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关于欧拉函数的平均除数
Florian卢卡国家自治大学数学研究所。58089墨西哥米却肯州，墨西哥莫雷利亚
卡尔·波默朗斯数学系汉诺威达特茅斯学院，NH 03755-3551，美国carl.pmerance@dartmouth.edu
March 3, 2006
我们让(p(-)和t()分别表示欧拉函数和除数函数。本文研究了在区间[1，x]中n个值域时t(^(N))的平均值。
数学学科分类：11N37关键词
除数，欧拉函数
第一位提交人部分得到了安哥拉和平协会104505号赠款的支持。第二位作者部分地得到了国家科学基金会资助的DMS-0401422的支持.。第一位作者访问达特茅斯时，这项工作已经完成。 作为夏皮罗研究员的大学。
对于正整数n，设^(N)表示n的欧拉函数，设T(N)，u(N)和0(N)表示n的除数，n的素数和素幂divi的个数。 分别为n个变量。有许多论文讨论了^(N)的算术性质，其中许多是受到1935年鄂尔多斯[5]开创性论文的启发。特别是在[7]中 (另见[6])，考虑了^(N)的素因子的正规数。自Hardy和Ramanujan以来，u(N)(或0(N))的正常值为log log n，而自Erdos和Kac t则知道。 HAT(/(N)-log log n)/\/log log n的/=to或0的高斯分布。在
- 证明了y？(N)通常有~-(Ioglogn)_2素数因子，不论是否存在多重性。此外，对于
对于f=u和f=0。在[2]中，证明了0(^(N))-u(p(N))的正常值是log~log n log log log n
注意，要证明T(N)平均为logn是一个简单的练习。也就是说，
然而，从Hardy和Ramanujan来看，由于2w(N)lt;T(N)lt;2n(N)，我们知道
对于大多数数n，T(N)=(Logn)log 2 o(1)，其中log 2=0.693
对于大多数数n，T(N)=(Logn)log 2 o(1)，其中log 2=0.693
因此，人们可能会怀疑，平均而言，T(^(N))略大一些。T(^(N))的平均阶数大得多，这也许有点令人震惊。
我们的主要结果如下：
定理1.。让
然后，估计
对于大实数x，其中c^(X)是区间中的一个数。
Y是欧拉常数。
我们指出，上面的定理1已被用于证明[9]中定理1的证明，从而给出了与Artin猜想有关的关于复合模的平均一和的一个尖锐误差项。
回想起来，n的Carmichael函数，有时也称为n的普适指数，由A(N)表示，是可逆元素模n的乘法群的指数。如果 n=pi1...是n的因式分解，那么
如果PV是素数功率，则A(PV)=PV-1(p-1)，但当p=2和vgt;3时，则A(2V)=2V-2。
很明显，A(N)^(N)和ogt;(A(N))=ogt;(0(N))。文[2]研究了函数0(^(N)/A(N))=0(^(N))-0(A(N))。除了上述0(^(N))-ogt;(^(N))上的结果外，还显示了 在[2]中
关于一组n的渐近密度1。
在最近的论文[1]中，Arnold写道：“实验研究几何级数的周期T所提供的数^(N)的不同因子是如何分布的。 残数模n.“。很明显，数T仅在A(N)的除数上。我们有以下结果。
定理2.。让
(i) The estimate
(i) The estimate
(i) The estimate
适用于大实数x，其中c(X)是(2)所示区间内的一个数。
作为x^to。
关于定理2的(Ii)部分，我们怀疑即使是更尖锐的估计
作为x^to，但我们无法证明这一说法。
我们提到，在[3]中，在研究稀疏RSA指数的过程中，我们发现
(见[3]，第347页)。特别是，对于两个素数乘积的正整数nlt;x上的函数T(^(N))的平均值，在上面有一个log 2x/l的常数倍数有界。 oglog x.
我们的方法也可以应用于研究其他乘法函数值的平均数作为除数。例如，假设f是一个乘性函数。 证明了k次的多项式pkGZ[X]具有P1(0)=0，使得f(Pk)=pk(P)对所有素数p和所有正整数k都成立。对于任何正整数n，我们将命令 e t(f(N))表示非负整数f(N)的除数，按t(0)=1的惯例。在这种情况下，我们的方法表明，存在两个正常数a和p，依赖于o。 只对多项式P1，这样的估计
对于某些数为c(X)G[a，P]的x的大值成立。特别是，如果用函数a(N)代替函数^(N)，则与(1)相同的估计成立。实际上，下限正好跟随 就像定理1的证明一样，而对于上限定理，只需要稍微调整一下我们的论点。
在结束这一节时，我们指出，研究其他整数值算术函数f(N)的除数的平均值是很有趣的。我们提到 HREE实例。
设agt;1为固定正整数，f(N)为模n的乘法阶，若a与n是互为单位，则f(N)为模n的乘法阶。我们记得，函数ogt;(f(N))和0(f(N)) [11]Murty和Saidak.。研究T(f(N))与T(A(N))的平均阶数是很有意义的。
设E是Q上定义的椭圆曲线，设f(N)是素数幂pk=pk 1-apk的乘积函数，是有限域ffk上pk el上定义的E点数。 包括无穷远点。
设f(N)是Ramanujan“T函数”，它是形式恒等式中的qn系数。
我们认为，对于这些函数f(N)和由模形式产生的其他乘法函数，研究f(N)的平均除数是很有意义的。也许方法 本文从处理“n”的“易格”这一点出发，对大家有所帮助。在这里，一个相关的论文是由Murty和Murty [ 10 ]，[ 12, 13 ]，在Serre工作的建筑，功能gt;（f（n））是分析 d，f（n）是Ramanujan T函数。
在本文中，我们使用C1，c2，...来表示可计算的正常数，用x表示一个正实数。我们还使用了Landau符号O和o，Vinogradov符号^和^以及th。 e等数量级符号x及其通常的含义。对于正整数k，我们使用logkx来表示递归定义的函数log1x：=max{logx，1}和logkx：=max{log(logk-1(X))，1} 其中log表示自然对数函数。当k=1时，我们简单地将log1x写成logx，因此我们总是理解logxgt;1。我们为素数写p和q。
两个正整数a和b我们为a和b的最小公倍数写[a，b]。
致谢。作者感谢匿名裁判员仔细阅读了手稿，并提出了提高论文质量的建议。
2
在这一节中，A、AI、A2、A3、B和C是正数。我们写z：=z(X)，表示实正变量x的函数，它趋向于以一种更多的方式与x一起无穷大。 精确到下面。我们写pz：=nplt;zp。本节的结果可能比所述的范围更大，但目前的公式对我们的目的来说已经足够了。
对于任意整数ngt;2时，我们分别对n的最小素数和最大素数写出p(N)和P(N)，并设p(1)=to，P(1)=1。
在^中隐含的常数最多取决于A。
(2)设A，AI，A2gt;0为任意正数。设u是p(U)gt;z，ult;Logalx和t(U)lt;A2的正整数。有存在字母x,罗马数字10
B = B（A，A1，A2），如果QPz有bdquo;，然后
logBx
^中隐含的常数最多取决于A、AI、A2。
证据。请注意
其中YNi：=Mn1)如果P(N1)lt;z，反之为零，而SN2N2lt;Q同样，
其中yni：=yni和s1n2：=0如果u/n2，则它是集合{dlt;qi[d，u]=n2}的基数。请注意，如果n2lt;q，则sn2=t(U)^1是常数(即不依赖于n2)pro。 证明SN2是非零的。与[4]定理9的证明中所用的论点相同，得出的结论是，(5)和(6)最多都是x/洛嘎x的数量级，条件是B_i。 S适当大(分别为A和A、A1和A2)。现在(3)和(4)从(5)和(6)开始部分求和，并利用这些和最多为x/数量级的事实。 Log '4 x.-
从现在到本文的结尾，我们用C1来表示常数e-7，其中Y是Euler常数。
引理4.。设Agt;0和1lt;zlt;(Log X)A
和
上述Olsquo;s所隐含的常数仅依赖于A。
证明。写
用布伦的筛子(见[8]中第68页的定理2.2和第82页的定理2.5)，我们有
和
我们现在假设zlt;xl/log3x。使用部分求和，我们有
清楚地
据估计(9)。我们在xl/log2x处破坏积分。根据估计(10)，我们得到
对于第二个范围，我们使用估计(9)得到
收集所有的估计(11)-(13)我们得到
当zlt;(Logx)A时，上述误差在(7)上是有界的，如引理的假设。
对于(8)，请注意
当d=1，^2(D)/d^(D)=1时，当dgt;1时，由于p(D)gt;z，则如下
上面最后的估计是兰道造成的。因此
从而完成了引理的证明。
设z(M)是dz(M)中m的除数。
引理 5 ，然后有
和
其中，上述O中隐含的常数仅依赖于A。
证明。设ylt;x是任意正实数。我们的计划是估计Rz(Y)，从而证明(14)，然后用部分和来证明(15)。
既然
最后的估计来自Brun-Titchmarsh不等式。(推论1在[4]中给出了一个更精确的估计。)。当y相对较小时，我们将使用这个估计值。总的来说，
现在假设ygt;ez log2z。我们把B写成一个常数，待定。如果y是大的，那么我们将出现在rz(Y)中的和除以，那时,
注意，如果dgt;q和plt;y是p=1(Mod)的素数，则p=1du，ult;y/q=pz logB y。因此，
通过Brun-Titchmarsh不等式，我们得到
上面的最后一个不等式成立是因为ygt;ez logz。我们现在处理R1。我们声称
如果选择合适的B，则保持不变。
事实上，请注意，根据包容和排除原则，我们
因此，
其中ez(Y)已在引理3中定义。引理3，估计
任何Cgt;0的值都成立，条件是选择B对C足够大，我们设置C：=2，我们得到(19)。自
因此，z^q/log 2 q，因此我们有权适用引理4，并得出如下结论：
结合(17)-(20)，我们得到
当ygt;ez log z时成立，这特别证明了估计(14)。要达到(15)，我们现在只需使用部分求和来得到
上面的第一个积分是，(16)，
上面的第二个积分是，(21)，
及(15)现由(22)及(23)起-
引理6.(I)设A和z与引理5和1lt;ult;x是p(U)gt;z的任何正整数。然后
- 设A1gt;0，0lt;A2lt;1/2，ult;Logal x和logA2 x
假设p(U)gt;z。然后
和
隐含常数最多依赖于A和A1，A2。
证据。为了证明不等式(24)，我们用整数和n替换素数和p，这样，
因此,
在上面的不等式中，我们使用了Lemmas 4和5。
对于不等式(26)，让我们首先注意到，在(Ii)条件下，我们有q(U)^1，因此，T(U)^1，以及
在这样的正整数u和所有正整数d中一致保持。
- 的证明现在紧跟(15)的证明方法。也就是说，设x很大，假设z是固定的，对于ylt;x写
设w：=exp 注意，对于大x不等式
每当你gt;W.。对于ylt;w，我们使用平凡不等式
现在假设ygt;w。由于logygt;log1/3x对大x成立，ult;Logalx，则得到ult;log3Aly。我们把B写成常数
后来确定，我们将出现在ru z(Y)中的和除以
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