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大型混凝土结构非线性有限元分析建模不确定性的量化
摘要：为了使非线性有限元分析适用于大型混凝土结构的整体抗力评估，我们需
需要一个低模型不确定性的解决方案。这个解决方案包括了关于力的平衡的选择，运动相容性和本构关系。目前工作中使用的是较大的固体有限元和全三轴混凝土材料模型。贝叶斯推理用于对38个参照试验的分析。结果表明，建模的不确定性可以表示为对数正态分布的随机变量，平均值1.10和标准偏差为0.12。我们开发了一种表征破坏形式的新方法。
结果表明，物理的不确定性影响了模型不确定性的评估因素，并且，当其他不确定性包括在可靠性评估中的时候我们应该考虑这一点。
- 概论
大型混凝土壳体结构如大坝和离岸石油和天然气平台通的设计，通常是基于整体线性有限元分析 。为了处理大量的设计荷载组合，有限元分析允许使用叠加原理[1,2]。由于整体和局部荷载的影响，对于这种大型壳体结构进行整体分析很重要。由于精度要求，固体构件通常用于结构节点。与截面尺寸相比，构件尺寸比较大。为了更好的考虑钢筋混凝土的物理行为，可以进行非线性有限元分析。由于各个部分都贡献了承载能力，这样的分析结果实际上是整体性的[3,4]。相比于基于非线性有限元的局部断面设计，由于非线性有限元分析的整体特性，承载能力是整体范围上进行评估的。混凝土结构fib模型2010年标准[5]介绍了概率方法和用于评估结构整体抗力的整体性方法的半概率概念。整体抗力方法的证明也在关于相对简单结构形式[3,4,6–12]和大型结构系统[13,14]的文献上发表了。为了让这种评估更加精确，所有相关不确定性来源都应该考虑。正如Zhang 和 Mahadevan [15]所描述的，工程分析上大概有三种不确定性来源：物理不确定性、模型不确定性和数据不确定性。
在本文中，讨论了不确定性的不同来源。模型不确定性用贝叶斯推理进一步量化，为了研究物理不确定性对模型不确定性的影响，我们提出了一种表征失效模式的新方法。结果表明，模型不确定性包括了物理不确定性的影响。当其他不确定性包含在可靠性评估中
时，应考虑这一点。
- 工程分析的不确定性
物理不确定性与钢筋混凝土测得的强度和变形能力有关。几位作者研究了钢筋混凝在
材料水平上的物理不确定性，例如Rackwitz [16]，这些结果的总结见《概率模型标准》[17]。
材料性能的变化可以在几个层次上进行研究，并且可以从这几个方面进行量化：供给水平均值的不确定性，同一生产商同一生产线上的产品变化，同一批次内单位体积的材料性能的均值和标准差。通过调查这些的结果，可以看出，用变化系数表示的混凝土的抗压强度，在5 - 15%的范围内，取决于混凝土的抗压强度，常为钢筋钢的屈服强度的值的值的5% 。混凝土柱强度和其他性能之间的关系是由Rashid等人研究的[18]。作为抗压强度的一个性能时，499个被测试样的抗抗拉强度在一个约为30 - 40%的带宽内变化。理想情况下，结构上的物理不确定性的评估应进行大量的等效构件的试验。然而，在现实中，只有有限数量的重复实验的结果发表了。为了从一大堆试验中评估物理不确定性，这些结果通常进行了归一化。由于有选择性的归一化的原因，从这样的研究中发现的不确定性也包括了模型不确定性的影响。根据材料层面上不同的不确定性，预计结构水平的物理不确定性取决于失效模式是否受混凝土或钢筋的支配。如果破坏模式是由混凝土的抗拉强度，预计将特别高。Ellingwood 和 Galambos [19]的工作支持了这个观点，在他们的工作中表明了钢筋混凝土的抗弯强度比抗剪切强度的变化系数低。图一a和b分别显示了延性[20–24]和脆性[25]破坏形式试验结果的归一化。通过对变化的调查，延性失效模式的不确定性小于脆性失效模式的不确定性。由于目前试验中观测数据采集有限产生的延性破坏形式显示出了重要的统计不确定性。
（a）试验得到的通过宽度b,高度h和抗压强度fc归一化处理了的延性梁和墙[20–24]的弯矩限值随抗压强度的变化
（b）试验得到的通过宽度b,高度h和抗压强度fc归一化处理了的脆性梁[25]的剪力限值随抗压强度的变化
图一 延性和脆性实验结构层次上物理不确定性的可视化
建模不确定性，或模型的不确定性，在工程分析中与模型选择和所选模型的准确性有关，并且并适用于统计和力学模型。目前工作中仅仅考虑了力学模型的准确性对建模不确定性的影响。模型在工程分析中从来没有对错之分，但是如果建模不确定性占了适当的比例，对某个确定的问题他们或多或少有用。力学模型的准确性取决于数值解过程的精度和问题的数学模型理想化。根据Ditlevsen [ 26 ]的数学理想化相关的不确定性是由于限制基本变量可能无限到有限数量和理想化的数学方程。无论是现实的原因，还是缺乏关于变化的相关只是的原因，或是目前棘手的问题的原因。我们知道我们有一些方面没有考虑到模型中，但也有一些我们不知道的特征，即未知的未知。模型的不确定性因此也含蓄地掩盖了我们在模型中没有明确的考虑的事情。
模型的不确定性可以通过检验和确认来量化[27]。检验和力学模型方程的解决方法有关，也就是准确性的量化表示而没有考虑已有的方程和物理问题之间的关系。关于非线性有限元分析，验证涉及到平衡方程的迭代解和离散成有限元。另一方面验证涉及到如何以及方程捕捉真实的物理行为。在非线性有限元分析的背景下，验证涉及到理想化的几何形状和材料性能，换句话说，验证回答了“我们方程解的正确吗？”的问题，也回答了“我们解了正确的方程吗？”的问题[ 27 ]。
这种区别是有用的。如果模型不适当，我们不能期望通过改进元素离散化或迭代解决方案来改进结果。同样适用于有着不正确元素离散化的模型的改进。按照《概率模型标准》中的乘法公式[17]，建模的不确定性被定义为实验的预测能力的比率，Theta;=Rexp/RNLFEA
3、非线性有限元分析的解决方案
所有的力平衡，运动学相容性和本构关系的选择影响非线性有限元分析的建模不确定性。
总的来说，这些选择构成了一个获得非线性有限元解法的战略，或简称，非线性有限元分析的解决方案战略。对于钢筋混凝土，混凝土的材料模型被认为是建模不确定性的最大来源。
选择混凝土材料模型的一种常用方法是使用单轴材料模型为基础，并且用考虑了其他材料影响，如约束和横向开裂，的附加模型来扩展它。当结构影响和材料影响都被研究时这种方法很方便。但附加模型通常与其他互补模型相结合，不应该分开[28]。另外，所有材料影响都处理了的全三轴材料模型可以直接使用。Kotsovos 和他的同事已经研究了这种全三轴的材料模型，并且这项课题仍然有待提升[29–38]。为了使材料模型可用于实践工程师，它被改编成了商业有限元软件用于目前的工作中。详情载于另一份文件[39]。材料模型只要求一个输入参数，混凝土抗压强度。采用双线性弹塑性模型进行加固。较大的固体节点有限构件被用于混凝土并且充分结合嵌入式加固构件充分体现了加固效果。由于混凝土构件的尺寸，与结合点相一致的加固构件的长度通常与预期的裂纹间距相一致，并且完美连接的设想是正确的。应当注意的是，这是一个特别是对大型有限元进行非线性有限元分析的有效方法，其中的极限承载力被用于假设适当锚定钢筋。另一方面，如果要研究正常使用极限状态，需要钢筋和混凝土连接之间更详细的描述和更精细的有限元网格。修正牛顿-拉夫逊与线搜索相结合的平衡方程的迭代求解。由||Rres||/||Rext||lt;0.1 给出的收敛准则用于平衡迭代。Rres是节点剩余力的向量 , Rext是节点的向量外部载荷,||.||表示使用L2范数。负载施加恒定的增量使试验达到三十级加载。
在一个单独的文献中详细讨论了的解决方案，这份文献中通过比较不同元素离散解，载荷步长和迭代求解过程[39]进行检验。结果表明有限元大小和负载步长的敏感性不显著。通过比较试验结构和非线性有限元分析结构进行确认，结果列在本文中。non-linear finite element analyses
4、破坏形式表征
混凝土结构的破坏模式表征的实验和数值模拟的经典方法是主观判断。通过评估开裂方式和极限载荷下的应力应变，破坏模式可描述为：斜拉破坏、剪压破坏、斜压破坏[40]。这种区分在经典截面设计方法中应用很方便，但禁止在大型混凝土结构整体抗力分析中使用，在大型混凝土结构分析中收到了不同部分荷载的相互影响。处于这个原因，一个数值评估破坏形式的更客观的方法在目前的工作中提出来了。
当加载钢筋混凝土结构时，混凝土开裂将开始在某个的负载水平。开裂后，内力需要重新分配。这种再分配可以与塑性耗散联系在一起，例如，系统中被吸收的不可恢复的 应变能。如果进一步加载提供足够的的加固，裂缝会继续发展和稳定，或者逐渐破坏。最后，当钢筋的整体再分布能力耗尽时，足够加固的结构也会开裂直到破坏。因此，钢筋通过裂缝开展和提供足够的内力重分配能力来提供脆性混凝土延展性。这个说法是根据下面这个想法用公式表达出来的，这个想法中Wpl,tot 和 Wpl,steel 分别是系统塑性耗散和失效时的配筋： (1)
延性指标在0和1之间，并且显示了哪个值时破坏形式由钢筋决定，因此延性指标也时破坏形式。
5、统计推断
根据概率模型标准[17]中的定义基准分析的建模不确定性中i被定义为实验与推理结果的比值， 。为了合并概率分析中的建模不确定性，我们需要通过统计推断来确定概率分布的类型和参数。
5.1、贝叶斯数据分析
在贝叶斯数据分析中，将待建模变量和分布参数都作为未知随机变量。该方法允许掺入先验知识和观察到的数据，并且统计的参数的不确定性可以从各自的概率分布中估计出来。使用方法的演示可以从这个文献[15,41,42]中找到，并且这项技术的全面使用方法也可以从Gelman [43]等人的研究中找到。
只要知道均值mu;和方差就知道正太随机分布的变量y 。根据贝叶斯定理，在数组y中收集的一组n个观测yi的均值和方差的条件分布可以表示为:
叫做观测值y的mu;和的联合后验分布，因此mu;和的后验分布与先验分布和似然分布的结果成正比。任何已知的随机变量的信息，无论是定性和定量都可以包含在先验分布中。已经建立了联合后验分布，自然而然发展为建立后验预测分布，在后验预测分布中， 是变量y的结果的未来预测。在章节5.2和章节5.3中mu;和和的后验预测都是为了两个不同的先验分布给出的。对于非正态分布的随机变量，只有有限选择的解析解，所谓的共轭先验存在于一些如泊松或伽玛分布中。如果这些解不存在，联合后验和后预测分布应通过如数值积分方法，如马尔可夫链蒙特卡罗模拟方法或确定性正交规则进行近似。
5.2、用非信息先验分布方法推理
如果没有给出变量的信息，非信息先验分布可以假定。一个非信息先验分布的一个重要属性是，它应该是客观的，从而在任何方面都不影响后验分布。基于边际后验分布的均值和方差由（3）-（6）给出：
(3)
(4)
(5)
(6)
它显示了后验预测可以建模成随位置变化的T分布，各自由度。因此，未来的观察可以仿照（7），公式（7）中，是一个有n-1个自由度的集中T分布。对于n很大的T分布接近于正态分布。
(7)
5.3、用共轭先验分布的推理
如果存在先验信息，则可以包含在先验分布中。一种确保封闭形式的解决方案的技术用来选择可能性相同的形式的联合先验分布。这称为共轭先验分布。所得后验分布的参数由公式（8）-（11）给出：
(8)
(9)
(10)
(11)
期望和方差在公式（12）-（15）中给出，如果没有初始信息，要注意公式（12）和（14）怎么靠近公式（3）和（5）。
(12)
(13)
(14)
(15)
它表明后验预测可以模拟成随位置变化的T分布随机变量。个自由度。未来的观测可以仿照公式（16），其中是一个有个自由度的集中T分布。
(16)
5.4、建模不确定性的概率分布
建模的不确定性的概率分布一般是事先不知道，但是，建议用对数正态分布的随机变量表示[17]。公式（17）和公式（18）给出了对数正态分布的参数和变量本身期望和方差之间的关系。
(17)
(18)
为了在正态分布随机变量上进行贝叶斯推理, 每个建模不确定性的观测结果被分配到 。另一方面，如果随机变量时对数正态分布，那么每个观测结果的自然对数被分配到 。为了验证所选择的分布类型，应用Royston [45]提出的用于常态夏皮罗–威尔克试验[44]进行改进。试验统计数据的计算结果用于假设检验的输入量，而零假设则表明样本是正态分布。计算的概率值占得5%的权重。
6、建模不确定性的量
38个基准分析的总结果见表1和图2。样本来自Lefas [24]由七个短墙和5个窄墙组成，来自Kotsovos [20]的一根梁，12根来自Bresler 和 Scordelis
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