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静水应力场下基于伯格斯模型的粘弹性圆形隧道开挖的解析解
Ahmad Fahimifar, Farshad Monshizadeh Tehrani, Ahmadreza Hedayat,
Arash Vakilzadeh
（阿米尔卡比尔理工大学 土木与环境工程系，哈菲兹大街，德黑兰，伊朗）
摘 要：随着地下空间的开挖，岩石的应力应变状态相对于初始状态发生了变化，这种变化与隧道的开挖和岩体的流变特性有关。该文讨论了蠕变效应对隧道的影响，目的是为了分析停止开挖和安装支护体系后，隧道洞壁位移随时间变化的规律。假定岩体是各向同性的、均匀的、不可压缩的；圆形隧道处在静水应力场中；开挖率无限大。分析时，采用能够模拟岩体蠕变第一阶段和第二阶段的伯格斯模型，推导了洞壁流变变形的解析解。通过三个示例，阐明了解析解的应用，并使用有限差分软件FLAC进行了数值分析。结果表明，数值分析得到的结果与解析解得到的结果相一致。
关键词：流变变形；圆形隧道；伯格斯模型；
Analytical solution for the excavation of circular tunnels in a visco-elastic
Burgerrsquo;s material under hydrostatic stress field
Ahmad Fahimifar, Farshad Monshizadeh Tehrani, Ahmadreza Hedayat, Arash Vakilzadeh
（Department of Civil and Environmental Engineering, Amirkabir University of Technology, Hafez Ave, Tehran, Iran）
Abstract: By excavating an underground space, the state of stress and displacement are changed in comparison to the initial state. This variation depends on the advance of the tunnel and on the rheological behavior of the hosting rock mass. In this paper, the effect of creep, in the response of the tunnel is discussed. The objective of the paper is to predict time-dependent displacement of the tunnel wall, after stopping the excavation or after installing the support system. The rock mass is assumed to be isotropic and homogenous and incompressible. The tunnel is assumed to be circular and driven in a hydrostatic stress field. The rate of excavation is considered to be infinitely large. The Burgerrsquo;s body which is able to model the primary and secondary creep regions of the rock mass is applied. In such a condition, an analytical solution for predicting time-dependent deformation of tunnel wall is derived. Thereafter, the application of the proposed solution is illustrated through three examples. The examples are analyzed numerically using the finite difference code FLAC. The results obtained from numerical analyses show proper agreement to the results of proposed solution.
Keywords: Time-dependent deformation; Circular tunnel; Burgerrsquo;s body
1 引 言
隧道开挖过程中，由于开挖和围岩的流变效应，隧道的收敛变形和作用在支护上的土压力随时间正比例增加。本文仅研究流变效应中的蠕变效应（其他流变效应，如风化、水化、松弛等均不考虑）。Kontogianni[1]通过分析希腊的两条公路隧道，认为隧道总变形的50%以上都是由于围岩的流变效应造成的。
为了能够描述隧道的流变变形或蠕变，学者提出了大量的分析方法。这些方法可分为三类：封闭式或理论式的求解方法[2-5]，经验公式方法[6-9]和数值分析方法[10-13]。
目前，许多学者已经对岩石的蠕变特性进行了研究[8,14-15]。根据实验研究，典型的蠕变曲线可以划分成三个不同的阶段。
为了能够确定隧道洞壁的位移和施加在支护上的土压力，Sulem[7]提出了一个解析解，其中，为了能够描述隧道围岩的流变特性，Sulem[7]使用了基于Kelvin-Voigt模型的经验函数。但Kelvin-Voigt模型不能描述蠕变曲线的第二阶段，因此本文选择了能够描述岩石蠕变曲线第一和第二阶段的伯格斯模型，并在此基础上，提出了一种新的解决方法。
2 问题的综述
本文研究的是圆形隧道弹性时变材料的开挖问题，以下是基于该问题所做出的假设：
（1）围岩是均质的、各向同性、不可压缩（）并且为线弹性。
（2）初始应力状态是静水应力状态。
（3）忽略隧道顶部的重力影响。
（4）假定隧道开挖（即材料的移除）是瞬间完成。
基于以上的假设，隧道的开挖可被看作是轴对称的。
根据所分析截面离隧道掌子面的距离（距掌子面的距离大于四倍隧道半径时，该截面称为远端截面），将问题分成两种情况考虑。
图1为隧道掌子面和距离掌子面较远的远端截面。
Kirsch[16]提出了静水应力场中圆形隧道周围的应力分布规律：如果应力在垂直于平面的隧道轴线上对称分布，那么应力分量将与无关，而仅是r的函数[3]。这意味着隧道中的应力只有主应力，没有剪应力（）。
隧道掌子面附近的应力应变分析是一个三维问题，但在实际的隧道支护设计中，通常将它简化为一个二维平面应变问题进行分析[7]。
可以认为掌子面给近端截面提供了一个虚拟的内部支护阻力，Sulem[7]等给出了相应的切向和径向应力公式：
（1）
（2）
式中：是初始应力；b是隧道半径；r是离隧道中心的径向距离； 是掌子面影响系数。
Panet and Guenot[23]提出了考虑掌子面影响的经验公式：
（3）
式中：x是计算截面离掌子面的距离；b是隧道半径；。系数为一个0到1之间的数，当时，为不考虑掌子面影响的远端截面。为了考虑掌子面的影响，还提出了其他的参数[17-18]。
考虑岩石介质处于平面应变状态，且纵向应变为零，则平面坐标系中法向应力为：
（4）
通过系数（参见公式（1）-（3））考虑了掌子面的支护阻力作用，在下面的章节中推导了无支护和有支护隧道（具有线刚性模量）位移计算的新公式。
3 无支护隧道蠕变位移分析
对于无支护隧道，分析时仅考虑掌子面影响的情况（即）。远端截面可以看作是时的一个特殊情况。分析时采用的分析方法类似于Goodman[4]中的分析方法，但本文还通过参数考虑掌子面的影响。
图1 隧道开挖
Fig.1 Tunnel excavation.
对于近端截面（见图1），截面平均应力的计算如下：
（5）
径向偏应力计算如下：
（6）
将偏应力代入伯格斯模型中并求解相应的微分方程，可以得到洞壁的蠕变位移。由于岩体假定为不可压缩的，所以其体积模量将是无限大的。因此，不存在平均应变，总应变等于偏应变。
为了便于说明，将伯格斯模型分成麦克斯韦尔模型和开尔文模型，并分别推导两个模型相应的公式。
开尔文模型的示意图如图2所示。
图2 开尔文模型示意图.
Fig.2 A schematic representation of the Kelvin model
开尔文模型中应力与应变之间的关系为：
（7）
式中：是开尔文模型的剪切模量；是开尔文模型的粘性系数；t是时间。注意，根据第2节的假设（4），时间t是从开挖发生（一瞬间）时开始计算，或者实际上来讲，是从开挖完成时开始计算。
对于线粘弹性材料，其剪应力和剪应变的关系可由以下式子表示[4]：
（8）
开尔文模型在蠕变试验中的特性可以用Flugge[19] 和Jaeger[20]所提出的相应理论来分析。根据对应理论，用代替G就能够得到对应弹性问题的解。
对于开尔文模型，联立公式（7）和公式（8）可以得到：
（9）
与Goodman[4]所提出的一致。
为了将弹性解转换成对应的开尔文模型解，G必须用以下式子代替：
（10）
则开尔文模型最小主应变的微分形式为：
（11）
根据初始条件和公式（11）得到开尔文模型的小主应变，其推导过程参见附录A
麦克斯韦尔模型的示意图如图3所示。
图3 麦克斯韦尔模型示意图
Fig.3 A schematic representation of the Maxwell model.
类似于开尔文模型，麦克斯韦尔模型的剪切模量[4]可以写成：
（12）
式中：是剪切模量；是麦克斯韦尔粘性系数；t是时间。
麦克斯韦尔模型最小主应变的推导过程参见附录A。
结合径向应变的公式（公式A6），径向位移可按下式计算：
（13）
因此，隧道洞壁的粘弹性位移为：
（14）
对于距离隧道掌子面的较远的截面，，公式（14）可转化为：
（15）
公式（15）与Gnirk[3]和Goodman[4]在蠕变膨胀试验中推导出的结果类似。因此，膨胀试验可用于确定上述蠕变参数。
为了应用公式（14），做出以下假设：假定隧道开挖已经停止，即值可以确定（考虑了隧道掘进作用的影响）；假定在没有应力松弛的情况下，径向应力保持不变，但由于隧道蠕变行为，径向位移有所增加。
此时，截面的径向应力等于[7]：
（16）
在这种情况下，Panet[23]提出与时间无关的位移的公式：
（17）
径向应力和位移的关系如图4所示。
图4 近端截面隧道围岩的特征曲线
Fig.4 Ground response curve for a section near to the tunnel face (x lt; 4R).
图4为隧道开挖过程中近截面处围岩径向应力与位移的关系曲线。AB段显示随着隧道掌子面的推进，
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