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章节4
4.1绪论
受压构件是仅受轴向压缩力作用的构件;也就是说，载荷沿着纵轴施加穿过构件横截面的质心，并且应力可以被看作f = P / a，其中f被认为是在整个横截面上是均匀的。然而，这种理想状态从来没有实现过，因为负载的某些偏心是不可避免的。弯曲将会产生，但通常可以被认为是次要的。正如我们将看到的那样，用于受压构件强度的AISC规格方程考虑了这种偶然偏心。
在建筑物和桥梁中出现的最常见的受压构件是柱，它的主要功能是支撑竖向载荷。在许多情况下，这些构件也受到弯曲，并且在这些情况下，构件是梁柱。我们将在第6章讨论这一主题。受压构件也用于桁架和作为支撑系统的构件。未归类为柱的较小受压构件有时被称为支撑。
在许多小结构中，柱轴力可以很容易地从它们支持的梁的反应中计算出来，或者直接从地面或屋顶的荷载中计算出来。如果部件连接不传递力矩，则这是可能的;换句话说，如果柱子不是刚体的一部分。对于刚性框架中的柱，有可计算的弯矩和轴向力，并且需要进行框架分析。AISC规范提供了三种分析方法，以获得刚性框架构件的轴向力和弯曲力矩:
1.直接分析法
2. 有效长度方法
3.一阶分析法
除了在非常简单的情况下，计算机软件能用于分析。虽然这三种方法的细节超出了本章的范围，但在第六章“梁柱”中会有更多的介绍。然而，重要的是要认识到，这三种方法是被用来确定构件所需要的强度(轴向载荷和弯矩)。可用的强度由本章“受压构件”、第5章“梁”和第6章“梁柱”的方法计算得到。
4.2柱理论
考虑如图4.1a所示的细长受压构件。如果轴向载荷P被缓慢地施加，最终将变得大到足以使构件变得不稳定并呈现由虚线指示的形状。该构件被认为是弯曲的，相应的荷载称为临界屈曲荷载。如果构件较粗短，如图4.1 b所示，则需要较大的载荷将构件带到不稳定性的点。对于极其粗短的构件，失效可能是由压缩屈服而不是屈曲造成的。在失效前，无论失效是屈服还是屈曲，压应力P/A在沿长度的任何点的横截面上都是均匀的。屈曲发生的载荷是细长的函数，对于非常细长的构件，这个载荷可能相当小。
如果构件是如此细长(我们给出一个精确的细长长度定义)，在屈曲之前的应力低于比例限制——即，构件仍然是弹性的，临界屈曲载荷由下式给出：
其中E是材料的弹性模量，I是横截面面积相对于次主轴的惯性矩，并且L是在支撑点之间的构件的长度。对于等式4.1是有效的，构件必须是弹性的，并且其端部必须能够自由旋转但不侧向平移。如图4.2所示，此端条件通过铰链或销来满足。这种显著的关系首先是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉提出的，并于1759年出版。临界荷载有时被称为欧拉荷载或欧拉屈曲荷载。方程4.1的有效性通过许多测试得到了证实。这里给出的推导是为了说明端条件的重要性。
为了方便起见，在下面的推导中，构件将沿着图4.3中给出的坐标系的x轴的纵轴取向。滚动支架应解释为限制构件向上或向下平移。施加轴向压缩载荷并逐渐增大。如果施加一个临时的横向荷载，使构件变形为虚线所指示的形状，则当轴向载荷小于临界屈曲荷载时，该构件将返回其初始位置。临界弯曲载荷Pcr定义为当临时横向载荷被移除时，仅足够大的载荷以保持挠曲的形状。
这个微分方程给出了弯曲的弹性构件变形的形状：
当x定位沿构件的纵轴的点时，y是轴在该点的偏转，M是该点的弯曲力矩。前面已经定义了E和I，这里，转动惯量I相对于弯曲轴线(弯曲)。该方程式由布柏·贝努利得到，由欧拉(Euler)独立得出，欧拉将其专门用于柱屈曲问题(Timoshenko, 1953)。如果我们从屈曲点开始，则从图4.3开始弯矩是Pcry。方程4.2可以写成：
其中质数表示相对于x的差值。这是一个二阶线性的常微分方程，具有恒定的系数，并具有该解：
其中，A和B是常数。这些常数是通过应用下列边界条件计算得来的：
当x=0，y=0： A=0
当x=L，y=0：
最后的条件要求sin(cL)是零，当B不是零时(即对应于P = 0的小的解)。对于
从中，我们得知
n的不同值对应不同的弯曲模式;n = 1代表了第一种模式，n = 2表示第二种，以此类推。0的值给出了没有加载的简单情况。这些屈曲模式如图4.4所示。n大于1的值是不可能的，除非受压构件在曲率发生反转的点上受到物理约束。
因此，微分方程的解是, 并且系数B不确定。这个结果是在制定微分方程时作出的近似结果;用线性表示的非线性现象。
对于在其端部之间没有支撑的压缩构件的通常情况，n = 1，欧拉方程写作
可以方便地重写方程4.3：
其中A是横截面积，r是相对于弯曲轴线的回转半径。比率L/r是长细比，是构件长细度的测量准则，大值对应于细长件。
如果临界载荷除以横截面积，就会得到临界弯曲应力：
在这个压应力下，屈曲将发生在与r对应的轴上。当负载达到方程4.3所给出的值时，屈曲就会发生，并且在与最大的长径比相对应的主轴上，柱会变得不稳定。这个轴通常是具有较小转动惯量的轴(我们稍后将说明此条件的例外情况)。因此，横截面旋转的最小转动惯量和旋转半径通常会在3.4和4.4的方程中使用。
早期的研究人员很快发现欧拉的方程并没有给出可靠的结果，用于粗短或不太细长的受压构件。原因是这种类型的构件的小的长细比导致大的弯曲应力(来自公式4.4)。如果屈曲的应力大于材料的比例极限，则应力和应变之间的关系不是线性的，不能再使用弹性模量E。这一难题最初由弗里德里希·恩格斯解决，他在1889年提出用可变切线模量，即，3.3的方程。对于具有应力-应变曲线的材料，如在图4.5中所示的那样，对于大于比例极限Fpl的应力，E不是恒定的。切线模量Et被定义为Fpl和Fy之间的f值的应力-应变曲线的切线的斜率。如果屈曲时的压应力，Pcr/A，位于这个区域内，那它可以被表示为：
方程4.5与欧拉方程完全相同，除了Et代替了E。
图4.5所示的应力-应变曲线与延性钢(在图1.3和图1.4中)所示的应力-应变曲线是不同的，因为它具有显著的非线性区域。这条曲线是典型的短长度w形的压缩试验，称为短柱，而不是拉伸试验的结果。非线性的主要原因是w形中的残余应力的存在。当热轧的形状在轧制后冷却后，横截面的所有元素并不会以相同的速度冷却。例如，凸起的尖端比凸缘和腹板的连接处冷却得更快。这种不均匀的冷却会导致永久性的压力。其它因素，例如焊接和冷弯，以产生梁的曲率，会造成残余应力，但冷却过程是其主要来源。注意，Et比E小，同样的L/r对应的是一个更小的临界负载，Pcr。由于Et的可变性，通过使用等式4.5计算在非弹性范围内的Pcr是困难的。一般来说，必须使用试错法，并且必须使用图4.5所示的压缩应力-应变曲线来确定Pcr的试验值。为此，大多数设计规范，包括AISC规范，都包含用于非弹性柱的经验公式。Engesser的切线模量理论有它的批评者，他们指出了一些不一致的地方。Engesser被他们的论点说服了，在1895年，他改进了他的理论，以包含一个减少的模量，它在E和Et之间有一个值，然而，测试结果总是与切线模量理论更接近。Shanley(1947)解决了原始理论中明显的不一致性，今天的切线模量公式，方程4.5，被认为是对非弹性屈曲的修正。尽管这个方程所预测的荷载实际上是临界荷载的真实值的下限，但差别很小（Bleich，1952）。对于任何材料，临界屈曲应力都可以被绘制成细长的函数，如图4.6所示。切线模量曲线与Euler曲线在与材料比例极限对应的点处切线。这个复合曲线，称为柱强度曲线，完全描述了给定材料的某一柱的强度。除了描述材料性质的Fy、E和Et之外，其强度仅仅是长细比的函数。
有效长度
欧拉和切线模量方程都基于以下假设：
1. 立柱完全平直，无初始弯曲。
2. 荷载是轴向的，没有偏心。
3. 柱子被固定在两端。
前两个条件意味着在弯曲之前构件中没有弯曲力矩。正如前面提到的，某些意外时刻将会出现，但在大多数情况下，它是可以被忽略的。然而，对端部铰接的要求是一个严格的限制，必须为其他支撑条件作出规定。端部铰接要求构件在端部处被限制为不能侧向平移而不是旋转。建立一个无摩擦的铰接几乎是不可能的，所以即使是这种支撑条件也只能接近最佳状态。显然，所有的柱都必须能自由地轴向变形。
在方程4.3的推导中可以考虑到其他的端点条件。一般来说，弯矩是x的函数，结果是非齐次微分方程。边界条件与原推导过程不同，但总体过程是相同的。所得的Pcr方程式的形式也将相同。例如，考虑一个一端铰接，另一端固接用以限制旋转和平移的受压构件，如图4.7所示。用于这格例子的欧拉方程以与等式4.3相同的方式得到，是
因此，该压缩构件具有与在两端被铰接的柱相同的负载容量，并且仅为给定柱的70%。对于具有其他端点条件的柱也可以找到类似的表达式。
柱屈曲问题也可以用四阶微分方程而不是方程4.2来表示。当处理除被铰接的端部之外的边界条件时，这被证明是方便的。
为了方便起见，临界屈曲载荷的方程将被写成
其中KL为有效长度，K为有效长度因子。端部固接的受压构件的有效长度系数为0.70。在两端固接限制旋转和平移的最有利的条件下，K = 0.5。对于这些和其他情况的K值，可以通过在《AISC规范》附录7的注释中的表C-A-7.1确定。到目前为止提到的三个条件都被包括了进来，以及一些有端部位移的情况。给出了K的两个值:一个理论值和一个当端部条件接近理想状态时建议的设计值。因此，除非“固定”的一端是完全固定的，否则将使用更保守的设计值。只有在非常特殊的情况下，才有理由使用理论值。然而，请注意，针对在注释表C-A-7.1中的条件（d）和（f），理论值和建议的设计值是相同的。原因在于，与完全无摩擦铰链或铰接的任何偏差引入了旋转限制，并趋向于减小k。因此，在这两种情况下使用理论值是保守的。
用有效长度的KL来代替实际长度L，不会改变目前为止讨论过的任何一种关系。在图4.6中所示的柱强度曲线并未发生改变，除了重命名横坐标为KL/r。对于给定长度相对应的临界屈曲应力，无论是实际长度或是有效长度，都保持不变。
4.3 AISC要求
关于受压构件的基本要求在AISC规范的E章中有说明。额定的抗压强度为：
对于LRFD，
其中Pu=分解荷载的和。Fc=受压抵抗系数=0.9。FcPn=设计抗压强度
对于ASD，
其中Pa=使用负载之和。Wc=受压安全系数=1.67。Pn/Wc=容许抗压强度。
如果使用容许应力公式，
其中fa=计算出的轴向压应力=Pa/Ag。Fa=允许轴向压应力=0.6Fcr。
为了给出临界应力Fcr的AISC表达式，我们首先定义欧拉载荷为, 这是根据欧拉方程求得的临界屈曲载荷。欧拉压力是。稍加修改，这个表达式将适用于弹性范围内的临界应力。为了获得弹性柱的临界应力，减小欧拉应力以解释初始弯曲的影响：Fcr=0.877Fe
对于非弹性柱，切线模量方程，方程4.6b，被指数公式所取代, 利用方程4.9，可以得到非弹性柱的直接解，避免了切线模量方程中固有的试错法。
在非弹性和弹性柱之间的边界处，方程4.8和4.9给出了相同的Fcr值。这发生在KL/r近似的时候。
简而言之，当
当
AISC规范规定了基于KL/r值(如公式4.10和4.11)或比值Fy/Fe的值的非弹性和弹性行为。Fy/Fe的极限值可以根据如下所示推导出。根据AISC方程E3 - 4，
整个AISC抗压强度规范如下：
在这本书中，我们通常会使用KL/r的极限，如公式4.10和4.11所示。这些要求在图4.8中以图表的方式表示。
AISC方程E3-2和E3-3是5个方程的综合版本，涵盖了KL/r的5个范围(Galambos, 1988)。这些方程是建立在实验和理论研究的基础上的，这些研究解释了残余应力的影响和L/1500的初始不直度的影响，其中L为构件长度。这些方程的完整推导由Tide给出的。
虽然AISC规范不对长细比KL/r做上限要求，但建议上限为200(请参阅AISC E2中的用户注意事项)。这是一个比较实用的上限值，因为任何更细的受压构件将具有很小的强度并且将不经济。
在示例4.2中，rylt;rx，并且在x方向上具有多余的强度。方形结构管（HSS）是受压构件的有效形状，因为ry=rx，两个轴的强度是相同的。出于相同的原因，空心的圆形形状有时也用作受压构件。
到目前为止考虑的失效模式被称为弯曲屈曲，因为当构件处于不稳定状态时，会受到弯曲或弯曲。对于某些横截面结构，构件将通过扭转(扭转翘曲)或扭转与弯曲(挠曲扭转屈曲)的组合失效。我们在第4.8节中考虑了这些不
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