估量计算，真实的历史也依旧有关那些事件发生过程中现当代的需要以及现当代的情况”。他还指出无论那些历史著作可以给现在的我们多少灵感“这本书的历史意义对我们而言是无趣味的这件事情还是时不时会发生的......直到它能够突然性的和我们的生活建立联系，或者通过那些我们从系列课程中学到的经验，或者通过与其相关的而我们天生具有的那些新技能，并且能够发现其中和之前那个时代间或多或少的相似之处。”同样的方式下，中国古代社会就非常推崇和践行“从旧材料中获得新想法”的这种观点。古代中国一直非常重视回顾已知的事实和过去的经验以便于我们获得新的知识的领悟。在一个更宽广的层面上，中国人民甚至会强调在他们国家发展的过程中，历史作为反映借鉴途径的重要作用。
在这篇文章中，我们将会主要的探讨两个关于中国古代数学教育的基本问题：
- 中国古代数学教育的哲学体系和原理究竟是什么？
- 在那时，这些教育哲学理论是如何影响中国数学教师们采取的方法论和教学法的？在古代中国，这些由这套教学哲学体系影响产生的数学教育有什么特征呢？
我们将会尝试在部分二里给出第一个问题的答案，对于第二个问题，我们会研究在古代中国数学著作中的大量例子以至于得到一个关于那个时代的数学教育的大致情像。
- 中国古代数学教学的想法
作为一个“六艺”中的一门课程，数学是中国古代教育的一个不可缺少的部分。中国古代的数学教育和其他的古代中国教育学科有着一样的原理。换一句话说，中国古代数学教育中蕴含的哲学体系同样也是其他中国古代教育学科的灵魂。中国古代数学教育深受儒家学说，道家学说，法家学说等思想的影响。自从汉代儒家成为官方正统的教育思想，我们可以说儒家思想是中国古代数学教育最重要的哲学指导思想。这也同样显示出了：中国古代数学教育对于“尊重教师和尊重真理”“教学相长”这些永恒主题的重视。在这个方面，这一章节的第一个作者在他的著作的第一部分详细介绍了中国古代数学教育的价值。大致的来说，中国古代数学教育有以下的哲学体系和原理：
- 强调了既包括了学生也包括了老师的重要地位。这个原理转而反映在了以下的原理之中：
- 教学要依据学生的能力和兴趣进行。
- 强调对学生的启发和诱导
- 强调思考和学习的过程同样重要；
- 归纳推理：学生被鼓励通过学习许多例子来理解潜在的数学定理，以便于以后面对新却相似的问题时，他们可以独立解决。
首先，中国古代数学教育在教学过程中倡导既包括学生也包括老师的重要地位。从中国古代开始，教师就被社会大众给予了很高的尊重，在中国的各个民族中享有很高的社会地位。这里有一些关于这方面的中国古代哲学家的精辟论述： 记录在《礼记.学记》中的：
“当能够确保给予教师适当的尊敬，那么那么这个教师极力主张的课程也会被认真对待。当课程被尊重的时候，人们就会知道如何尊重学习。”
《荀子.大略》：
“ 当一个国家处于全盛的阶段，那么必然会珍视老师并且重视学习的深度......当一个国家不断衰败，他也必然会轻视和忽视教师。”
《鸣沙石佚书，太公家教》：
“一日为师，终身为父”
谭嗣同：《淮阳算学馆增订章程》：
“作为一个以学习为己任的学生，没有什么比尊重老师更重要了”
“尊重真理”意味着将知识原原本本的呈现给学生们，并且除非能够确保学生的优势地位，否则这样的陈述不会被认可。然而，有些人把这误以为是否认了在教学过程中学生的重要地位。对学生严格要求和否认学生的重要地位是不等同的。
在教学这个方面，孔子强调了教师的奉献精神以及“默默珍惜知识；学无止境”的态度。（《述而》）。他还主张在教学中松懈是老师的失误，学习的重要性和宝石打磨的过程是类似的：未加工过的宝石是没有什么价值的。如果一个学生没能够学好，老师得一定程度上为这件事负责。因此，教师应该把在教学过程中起领导作用看做是自己的责任。
在中国古代的教育体系中，重视学生的地位可以看做是教学要依据学生的能力，性格和兴趣这一要求的反映。教育通过学生的看法和需要得以开展进行。为了达成这样的目标，教师应该充分了解学生本身。季康曾经问孔子：一些孔子的学生是否能够适合政府工作人员的候选人，孔子能够明确的回答说，他的学生孔由是果断的的，子贡是聪慧的而冉秋是有才能的，所以他们三个都适合成为好的官员。
重视学生的地位同样可以反映在重视对学生进行启发诱导教学这一方面。教育不仅仅是机械背诵那些事实和定理而是它应该促进学生对于那些事实和定理的理解以至于学生可以恰当地将它们运用在新环境中。为了达成这个目标，学生必须积极主动的思考所学材料，而教师应该帮助激励同学们主动积极思考这个过程。特别的，当学生提出一个问题时，教师应该慎重考虑是否应该给学生答案，应该告诉学生到哪个程度。在这个方面。孔子给出了三个一般地评判准则。他不建议回答学生的问题除非（1）他们渴望去学习；（2）他们渴望去自己解释这个问题；（3）在给出这个困境的一些提示线索后，他们能够更深层次的理解这个问题。在这一章节的接下来的部分中，我们可以看到一些中国数学家们也同意这些准则。在他们的个人传记中当给读者建议时，他们会简单的重复这些。
在两千多年前，“教学相长”这一理念就被孔子宣扬广大。这是一个简明地强调学生的主体地位和教师的主导地位的教育学原理。简单的来说，孔子倡导教与学是一个互相进步成长的过程，教师和学生之间可以建立交流并且这样的提升既可以发生在教育中也可以发生教师的自我教育中。“教学相长”这一理念否决了单纯的“学生中心”论或者“教师中心”论，而是在教与学之中倡导一种平衡和和谐的状态。这一理念在各种教学方案中以不同的方式被不断地重申提及。例如：“三人行，必有我师焉”（《述而》）；“是故弟子不必不如师，师不必贤于弟子，闻道有先后，术业有专攻。如是而已。”（韩愈《师说》）。“教学相长”一直是中国古代数学教育实践和发展的支柱。
在学习这个方面，孔子提倡学习和自主思考相结合：“学而不思则罔。思而不学则殆。”（《论语》）正如一句中国的俗语所说的那样：“师傅领进门，修行在个人。”所有的这些例子都鼓励发挥学生的主动性。总的来说，学生应该既重视学习也重视自主思考。
我们还应该指出，对于上述的从（a）到（c）的原理和体系的形成，其他的哲学体系例如道家理论，墨家理论，法家理论同样有意义的作用。其中一个就是“王”氏思想，里面有许多详细的参考物。
“教学相长”的理念同样可以反映在教师和学生的交流之中，这一点和苏格拉底的启发式教学法相类似。许多中国古代数学教育的经典案例都是以交流和讨论的形式下面这个来自《周髀算经》的例子将会生动的说明这个观点。
很久以前，荣放问陈子：“老师，我最近听到了关于您道的一些问题。您的道真的可以理解太阳的高度和尺寸，通过太阳的辐射，它日常运动的数量，最大最近距离的数值，人们视力的界限，四个极点的限制，星星的预定运动轨迹，天和地的长度和宽度对此来进行说明吗？”
“这是真的。”陈子说。
荣放问：“虽然我不是才能卓绝的，老师，但是我还是希望您给我一个解释。像我这样的人可以学习道吗？”
陈子回答说：可以的，任何的事情都可以通过数学来解释。如果你真诚地反复思考这个问题，那么你在数学方面的才能是理解这个难题的关键要素。
接着荣放回家去思考了，过了几天之后他还是不能够理解，然后他就回来见陈子问说：“我已经想了许久就是没有答案，那么我还要冒险去探索更多吗？”
陈子说：“你的想法是一直围绕这问题，却不是足够成熟的。这就意味着你还不能够抓住测量和上升高度的测量方法，并且在数学方面你不能将这个范畴进行延展【不能够类推的思考相似的问题】。这是因为知识的局限性和思想的不足性。现在在所有道里蕴含的方法中，有一些表达简洁但却涵盖关于这了范畴重要理解的许多应用的想法。如果有人知道了其中的一个范畴，并且将这个知识运用到一个多数时间中，那么我们就称他是懂道了。现在你在学习的是数学方法，这就要求你理解的运用。尽管你有困难，因为你对于这类范畴的理解是过于基础的。使理解道的方法变得困难的原因是当人们在学习道的时候，他担心缺少深度；当有了深度之后，他有担心缺少实践；当有了实践之后，他有担心缺少理解的能力。因此一个人要在和其他方法比较的基础上学习相类似的方法，一个人却在比较的基础上检验事件的 相似性。这些差异就是拙笨和聪慧的文化人，有价值的和无价值的人之间的区别。因此，区分类目范畴是一种能力，这可以帮助我们合并那些有价值的学术遗产的实质以及如何将他自己运用到那些理解实践中。当一个人在学习相同的学术遗产的时候，却不能够理解它的精神内核，这就表明这个无价值的人缺少智慧并且不能够将他自己运用到这些遗产的实践中。所以，如果你不能将自己投入到数学的实践中，那么为什么我还要用道来迷惑你呢？你必须反复思考这个问题。”
荣放再一次回家思考这个问题，但是几天后，他还是不能够理解。之后他再一次回去找陈子询问道：“我已经充分运用了我的所有能力，但是我的理解力还是不能够走得那么远以及我的精神也不不足够。我还是不理解，我恳求您给我一个解释。”
陈子说：“再坐下来，我会告诉你的”荣放回到了他的座位并且重复了他的问题......
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