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Z2拓扑序和量子自旋霍尔效应
C.L.Kane and E.J.Mele
Department of Physics and Astronomy, University of Pennsylvania, Philadelphia, Pennsylvania 19104, USA
(Received 22 June 2005; published 28 September 2005)
量子自旋霍尔(Quantum spin hall, QSH)相是由时间反演对称性保证的，在块体内部具有带隙，边界可以传输电荷和自旋的无带隙电子态。我们利用一种新型Z2拓扑不变性来区分拓扑绝缘体和一般绝缘体。依赖时间反演不变定义的哈密顿量的Z2分类非常类似于量子霍尔效应中的Chern数分类。我们在石墨烯中建立了两能带模型以描述QSH相中的Z2拓扑序，此外我们还提出了一种普适的形式以应用于多能带和相互作用体系的研究中。
依据拓扑不变性的电子态的分类是一个有力的工具来理解拥有块体带隙的多体相。这个工作的先驱是Thouless, Kohmoto, Nightingale和Kijs [1](TKNN)，他们确定了无相互作用的整数量子自旋霍尔效应中的拓扑不变性。通过在整个磁性布里渊区积分Bloch波函数和对应的环面上U(1)主纤维丛上的第一Chern数类来确定给出每一条能带的量子霍尔传导的TKNN整数n[2,3]。推广到相互作用系统中，可以通过考虑多体系统基态对相位扭曲的边界态的敏感性来得到一个等价的公式[4,5]。这种拓扑分类利用量子霍尔态区分简单绝缘体并解释了霍尔电导对低阶相互作用和弱无序度的不敏感性。非零的TKNN整数也立即与样品表面存在的无带隙边界态联系起来[6]。
由于霍尔导体破坏了时间反演(T)对称性，TKNN整数在T不变的体系中必须为零。然而，我们最近已经证明在单层石墨烯中自旋轨道耦合相互作用导致了T不变量子自旋霍尔(QSH)态在样品内部有带隙，在边界上存在一系列的依赖于自旋的无带隙边界态[7]。在最简单的模型版本（平面上具有镜面对称的电子紧束缚近似模型）中，垂直的自旋分量 守恒。我们的模型退化成为具有每个独立的自旋副本的Haldane模型[8]，即使平均磁场为零这个模型依然具有整数量子霍尔效应。当Sz守恒时，石墨烯和简单绝缘体的区别就很容易被理解了。每个自旋都有独立的TKNN整数,。T对称性要求，但是的区别是非零的因此定义了量子化的自旋霍尔导体。
Sz不守恒项存在便会破坏这个特性。由于与其他能带的耦合、破坏镜像对称性、高阶相互作用或者无序度，这样的项将会不可避免的存在。尽管这些微扰的存在破坏了自旋霍尔电导的量子化，我们证明了由于Kramersrsquo;理论利用边界上打开的能带阻止了T不变微扰，因此这些项并不会破坏QSH态的拓扑序[7]。因此，即使单个被定义的TKNN数（总霍尔电导）为零，QSH的基态依然可以从简单绝缘体中区分出来。这表明在T不变系统中一定存在额外的拓扑分类。
本文中，我们阐述了QSH项拓扑序并引入了Z2拓扑指标来刻画T不变的系统。这种分类与TKNN分类相似，但是给出了应用于Bloch能带的更简单的方法用以从QSH项中区分绝缘体。它也可以被表示为对相位扭曲边界态的敏感度。我们将从描述石墨烯模型开始，证明即使Sz不守恒，但是QSH相依然是鲁棒的。然后我们将分析T不变性的限制条件并推导Z2指标。
考虑参考文献[7]中石墨烯紧束缚近似Hamiltonian，它归纳了包括自旋、T不变的自旋轨道相互作用的Haldanersquo;s模型[8]:
第一项是蜂窝晶格中最近邻原子间的hopping项，我们已经将自旋指标压缩在电子算符中。第二项是包括了含自旋的次紧邻hopping项的镜像对称自旋轨道耦合相互作用。此时, 和是沿着两条能带方向上电子态从j到i横移的单位矢量。Sz是描述电子自旋的Pauli矩阵。第三项是最近邻的Rashba项，它破坏了镜像对称性。这一项来源于垂直电场或者基底相互作用的存在。第四项是交错的子晶格势能()，用于描述QSH项和简单绝缘体的转变，这一项在平面中的两层旋转破坏了对称性。
当写作时，H时对角化的。此处s是自旋，R是由元胞矢量构造的bravais晶格矢量。是依赖于的子晶格指标。对于每一个k，Bloch波函数是Bloch Hamiltonian的矩阵元H(k)中的四组分本征矢。H(k)中的16个组分可以按照同一性矩阵被写作5个Dirac矩阵和他们的10个对易子[9]。我们选择Dirac矩阵的以下表象：，此处Pauli矩阵和代表子晶格和自旋指标。这个选择根据T整合了矩阵。T算符由确定。这五个Dirac矩阵在T下是偶矩阵，，同时这10个对易子是奇的，。给出Hamiltonian:
,
此处由表1确定。对于倒空间中的晶格矢量G，存在，所以H(k)被定义在环面上。H中的T不变性反映在下对于()的对称性（反对称性）。
TABLE I. 当, 时，方程（2）中非零的系数
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方程(2)给出了四条能带，其中两条是被占据了。对于在磁场下存在带隙。在的情况下，带隙主要由主导，体系表现为绝缘体。描述了QSH相。尽管Rashba项破坏了Sz守恒，对于在相图(Fig. 1)中有有限的区域绝热转变到QSH相在情况下。图1展示了绝缘体和QSH相zigzag条带晶格模型的能带[7]。在两相的转变过程中，能带沿着边界态“开关伙伴”关闭带隙。
边界态的行为清晰的标志了两个相之间不同点。在QSH相中，对于有带隙的块体中的每一条能带，在边缘上都有一对时间反演的本征态。由于T对称性阻止了Kramersrsquo;偶极子的混合，这些边界态在所有微扰下都是鲁棒的。即使空间对称性已经消失，这些无带隙的边界态依然存在（比如在（1）式中去掉C3旋转对称性）。更多的，低阶的无序度将不会导致边界态的局域性，原因在于单粒子弹性背散射被禁止了。
在绝缘态，边界态并不会逆转能带。对于某些边界势能，Fig. 1(b)中边缘态可能会下降到能带边界以下，从而减小或消除带隙。然而，这依然不同于QSH态，因为在每条能带中将必然存在偶数Kramersrsquo;对。这允许弹性背散射，所以这些边界态将会被弱无序度局域化。因此，通过边缘态模2的数目，可以将QSH相与简单绝缘体区分开。最近，二维版本[10]的自旋霍尔绝缘体模型[11]已经发现在高空间对称性下存在无带隙的边界态。然而这些模型具有偶数边界态对。接下来，我们应该看到它们与简单拓扑绝缘体等价。
FIG. 1. 一维zigzag型条带的能带：(a)QSH相，；(b)绝缘体相，。同时，。边界态在处有交叉。插图展示了当时，以和为函数的相图。
QSH相通常不被量子化的自旋霍尔电导所描述。考虑在圆筒形相反边界上的自旋聚集比例，这可以通过Laughlin的方法来计算[12]。通过圆柱表面绝热穿过磁流，可以引入一个弱的圆柱电场。每当流增加，每个动量本征态改变一个单位。由于价带已经完全填满了，在绝缘态(Fig. 1(b))中没有任何效应。然而，在QSH态，在费米能级处存在一个粒子-空穴对的激发。由于粒子和空穴态并没有同样的自旋，也没有在边界有自旋聚集。自旋聚集的比例被定义为自旋霍尔电导
此时，Sz的期待值由左边和右边在Ef处转移的态确定。由于边界态并不是必要的Sz本征态，自旋霍尔电导并不是量子化的。在绝缘体相下为零，即使在边界处EF有带隙。如果绝缘体边界态穿越EF，那么在干净的系统中边界上将出现自旋聚集（来自于边界电子对的响应）。然而，如果边界态是局域化的，那么这里将没有自旋聚集。因此，只存在于QSH相的零自旋聚集证实了量子（不是“量子化”）自旋霍尔效应效应。
在量子霍尔效应中，利用电荷极化可以区分穿越边界的零个或一个量子流。这两个态不能通过任意局域电荷守恒算符联络。然而，这些态是可区分的，因为在费米面上具有局域边界粒子-空穴激发的态不能通过局域T对称性算符与基态相联系。然而注意到如果增加第二个流，那这将会有T不变相互作用不与零流态联系。这表明具有一个增加的流的态可以被Z2“T极化”区分。
根据Laughlin的讨论，圆柱面上的量子霍尔态最初与Bloch波函数的TKNN分类有关[4]。为了建立与T不变系统对应的拓扑分类，我们考虑T将两个占据的能带从整个布里渊区环面上的二阶矢量束约束在Bloch波函数上。T在环面上引入了一种演化，使得将K和-K点处的能带区分开。波函数在该点处有以下关系，表明这一束是“实”的。由于，具有周期4，所以这一束是“扭结”的。这一束在数学上被分类为扭结的实K理论[13]，在扭结上有着Ztimes;Z2的分类[14]。第一积分给出了这一束的阶（也就是占据能带数）。Z2指标对应于实Dirac算符模2的指标[15]。接下来，我们将会从Bloch波函数精确构造Z2指标，并证明它可以将简单绝缘体从QSH相中区分。
T对称性区分了Bloch Hamiltonians, 的两个重要的子空间，以及对应的被占据的能带波函数。这些“偶数”的子空间，，在U(2)的旋转下等价于。从方程(2)可以很清晰的看出在这个子空间中。T对称性要求H(k)属于在Gamma;点处K=0的偶数子空间中。在奇子空间中，在基底下展开的波函数与在基底下展开的波函数正交。我们将研究这一系列的属于奇子空间的波矢K，并建立Z2分类。
通过考虑重叠矩阵，可以确定特别的子空间。利用的特性，可以很清楚的看出这个矩阵是反对称的，而且可能会被按照复指标展开为。实际上等价于Pfaffian
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对于2times;2反对称矩阵，简单的选取。我们接下来将看到当存在两个被占据的能带时Pfaffian可以自然的推广。并不是规范不变的。在U(2)的变换下，。因此P在SU(2)旋转下不变，但是在U(1)变换下,。在偶子空间中在U(2)旋转下等价于，我们选取。在奇空间中。
FIG. 2. 点处QSH相中的零值，在(a)时，以及在(b)当的椭圆上。(c)2times;2超胞中在QSH相（实线）与绝缘体相（虚线），该图利用Fig. 1(d)的参数：2times;2超胞中零值在点（）和线（）。在(a), (b)和(d)中加粗的点是T对称性不变的点，它不能是P的零点，C是方程（5）的积分路径。
如果没有空间对称性约束它的形式，则通过两个参数来调整P(k)的零点，通常零点出现在布里渊区的边界上。一阶零点出现在具有相反“涡旋”的相反的时间反演对的点处，此处P(k)的相指向相反的方向。对于的情况，通过P(k)一阶零点在单对的存在性来区分QSH相和简单绝缘体。我们模型中的C3旋转对称性约束K*在布里渊区的角落，如图Fig. 2(a)。如果不要求C3对称性，k*可以占据在除了四个对称点之外的每个位置。零点对的数目是Z2拓扑不变量。这个结论可以很容易的被证明：注意到这两对在时可以互相湮灭。然而，仅有一对零点则不能湮灭，因为他们必须在的Gamma;或M点相遇。如果T对称性被破坏，那么零点将会湮灭，QSH相的拓扑特性也将消失。
因此，用过计算P的复数零点可以确定Z2指标。这可以通过沿着半布里渊区中闭合的圈计算P(k)相的曲线来完成（我们定义这个路径使得k和-k不能同时被包围）。
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此处C是fig. 2(a)和fig. 2(b)中的路径。
当时（正如石墨烯体系），在结合T约束H(k)的形式并允许P(k)是实的，H有着C2的旋转对称性。P(k)的零点沿着直线出现，而不是在某一点。我们发现零点在绝缘体相消失，但是在QSH相闭合于M点，正如Fig. 2(b)所示。在这个情况下，我们发现方程(4)在包括收敛因子delta;后也确定了Z2指标（由C路径上符号改变数目的一半来确定）。注意到尽管I的符号取决于delta;的符号，但是I模2则不然。因此，我们总结出QSH相和绝缘体相由Z2指标I区分。
在参考文献[10,11]中研究的自旋霍尔绝缘体模型在I=0时是简单绝缘体。他们的Hamilto
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资料编号：[2423]
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