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MIMO雷达参数可辨识性研究
Jian Li, Petre Stoica, Luzhou Xu, and William Roberts
IEEE SIGNAL PROCESSING LETTERS, VOL. 14, NO. 12, DECEMBER 2007
摘要：与标准相控阵雷达不同，一个多输入多输出（MIMO）雷达系统可以通过自身天线传输多个线性独立的探测信号。在本文中，我们证明了下文提及的波形分集技术使得MIMO雷达参数的可识别性能够显著改善。具体来说，我们在文中展示了可由MIMO雷达唯一识别的最大目标数目可以达到其同类的相控阵雷达的Mt倍，其中Mt是指雷达发射天线的数目。
关键词：多输入多输出雷达，参数估计，参数辨识，目标检测。
1简介
不同于标准相控阵雷达，一个多输入多输出（MIMO）雷达系统可以通过天线发射多个线性无关的探测信号。与标准相控阵雷达相比，这种发射波形的多样性可以大大提高雷达探测性能（参见参考文献[1]至[7]）。
在本文里，我们主要讨论的MIMO雷达最基本的问题之一——它的参数可识别性。雷达的参数可识别性代表了雷达本身可以唯一识别的目标的最大数量。我们在此证明了相较于相控阵雷达，MIMO雷达可以发射的多样性线性无关波形能够大大改善参数可辨识性。
2问题形成与初步分析
进一步探讨带有Mt根发射天线和Mr根接收天线的MIMO雷达系统。这里用表示由Mt根发射天线所能传输的离散基带信号。同样的，用Ɵ表示一个一般目标的位置参数，位置参数包括它的行进方向（DOA）或它的方位角和距离。然后，在发送的探测信号是窄带的且传播不分散的假设下，目标位置上的基带信号可以用下述表达式描述（参见参考文献[3]及参考文献[8]的第6章）：
，n=1,hellip;,N （1）
这里雷达的载波频率是fo，表示信号从Mth型发射天线发射到到达目标所需的时间，（·）*表示矩阵共轭转置，N表示每个样本发送信号脉冲a和的数量，其中：
（2）
（3）
(·)T表示矩阵转置。假设雷达的发射阵列是标准且正常的，a是参数的已知函数。
以ym(n)表示Mth型接收天线接收到的信号，这里有：
，n=1,hellip;,N （4）
（5）
这里表示反射信号从位置参数为的目标到接收天线传播所需的时间。然后，在点目标的简化假设下，接收的数据向量可以用下面的等式来描述（参见参考文献[6]和[7]）：
，n=1,hellip;,N （6）
这里K表示能够反射信号回到雷达接收机的目标数目，是目标显示在雷达截面（RCS）的复杂振幅比例，是他们的位置参数，表示干扰以及噪声项，表示复共轭。要从估计的未知参数是，。
参数可辨识性基本上是一个一致性问题：我们希望获得在信号与干扰加噪声的比值（SINR）趋于无穷大或快照信号数N趋于无穷大条件下时，参数估计问题的唯一解。显然，在这两种情况下，假设干扰加噪声项与不相关，公式（6）中第一项的可辨识性不受第二项的影响。特别是，这两项在趋于无穷时是渐近的，所以我们可以处理中任意数量的干扰。当然，在快照信号数N和信号与干扰加噪声的比值SINR有限的情况下，随着干扰量的增加，信号的精度会降低，但这是一个完全不同的问题，参数的可识别性不会受到其影响。
由此获得的“可识别性方程”如下：
，n=1,hellip;,N （7）
为了保持参数的可辨识性，方程（7）应该有唯一解：，，k=1,hellip;,N。假设传输的波形彼此线性无关，这意味着：
（8）
那么显然，方程式（7）就可等价为：
（9）
或者：
（10）
这里有：
（11）
（12）
（13）
以及
（14）
这里，运算符号times;表示克罗内克积运算符。
在本论文的下一章节，我们将给出方程式（10）具有唯一解的条件。不过，在这样做之前，我们将基于MIMO雷达的一些特殊情况的例子下，讨论方程式（10）的特征。首先，考虑传输天线阵列也是接收天线阵列的情况，这实际上意味着。
这样方程式（10）可能包含相当多的冗余方程可以化简。在这种情况下，我们有：
（15）
因此，泛型列A是一个M2times;1型的向量。对于一个均匀线性阵列（ULA），向量只有2M-1个不同的元素：1，，hellip;，。其中，表示不同元素间的时延差。然而，一个非均匀但仍然是线性的矩阵可能最多有（M2 M）/2个不同的元素。例如，最小冗余线性阵列有：M=4时参考文献[9]内提及矩阵，及。
接下来，考虑更一般的情况，以及接收和发送阵列不同的情况。当发射（接收）阵列是一个均匀线性阵列（ULA），并且是一个具有连续的接收（发送）的子集的ULA，只有个元素相异；事实上，这似乎是尽可能少的不同元素的数量。当发射和接收阵列共用很少天线或不共用天线时，方程式（10）中的所有方程都可以轻易地求得。例如，假设：
（16）
（17）
（18）
这是一个（虚构的）ULA及其参数
3参数可辨识条件
使得：
（19）
表示方程（10）的方程组，且其中相同的方程已被消去。用表示B的一个（泛型）列，并用L表示的尺度。然后根据前一节结尾处的讨论有：
（20）
我们假设向量对于中的任何尺度为L的不同值都是线性无关的——这是一个温和条件。在先前规定的条件下，参考文献[10]和[11]的结果适用于方程式（19）（或者在参考文献[11]中rho;等于1时）。因此，参考文献[10]、[11]提出的参数可辨识性的充分性调节和参考文献[11]提出的参数可辨识性的必要的条件为：
，i.e.， （21）
其中[·]表示大于或等于给定数的最小整数。基于方程式（20），我们可求得：
（22）
根据天线阵列几何形状和发射和接收阵列共享多少天线。一般对于向量（更具体地说，对于几乎任意从一个绝对连续分布中随机抽取的向量），其可辨识性可在以下更弱相关的条件下保证（参考文献[10]）：
，i.e.， （23）
同方程式（22）一般求得：
（24）
注意到对于，有
对于相控阵雷达（有Mr根接收天线，我们假定接收天线数Mt=1），类似于方程式（22）的条件是：
（25）
同（24）理有：
（26）
因此，可以通过MIMO雷达的唯一标识目标的最大数目可达相控阵雷达的Mt倍。当一个均匀线性天线阵列ULA同时用于发射和接收，从MIMO雷达的参数可辨识性的角度来看，这似乎是最坏的情况。此时MIMO雷达识别目标的最大数目的可以达到相控阵雷达的两倍左右。
4数值例子
我们给出了几个数值例子来说明MIMO雷达的参数可辨识性，并与它的相控阵天线布局相对比。
首先，考虑单个MIMO雷达系统情况，其拥有均匀线性天线阵列ULA，并且天线数为根且半波长间距相近天线同时用于发射和接收。发送的波形是正交相移键控（QPSK）序列，它们彼此正交，即：
（27）
分情况讨论K个目标的位置分别为，且振幅相同。
快照数的数量是N＝256。接收到的信号是受一个具有零均值、方差为0.01（即信噪比为20 dB）、空间域和时间域上的白圆对称高斯噪声影响和定位在45°的、方差等于1（即INR=20dB）的未知波形（与雷达发射波形无关的）干扰影响。
考虑到的克拉美罗界（CRB）给出了无偏估计的最佳性能。假设在方程式（6）中是独立同分布(i.i.d.)的、均值为零的、方差为未知数Q的复合圆形对称高斯随机向量，的克拉美罗界CRB可以由Slepian–Bangs公式求得（参考文献[8]）。图1（a）表明MIMO雷达的的克拉美罗界CRB是K的函数。为了便于比较，我们继续假设除了发射天线数Mt=1和发射波形的振幅进行调整使总发射功率不改变，其它所有的参数都与MIMO雷达相同的相控阵雷达对应的克拉美罗界CRB为已知。注意到当相控阵的CRB随着K迅速从1增加到6，然而相应的MIMO雷达的克拉美罗界CRB在K为1~12时几乎是常数（但在时变为无界的）。这两种结果与参数可辨识性分析相一致：相控阵雷达有和MIMO雷达满足。
接下来，我们考虑用一种简单的半参数最小二乘法（LS）用于MIMO雷达参数估计。最小二乘法LS空间谱具有以下形式（参考文献[6]）：
（28）
这里是关于给定的RCS的LS估计，表示欧几里德范数，并有：
（29）
图1（b）展示出了K=12时，方程式（28）中的作为的函数相应的LS空间频谱图。显然可见所有12个目标位置都可以近似地从LS空间谱的峰值位置确定。
接下来，考虑天线数为根的MIMO雷达系统。接收信号的均匀线性天线阵列ULA的相邻天线之间的距离为0.5波长，发射信号的均匀线性天线阵列ULA的相邻天线之间的距离为2.5波长（此情况下L=25）。在这个例子中，我们保留与图1相对应的所有仿真参数，除了目标位于图2（a）显示了MIMO雷达和相控阵对应的的克拉美罗界CRB，且是关于K的函数。我们再次得到，MIMO雷达具有比相控阵雷达更低得多的克拉美罗界CRB。两种雷达的克拉美罗界CRB曲线与参数可辨识性分析一致：相控阵雷达有和MIMO雷达满足。此外，可以用（28）中的简单的最小二乘法LS方法近似地确定所有K=16个目标的参数，如图2（b）所示。
5结论
我们已经证明，相较于其相控阵， MIMO雷达系统提供的多样性波形可以使雷达可准确确定的最大目标数目达到Mt倍，Mt即发射天线的数目。参数可辨识性进一步证明了在数值模拟研究中，克拉美罗界CRB和最小二乘法在目标参数估计中的应用。
纹波和过渡带控制的MIMO雷达发射波束的设计
Guang Hua* and Saman S. Abeysekera, Member, IEEE
School of Electrical and Electronic Engineering, Nanyang Technological University, Singapore
Mail: 50 Nanyang Avenue, S2-B4b-05, INFINITUS@EEE, Singapore, 639798
E-mail: ghua1@e.ntu.edu.sg; Esabeysekera@ntu.edu.sg
Phone: ( 65) 81809381, ( 65) 6790 4515
EDICS: SAM-APPL, SAM-RADR.
摘要: 多输入多输出（MIMO）雷达系统的波形分集与相控阵天线雷达相比具有许多优点。其中一个优点是，它允许人们用灵活的发射波束方向图来设计包含有数个实用的应用程序的MIMO雷达。近十年来，许多研究者提出了解决这一问题的方法。然而，这些设计几乎不注意雷达性能某些方面的表现，如在能量聚焦部分的波纹，旁瓣的衰减，过渡带的宽度，角度步长，以及所需的发射天线数。在本文中，我们首先提出了几种间接或直接控制能量聚焦区内纹波电平和过渡带宽的方法。这些方法基于现有的问题公式。更重要的是，我们将这些设计重新以可行性问题（FP）的形式表示。这样的FP表现形式使得设计更加灵活和高效，并且能用最少的系统成本做出最好的波束方向图。使用这种FP表示方式可以轻松获得MIMO雷达的波束方向图的经验公式。该MIMO雷达波束的公式类似于Kaiser公式在传统的FIR滤波器的设计中的应用，通过数值例子对所提出的方法和公式的性能进行评估。
关键词：多输入多输出（MIMO）雷达，发射波束空间处理（TBP），发射波束，协方差矩阵，纹波控制，MIMO雷达波束公式。
多输入多输出（MIMO）雷达系统近十年来得到了广泛的研究（参考文献[1]~[31]）。
MIMO雷达系统的特点可以归纳为：具有多个相近排列或远距离分散分布的发射和接收天线，可以同时发送不同的波形，处理反射信号以探测到目标，进行目标参数估计的系统。与相控阵雷达相比，MIMO雷达具有波形分集的优点，但在信噪比方面存在缺陷（参考文献[4]）。为充分利用相控阵雷达的相干处理增益上的优势，在保持MIMO雷达波形多样性的前提下，相控阵MIMO雷达和混合MIMO相控阵雷达等新的雷达结构被提出了（参考文献[6]~[8]）。在这些作品中对信号处理的策略中讨论了使用多个光束（从阵），每个光束（从阵）分别使用不同的波形生成。
除了这些阵列分区技术，基于信号相关性的MIMO雷达发射波束合成技术（或传输能量聚焦）最近也一直备受关注（参考文献[9]~[27]）。该方法充分利用了MIMO雷达引入的波形多样性，提高了雷达波到达方向（DOA）估计的精度。该方法将发射波形的能量集中在一个或多个可能存在多个目标的预定义的角度范围中。通过适当的设计，这可以获得比常规相控阵雷达或无波束合成的MIMO雷达更高的性能。此外，所设计的系统不需要像传统相控阵雷达那样为发射天线留出宽阔的空间。
MIMO雷达发射波束图以发射波形的协方差矩阵为特征，因此，研究的目标就是设计多个发射波形，以获得期望的协方差矩阵。在这种情况下，期望的协方差矩阵通常位于一个单位矩阵（正交波形）和一个单位矩阵（相干波形）之间，从而改变了MIMO雷达发射正交波形的
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