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神秘的Meissner体
某些三维凸体具有一个违反直觉的性质：它们具有等宽性。在这个特殊的方面它有点类似于球体。从Meissner体在一个世纪前被发现以来，它经常被用来推测给定的等宽体的最小体积。但是，这个推测一直是开放的。现在我们通过介绍它的历史和最近的发展来看一看这个具有挑战性的问题。
Hilbert和Cohn-Vossen在他们的著作《几何和猜想》中列出了球体的十一条性质，并且讨论了其中哪一个足以唯一确定球体的形状。其中的一条性质被称作等宽：如果一个球被挤压在两个平行支撑面之间，它能够任意方向旋转并且总是与两个平面接触。正如读者所想到的，还有许多其他的凸集具有这种等宽性。为了表明它们与球体具有相同的性质，这种三维物体有时被称作spheroforms。
某些三维等宽凸集具有旋转对称性。它们由具有反射对称性的等宽平面集绕着对称轴旋转而得。图1中的图取自出版商Martin Schilling1911年出版的数学模型目录。在Felix Klein等数学家的影响下，这样的模型是为了教育目的而产生的，其中的许多模型是由石膏做成。图一似乎是最早展示一个非平凡的三维等宽体的图。这个几何体是由鲁洛三角形绕着它的对称轴旋转得来。这本Schilling目录也宣传了另一个旋转体和一个等宽的非旋转体。它的数学描述的作者是Ernst Meissner，并且获得了Friedrich Schilling的帮助，不要把作者与这个目录的编辑者Martin Schilling混淆起来。因为Meissner似乎发现了这个几何体，因此称之为Meissner体。尽管很明显的是它的构造可以导致两个不全等的等宽体，但Meissner只明确的描述了其中一个（关于细节我们参考下面的“证明假设”一段）。由于这两个几何体的构造相似，因此人们常说这个Meissner体。
最早的石膏Meissner体的印刷照片，也就是在Schilling目录中描述的，能够在《几何与猜想》的1932年的德国版中找到，如图2所示。Meissner提及的三种等宽体的照片能够在最近的出版物中找到。这些数学模型一定卖得很好，因为它们仍然可以在许多数学系的陈列柜中找到。例如，它们不仅可以在许多德国大学找到，还可以在美国哈佛大学甚至东京大学找到。
当然，等宽体的数量远超过目前提及的四种。在巴黎的探索皇宫的展览“Pierres qui roulent”中展出了一个非常不错的收藏品（见图8）。除了一些旋转的鲁洛多边形（两个三角形，四个五边形），它还展示了两个Meissner体，都属于同一种类。
当然，还有许多其它类型的非旋转等宽体。对于它们的构造可以看以下文献：[36]、[24]、[31]和[2]。
在本文中，我们的注意力主要集中在三维场景中。读者能够在优秀的平面和更高维度的等宽集合的调查中找到更多的材料，例如，CHakerian和Groemer的文献[12]、Heil和Martini的文献[21]，Bohm和Quaisser的文献[7,第2章]。
如上所述，有两种不一样的Meissner体，和（它们的构造会在接下来进行描述）。它们不仅有相同的体积和表面积，还被推测是所有的给定等宽三维凸体中体积最小的。
我们未能找到Meissner自己明确陈述这个推测的记录，但似乎他已经才想到他的这种几何体具有最小的体积。而Hilbert和Cohn-Vossen在他们1932的书中没有对这个方面作出评论，但两年后Bonnesen和Fenchel提到了这个推测。从那个时候起，这个猜想就被一遍又一遍地提出。例如，Yaglom和Boltyansky在他们的书《凸图形》的所有版本中都提到了这一点，从1951年俄罗斯版“predpolagaiut”,经由1956年德语版“es ist anzunehmen”,再到1961年英语版“我们将没有证据”。
另一方面，有人认为在所有等宽三维体中使体积最小的几何体必须具有一个正四面体对称群，这是Meissner不具备的性质。这种想法最早是在20世纪70年代由Danzer提出的，正如Danzer在私人交流上向我们证实的那样。
顺便说一句，Minkowski计算的和，这在转换成的过程中得到，这提供了一个具有四面对称性的几何体。事实上，和具有相同的宽度。但是，根据Brunn-Minkowski不等式，它的体积要比Meissner体要大。可以看出，它的体积比Meissner大2%。
每个二维凸集都可以近似为凸多边形。类似地，每个二维常宽凸集都可以用圆弧和常宽鲁洛多边形近似。如果所有的弧都是相同的长度，那么其中一个就有规则的鲁洛三角形、五边形等等。但要生成一个常宽的平面凸集，并不需要所有的圆弧都具有相同的长度。注意到图三有四个圆弧为界。
当一个常宽的平面集是关于某个轴对称的反射时，它可以围绕这个轴旋转生成一个等宽的三维集。一个旋转的正则鲁洛三角形生成图一中的几何体，并且如果旋转一个适当的非正则的鲁洛四边形或一个鲁洛梯形，将得到一个类似于图四的几何体。它们不仅是旋转体而且是常宽的三维集。
根据Blaschke-Lebesgue定理，鲁洛三角形是所有给定宽度凸领域的面积最小的。因此，可以预测，图一中旋转的鲁洛三角形是所有给定宽度的旋转体中体积最小的。直到最近，这一长期存在的推测才得到证实。
常宽d的平面鲁洛三角形是由这样构造：三个半径为d的圆的交，且每个圆心在等边三角形的每个角上。类似地，鲁洛四面体是由这样构造：四个半径为d的球的交，且每个球心在边长为d的正四面体的顶点上。它由四个顶点，四个球的部分和六个曲边组成，且每个曲边是两个球的交。
当鲁洛四面体被压缩在两个平行平面之间时，一个顶点接触一个平面，相应的球面接触另一平面，他们之间的距离为d。但是，当平面接触的两个对边时，平面之间的距离必须略微增加到1.025倍。这就意味着的宽度不是恒定的而是取决于它的方向，增加到2.5%。顺便说一句，正如Meissner在[27,p.49]提到的，球是唯一一个只被球形约束的等宽体。因此不同于球体，它应该并不是常宽的，并且事实上，它确实不是常宽的。
然而，可以被用来作为常宽集的起点。根据Meissner的观点，一些边必须通过以下的步骤来四舍五入：
- 假设有两个平面以下面的四面体的侧面为边界。移除位于两个平面之间的楔块，该楔块包含鲁洛四面体的曲边（如图5）。
- 平面与的交包含两条圆弧，这两条圆弧在楔块的两端相交，其中一条圆弧绕着四面体的相应边旋转。这就产生了一个纺锤形的表面，一个纺锤环面。
- 注意到现在这个尖边已经成为一个可区别的表面，即使在纺锤环面和球形部分的边界
根据这个过程，在将的三条边四舍五入成一个点后，可以得到第一种Meissner体（如图6，左图）。第二个Meissner体是由的一个面周围的三条边四舍五入得来（如图6，右图）。每个Meissner体都有以下特征：四个顶点，三条圆边，四个球面和三个环面。这些几何体都有相同的体积和表面积，并且它们绕着一个合适的轴旋转120°以下都是不变的。我们可以从文献[38]看到和的电脑动画。
Meissner接触两个平面有两种可能的方式：一个是接触点位于顶点，正相反的接触点位于几何体的球形部分；另一个是接触点在尖边，正相反的接触点位于几何体的曲边。
如果与尖处相交，非曲边与曲边相反与尖边正交，那么它们的常宽就非常明显了。在这个平面中原始四面体的边来自与图三中相似的等腰三角形。Meissner用傅里叶级数展示了他的这种几何体的常宽。和Hurwitz一样，他最初研究的是一个正多边形上的凸闭合曲线，在曲线旋转的过程中，它始终与多边形的所有边相切。现在这种曲线被称为转子。跟着Minkowski，Meissner用他们的支撑函数描述了这些曲线。这些都是周期的并且在傅里叶级数是可以展开的。用这种技术，他最终成功地描述了所有正多边形的转子。在三维空间中，用类似的技术，他能够确定立方体的转子为等宽体。他甚至证明了不只立方体存在非球形转子，正四面体和八面体也具有这样的转子。
在这个章节，我们给出一些数值结果，这些结果关于Meissner体的体积和表面积。两种Meissner体和的体积是一样的，它们的体积如下
可以从以下文献看到：[12,p.68]、[7,p.71]、[35,A137615]和[31,p.40-43]。因此我们不会去区分和。Meissner体的体积大约是直径为1，体积为的球的80%，并且比旋转的鲁洛三角形的体积还要小，这里给出的体积：
在文献[10]和文献[35,A137617]可以看到。正如我们目前所知，常宽为1的几何体K的体积由Chakerian在1966年给出，如下：
可以在文献[11]和文献[24]看到。
两种Meissner体的表面积也是相同的，我们在下面给出：
我们可以在文献[12,p.68],文献[7,p.71]和文献[35,A137616]中看到。在三维空间中，常宽为d的几何凸体K的体积和表面积与Blaschke的等式是有关的，我们可以通过文献[5,p.294]和文献[12,p.66]找到以下关系：
由于在中是单调递增的，找到体积最小的集合的问题就等同于在所有等宽凸集合中找到K的表面积（或广义周长）最小的集合。顺便说一句，这与二维的情况形成了鲜明的对比，根据Barbier定理，所有常宽为d 的集合都是等周的，它们有同样的直径d。（可在文献[3]和文献[8,p.139]看到）
Meissner体的表面的主要部分是由半径为d的球的部分组成。这个曲边有一个arccos（1/3）的旋转角和它们的小主曲率是相等的，且为1/d。它们的表面积如下：
换句话说，Meissner体的非球形部分的面积大概占整个表面积的11%。
为什么我们会相信Meissner体是所有三维常宽凸体中体积最小的呢？我们有超过一百万个不同的理由。显然，这个推测长期未被解答的事实表明我们很难找到一个反例。但是支持这个推测的原因不止一个。
2007年，Lachand-Robert和Oudet提出了一种方法，可以在任何维度建造各种各样的等宽体。（我们可以在文献[24]中看到）对于平面域，这种构造方法可以归结为1930年Rademacher和Toeplitz的方法。（我们可以在文献[33,p.175f]中看到）他们的算法从一个任意（n-1）维的常宽体开始，最终到达n维常宽体，是以做一个中间过渡部分。2009年，它被用来随机生成一百万个不同的等宽体。（参考文献[31])它们之中没有一个体积比Meissner体更小的了。
但是应当被注意到的是，虽然算法能够从一维区间生成二维常宽集，但它不能生成所有的三维常宽集，但只有那些有相同宽度的平面。在文献[14]中，Danzer描述了常宽d的集合，它的每一个横截面的宽度都小于d。
最近，分析人员尝试确定体积最小且宽度给定的凸体M必须满足的必要条件。这种几何体存在遵循变分演算中的直接方法和Blaschke选择定理。
让我们看一下M的边界和是同一种类。如果是的话，我们应该考虑一下以下的关系：
通过建设，因为我们的假设是平滑的，是一个常宽为的几何体。因此它的平均宽度为。如果将按的线性因子放大到一个集合，那么它的体积是：
并且也常宽为d。现在显示可以的体积比M的体积小。事实上，当时，或者等同于，那么的体积比M的体积小。因此对于足够小的，体积保持在原始M的体积下，这与M的体积相矛盾。也就是说，没有是最小的体积。
在2007年一个更强有力的结果显示：任何两个体积最小的不能同时在两个对点处（接触点）光滑。话句话说，挤压在两个平行平面之间，与平面的一个接触点一定是一个顶点或者是一个尖边的点。正如之前已经提到的，Meissner体具有这种性质。因为旋转的鲁洛多边形也具有这种性质，所以这个结果也支持这个推测且无需证明。最终，在2009年，变分论证表明体积最小的常宽为d的几何体具有这种性质：它的表面的任何部分具有小的主曲率常数，且等于1/d。（参考文献[1])同样，Meissner体也满足这个性质，因为它们是由球面和环面组成，它们的主曲率更小。
本文发表后，我们在与国起的个人交流中了解到，国起和金海林已经发现了Meissner体的另一个显著的性质。众所周知，常宽体的内接圆半径r和外接圆半径R合计为d。这两个半径的比值R/r是用来衡量一组不对称集合，并且国起和金海林的观察（在所有的三维常宽体中）是最大的Meissner体。这些比率。事实上，在给定d的情况下，R被Meissner体最大化（参见文献[18]的例子），并且因此r被最小化更不用说R/r被最大化。从这个意义上说Meissner体更为纤细并且比其他常宽d的几何体体积小。
所有这些结果似乎表明，在这个猜想得到证实之前，一个世纪不会过去。
是谁发现了这个体积最小的几何体？Ernst Meissner于1883年的9月1日出生于瑞士Zofingen的一个制造商家里。他在Aarau读中学，那里的数学老师和爱因斯坦之前的老师一样，都是Heinrich Genter.我们在下面描述一下Ganter的教学风格。“他是一位优秀的数学家，但据他自己估计，还不足以从事高等数学方面的事业。但他能教书，这是许多投机的绅士所不能做到的。Ganter从未对我们有过侮辱性的对待，而是把我们当作男人来教育。”Meissner自己描述他的老师是“作为一名教师，不仅传递信息给学生为将来的职业做准备，而且培养学生的品德和心灵，使学生做一个真正的文明人。如果所有的老师都像Ganter一样，那么就根本没有必要进行学校改革。”（参考文献[15,p.91]）
1915年11月18日，Meissner在苏黎世市政厅做了一次公开演讲，从中可以明显看出他对教学的献身精神
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