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多层网络的传播过程
Mostafa Salehi
University of Bologna, Italy and University of Tehran, Iran
Corresponding author Email: mostafa salehi@ut.ac.ir
Rajesh Sharma
University of Bologna, Italy
Email: rajesh.sharma@unibo.it
Moreno Marzolla
University of Bologna, Italy
Email: moreno.marzolla@unibo.it
Matteo Magnani
Uppsala University, Sweden
Email: matteo.magnani@it.uu.se
Payam Siyari
Georgia Institute of Technology, USA
Email: payamsiyari@gatech.edu
Danilo Montesi
University of Bologna, Italy
Email: danilo.montesi@unibo.it
摘要——数个系统可建模为一系列互连的网络或有多种类型连接的网络，在这里通常被称为多层网络。传播过程，如在在线社交网络用户之间的信息传播；或病原体通过他们的联系网络个体之间的扩散，是发生这些网络的基本现象。然而，虽然近十年里单一网络中信息传播已经得到来自给方面相当的重视，但在多层网络上信息传播过程仍然是一个很初期的研究领域，这将提出许多具有挑战性的研究问题。
在本文中，我们回顾了主要模型，结果和多层网络传播过程中的应用，并讨论一些有前景的研究方向。
关键词：多层网络，复用，互联，传播流程，信息扩散
1 简介
许多现实世界的系统可以建模为网络，即，一系列相互连接的实体。某些情况下，这些实体之间的联系代表沟通渠道：它们表明出现在实体之一的信息项可以被转移，或传播到相邻的实体。一个典型的代表例子是在线社交网络，其中信息可以从一个用户帐户移动到其他，通过如友情或以下连接，但一些其他情形存在，其中网络的节点不是人类（例如，计算机网络和所谓的物联网）和在网络传播的项目不是文本信息，却是像病毒剂，谣言，行为，病原体或数字的病毒。这些都是传播过程的例子。
研究病原体扩散在生物系统有着悠久的历史，在流行病学，为了构建这些类型的传播过程，一个强大的分析框架已经发展起来[1]，[2]。随着网络科学的问世，传统的传染病模型扩大到包括基础网络架构[3]和被利用到研究网络流行病[4]，[5]，[6]，[7]。这些在通信网络[8]，[9]，[10]，和网上社会团体[11]，[12]。的传播过程的建模最近引起相当多的关注。
图1.三个在多层网络中用于分析传播过程的主要尺寸：（ⅰ）如何构建传播过程的模型，（二）我们可以得到使用这些模型得到什么样的结果并且（iii）这些结果能够怎样利用在实际应用中。
然而，虽然在过去的十年里，网络上的传播过程已经在深入研究[13]，实际传播现象很少被约束成一个单一的网络（称为monoplex网络）。这在网上信息传播很明显，这里随着在社交媒体中共享信息已经成为一个基本功能，在很多平台交换网络的过程被明确提供。另一个代表例子是人类通过多种传输网络旅游引起的传染病的传播（飞机，火车等）。
在本文中，我们着眼于与多层网络的传播过程切实相关的话题，这个专用术语我们用来代指一系列联系在一起的多个网络的模型，称为互联网络[14]，或多种类型的关系，所谓的多重网络[15]。多层网络也以相互依赖[16]，[17]，[18]，多维的[19]，多重的[20]，多重螺旋的[21]，多级[22]，[23]网络著称。从历史上看，网络首先由社会学家从多层透视的工作中研究[26]，例如在20世纪30年代，然后研究继续在随后几年进行[27]，[28]，[29]，[30]，[31]。
多层网络在近几年已经再度引起各方面的兴趣;读者可参考最近一些关于概述多层网络的文章和书籍[32]，[33]，[24]。其中一些作品也包含对于传播过程中的讨论（[33，第5章]和[32，第4.6节]）。我们的论文不志在成为一个在多层网络的简单回顾;相反，我们聚焦于传播过程，并且因此提供了这个课题更为详细的报道，同样参考已有的成果，包括这些综合分类模型，应用程序和结果，这样可以帮助读者可浏览不同的研究成果。我们没有假定读者有较强的数学功底，尽管有一些专业细节不可能完全被避免，因此，我们认为，这项工作可以成为更加大众的读者的兴趣。然而，我们也建议有兴趣的读者，检查上述提及的参考文献，从而对这个领域有更多的认识。
除了信息传播过程（这是本文的焦点），许多在多层网络上其它类型的扩散过程也进行了研究，其中包括连锁故障[16]，[34]，[35]，[36]，合作行为[37]，[38]，[39]，[40]，和同步[41]，[42]，[43]。
当只有单一网络参与，显而易见的是，在网络结构的过程对于进程的输出发挥着重要的作用。举个例子，行为传播当它进入一个紧密型社区网[44]的时候会拖延停止。多层网络参与时同样如此，但多层结构的效果和它们的相互依存关系与单一网络的情况不同。今天，多层网络的传播过程的研究是一个年轻而快速发展研究领域，这面临着许多具有挑战性的问题。在本文中，我们提出对目前关于多层网络和其他网络特征在不同类型传播的作用的结果相同的概述，并确定未开发的领域。
为此，我们在以下三个主要方面分析多层网络的传播过程：（i）如何构建传播过程模型（第3节），（ⅱ）有什么结果可以从这些模型中获得（第4节）和（iii）如何将这些结果应用于实际开发（第5）。这些方面概括于图1中。
这篇论文遵循相同的结构：在介绍基本概念之后（多层网络，在多层网络上传播的过程和研究这些现象使用的多种变量）我们致力于上述每个问题给予一个章节。最后，我们给出了在这个领域的一组问题，在我们看来，仍然需要显著研究和花费努力的（第6条）。
2引言
在本节中，我们介绍了多层网络的概念和多层网络的传播过程，以及主要用来研究这些过程的方法和变量。
我们假设读者已经熟悉了图的概念：一个图G =（V，E）是一组有限的节点（顶点）V和一组（有序或无序）对。一个单一网络是一个（通常是直接的）图。多层网络是一个由多个层组成的数据结构，其中每个层是一个单一的网络。这里我们使用一般的数学框架
在[32]（也见[45]作为第一个尝试提供多层网络科学定义与一致
数学表示）。在此框架下，相同的节点可以出现在多个层和在不同层的节点可以相互之间联系起来。举个例子：在图2（a）对（v4,l2），（v4,l3）和（v5,l2）确定了不同层的特定的节点，在层L2和L3的特定节点V4和层l2的v5。层l2相当于一个单一网络，带有简单的边像（v4,l2）（v5,l2）-或者就是（v4,v5），如果我们能够用于在层与层之间的边，举个例子（v4,l2），（v4,l3）。本文的背景下，模型边例如通讯通道：在图2（a）如果v6有一些信息在层l2，那他/她可以传递信息在同一层上的v5或发送到层l3的v2上。
建立在这个基本模型上，几个属性都可以被添加到节点和边。例如，我们可以引入时间维度，并作出区别在时间t0上的层l2的v4（v4, l2; T0）与在时刻t1相同的节点（v4,l2, T1），这样我们就可以再加入这些扩展节点之间的边，像（（v4, l2, T0）,（v4, l2; T1）），或（（v6, l2, T0）,（v2, l3, T0））。这些属性（层，时间等）被称为方面。在本文的其余部分介绍的符号总结于表1中。
一般情况下，我们可以考虑在多层网络节点的两种极端情况。在一个情况下，所有图层包含同一组的节点，如我们可以在同一时间参加不同的在线社交网络（即，层）。多层网络，其中所有的层包含完全相同的集节点被称为多重网络[15]（但是，在部分互连的多重网络中，如在章节4.2.3中定义的，只用一小部分节点存在于所用的网络层中）。在另一个极端，一个多层网络的每个节点可能正好属于一个层，这将产生的数据结构有时被称为互联[14]（或相互依赖的[16]，[17]，[18]）网络，在不同层间互联网络的自我互动因此是不可能的。在一个不同的角度，互连的网络可以被看作是“带有一个单一，很大网络的互相连接的团体“[46]。作为互联网络的一个例子，我们可以考虑能源和通信基础设施，其中，在两个网络中的每一个的功能依赖于另一个，并且，两个网络无论谁特殊节点的故障都会影响另一个网络的正常运行[16]。举另一个例子，我们可以考虑来自不同国家的人们作为独立公民网络，其通过航空运输连接起来，即机场之间有直接的航班。
至于说，在相同或不同层之间的节点的联系代表通过哪些不同项目的渠道是可以传播的，从而产生传播过程。在一般情况下，传播过程可以指病原体，谣言，行为等的扩散，或者在不同的新闻组和博客的新闻头条的覆盖。尽管上述所有上下文有一些共同的方面，但是在不同类型的传播过程中也有着特殊的特征加以区分。例如，在一个社会一些行为的传播，人们通常选择哪种行为采用。另一方面，在流行病存在的情况下，没有决定是被感染人做出的。这些话题将在第3节彻底讨论。在当前部分，我们提出了一些关键概念，这些概念可能出现在传播过程的分析中。
在单一网络上一些列特殊信息的传播留下的证据被称作（信息）级联[47]，[48]。这个概念可以拓展到多层网络[49]，如图所示
在图2（b）和图2（c）。它也产生一个隐网络中的如图2（d）所示。因此，我们将有时需要区分扩散网络（即，实际的连接在传播过程中移动）和底层（多层）网络。一个扩散网络是这样定义的：由按固定的一系列的信息或其他项目遍历的节点的序列。在多层网络，一个级联可以作为一套元组（u,lu,v,lv,t）被表示，其中t表示传播项目从层lu上的节点u传递到层lv上的节点v的时间。我们称这个元祖中有着最小的时间的第一个节点为种子。这是需要完整描述一个传播过程的最小的信息量，具体模型在第三节重点回顾，增加了这些元组的其他参数（即状态空间和一系列的状态转换规则），这些参数提供了关于级联更多的细节。
其中一个在多层网络的传播过程的背景下很重要的理念是，信息项可以从一个层到另一个层。 一般来说，对于项遍历多层网络有四种可能性（见图3）：同一节点，不同层。当级联切换层，但仍然在同一节点，例如，当Facebook的邮件由相同邮件的作者分享在Twitter上。不同节点，不同层，当一个级联继续传递到在另一层的另一个节点上，例如，用不同的电子邮件帐户（例如Gmail和雅虎）在用户之间交换邮件。第三个类型，不同节点，同一层，级联继续在同一层间传播，例如，在Twitter回推邮件。值得一提的是，层间传播可能涉及的层渡开销（也称为层切换的开销）[50]。第四个可能，即相同节点，相同层，一般认为无意义，因此在所有我们考虑的传播研究上被忽略。[51]在这里介绍一种模型，在其中相同的网络上相同个体可以拥有多重节点（如账号）。在这种情况下，信息可能从一个个体流向同一
个体，从一个帐户向另一个。然而，据我所知，这种模型至今还没有被用来研究传播过程。
图2呈现的一些潜在多层网络的概念的简要信息，不同类型的信息级联和所得的扩散网络。到目前为止涉及的术语中在表2中列出以供快速参考。
基于传播过程的研究可以被分为三类：实证研究涉及真实数据的分析，这些数据是全部的或是采样的[52][53]。这些研究对于了解信息传播的真正动力将是非常重要的。然而，据我们所知，有到目前为止，还没有基于多层网络信息扩散的真实数据集的成果。不同于涉及单一网络的情况[54]，[55]，[56]，[57]，[58]，在多层网络上分析信息的传播过程是不平凡的。在[59]，[51]，作者使用抽样方法收集多个在线社交网络的数据，但没有获得信息传递轨迹。在包括传播过程和扩散发生的隐藏网络中收集真实数据是很困难的。在多层网络的传播中，无论是人造[60][50]，[61]，[62]，[49]，[63]，[64]的模拟研究还是真实网络[65]，[66]，[67]，[68]，[69]，[70]，[61]，[71研究的成果都被用来研究人工传播过程和分析数学模型的信息扩散[62]，[73]，[61]，[62]，[74]。
不管是仿真还是分析研究都是以特殊变量的行为观察数据为基础的。这些变量的选择取决于我们感兴趣的输入参数。一个被包含在所有研究中的基本参数是传递概率，表示着传递一个信息项的概率（即转移感染，传递消息，传播谣言）从一个节点到其他[50]。应注意为这个概念提供一个独特的定义，因为在文献上各种变化跟容易出现。例如，在[72]传递率被认为是为计算所有邻居节点概率的平均值，并且其中[72]，[50]区分不同种类的传递率 - 均匀的和不均匀的。在模拟研究中的其他重要的输入参数是底层网络的类型（例如，随机[62]，无标度[72]，小世界[49]等）和不同的层之间的关系，[71]，[73]（例如，节点度之间的相关性[73]）。
我们通过展现出在不同的传播研究中的主要变量来结束本章节。所谓传染阈值[1]，[75]是一个在像传染病模型中的重要观察值（参见
第3部分），并揭示涉及到整个（或大部分）网络扩散的遗传值，例如，扩散网络是承载网络的重要组成部分。已知的是在单一网络传染阈值的值与网络的邻接矩阵的最大特征值是密切有关[76]，[77]。此外，最近的研究表明在多重网络传染阈值不能超过单一层网络
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