基于模糊线性控制的不确定非线性动力系统的鲁棒性设计外文翻译资料

 2022-10-10 11:10

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基于模糊线性控制的不确定非线性动力系统的鲁棒性设计

摘要

这项研究引入了模糊线性控制设计方法用于保证不确定非线性系统的控制性能。首先，高木和关野的模糊线性模型采用近似的

不确定非线性系统。其次，基于模糊线性模型中，模糊控制器被制定以稳定模糊线性模型以及在同一时间模糊近似误差对控制性能的影响被衰减到规定的水平。最后，鲁棒性在不确定非线性控制系统实现的。在所提出的模糊线性控制方法中，模糊线性模型粗略用来近似非线性控制系统和Hinfin;方案在精确控制实现鲁棒性起着重要的作用。线性矩阵不等式（Linear matrix inequality）技术将被用来处理这个鲁棒性模糊控制的问题。如果状态变量是不可用的，基于Hinfin;的模糊观测器控制也提出了实现非线性不确定系统的鲁棒性设计。

  1. 引言

非线性系统的控制设计是一项困难的工作。然而，在实际的控制中，事件总是非线性和不确定的。这就是实际系统的控制器设计的两个主要难点。许多非线性控制方法是为了非线性系统而制定的。在这些控制系统设计中，非线性系统必须有良好的特性。例如，这个系统必须处于最初阶段，必须足够的稳定，系统参数必须精确已知以便于反馈线性化方法的能被采用。

最近，非线性Hinfin;控制[9,10]已被用来处理非线性系统的鲁棒性设计问题。然而，设计师必须解决汉密尔顿 - 雅可比方程，这是一个非线性偏微分方程。只有一些非常特殊的非线性系统有封闭形式的解决方案。在一般情况下，传统非线性Hinfin;控制方案不适合实际控制系统设计。

在最近的五年内，我们目睹了的非线性系统的模糊控制迅速的增长的兴趣。虽然顺利，但是显然很多基本问题仍需要进一步解决。在系统设计保证系统稳定性和性能是模糊控制系统最重要的问题。最近，已经在模糊控制系统稳定性的问题上有显著的研究成果[2,3]。在[4]中，给出了一种非线性系统的模糊和设计问题的稳定性的方法。在他们的研究中，非线性事件近似于TS模糊线性模型[1]，然后基于模糊控制模型演变成稳定TS模糊线性模型。事实上，非线性控制系统的稳定性仍需进一步研究。此外，逼近误差的影响没有得到很好的处理，这会恶化模型控制性能。

对于实际控制设计，一个具有保护控制性能的简单模糊控制设计对于不确定非线性系统更具有吸引力。在这项 工作中，TS模糊线性模型用于大致近似不确定非线性系统。然后，一个混合模糊控制器被引入来稳定模糊线性系统，并在同一时间内消除低于规定水平的逼近误差以便使所期望的Hinfin;控制性能有所保证。在这种方法下无需复杂的反馈线性化和参数更新定律只用线性控制设计[5,6]。接着，同样的Hinfin;控制性能得以实现。最后，基于Hinfin;控制控制方案的鲁棒模糊控制设计也被引入。该方法尝试结合模糊线性模型和Hinfin;衰减来获取一种简单而使用的算法用在不确定非线性系统的鲁棒性能控制设计中。最初，如果状态可用，那么可以对基于模糊控制设计的状态反馈进行研究。在该情况下，状态反馈不能被直接测量，于是，基于模糊控制设计的观测器被开发。在这种情况下，因为模糊观测器的设计必须满足Hinfin;性能，所以需要更多的努力。

控制设计需要同时解决多个二次矩阵不等式，这些二次矩阵不等式可以转化为等价的线性矩阵不等式。最后，这些线性矩阵不等式被组合在一个标准的LMI问题（LMIP）。这一个标准的LMIP可以被解决来完成鲁棒Hinfin;模糊控制设计，最后，模糊控制系统的鲁棒性设计被制定成一个所谓的特征值问题（EVP），来减少受制于LMI约束矩阵最大特征值。

在提出的混合模糊控制方法中，模糊线性化方法起着大致近似不确定非线性控制系统的作用。

本文的结构如下：第二章是问题的描述，第三章描述的是通过模糊线性的Hinfin;控制设计和鲁棒性设计，第四章介绍了基于Hinfin;控制鲁棒性优化的模糊控制器。第五章则是结束语。

  1. 问题描述

考虑下列非线性系统， （2.1） 当表示状态变量，表示控制输出，表示外部干扰，向量有可能是不确定的。

高木和关野已经提出的模糊动态模型来表示非线性系统局部的输入输出关系。这种模糊线性模型是由模糊IF-THEN规则描述讲要用来处理非线性系统（2.1）的控制设计问题。关于非线性系统（2.1）这个模糊线性模型的i规则在如下形式。

规则i：

假定表示，，表示，

则 （2.2） 当是模糊集合，，，是IF-THEN规则数。,,,是前提变量。

假设1：对于的，给定一对，模糊系统的最终输出推断如下[1,4,8]：

（2.3）

其中，，隶属于在中。

在本文中，我们假设对于 ，对于所有t满足＞0，因此，我们得到[2,4]

对于 ，=1。

备注： 如果我们假定，，，，，则这个规则可以用以下形式表示

规则 i：

如果 表示，，表示，

则 （2.4）

通过隶属函数的适当选择，TS模糊线性系统（2.3）是一个（2.1）好的输入输出形式.

假设下面的模糊控制器被用来处理上述控制系统的设计。

控制规则 i：

假定表示，，表示，

然后对于 （2.5）

把（2.5）带入（2.4），我们得到，其中，恒矩阵增益（）适当的选择使得所有的特征值位于预期和稳定的位置。

因此，模糊控制器由下式给出 （2.6）

其中， ，，控制参数（）被以后指定用来实现所期望的控制目的。

把（2.6）代入（2.3）中，我们得到的以下所谓的模糊控制系统

（2.7）

其中对于 。

模糊控制系统的稳定性（2.7）已在[2，4]得到讨论。然而，初始非线性系统（2.1）的控制性能仍需要更多研究。该系统（2.1）可以重新整理如下等效系统

（2.8）

其中

这是在模糊控制器中的实际系统（2.6）。一般来说，逼近误差是不确定而且取决于模糊线性系统，模糊控制器的规格，非线性系统的不确定性和外部干扰。在这个研究中，我们假定，即是不确定但是在区间内。然而，的影响会恶化模糊控制系统的控制性能甚至会使非线性控制系统不稳定。因此，如何消除的影响来保证控制性能是模糊控制系统最重要的设计目的。因为Hinfin;控制是最重要的控制设计能够有效的在控制系统中消除的影响（2.8）。它会用来处理鲁棒性控制在（2.8）。让我们来考虑下列Hinfin;控制性能[5,6]。

对于所有 （2.9）

其中表示控制的末端，是一个预定值，它表示最坏情况下对的影响。表示对称正定加权矩阵。式（2.9）的物理意义是对的影响无论是多少从能量角度必须减弱到低于期望水平。即从中获得对于必须低于或者等于预定值。一般来说，的选择为一个小于1的正数为的衰减。

不等式（2.9）可以被看作是一个有界输入和有界的状态但是有指定增益。如果考虑初始条件，不等式（2.9）必须修改为

（2.10）

其中是某个对称正定加权矩阵。

此外，如果考虑模糊控制性能的控制能量，则（2.10）可以修改为

（2.11）

从上面的分析中，所提出模糊控制系统的设计目的是指定一个线性模糊控制（2.6），使得不仅模糊线性控制系统的稳定性得到保证，而且逼近误差的影响也得到有效的减弱，在式（2.10）或者（2.11）中的Hinfin;控制性能在规定的衰减水平得到实现。

鲁棒性是实现式（2.10）或（2.11）中最小来取得最大消除的影响。这个设计问题在于如何指定式（2.6）的模糊控制来最小化受（2.10）或（2.11）约束的。

3. 通过模糊线性系统的Hinfin;控制设计

在上一个章节中控制描述中，这项研究的设计目的涉及到如何在式（2.6）为式（2.1）中的非线性系统指定模糊线性控制规则。并且保证式（2.10）或（2.11）的Hinfin;控制性能。

让我们为式（2.8）中的系统选择一个幂函数

（3.1）

其中权重矩阵和式（2.10）或（2.11）中是相同。

对于的导数是

（3.2）

接着，我们得到以下结论。

定理 1：

对于不确定非线性系统（2.1），假设模糊控制规则（2.6）采用

（3.3）

其中是一个权重矩阵，是一个通用的黎卡提的不等式解决方案

对于 （3.4a）

对于 （3.4b）

然后在（2.10）中Hinfin;控制性能中能保证得到规定的。

定理 2：

假设未建模动态由为界，。如果定理1中的模糊控制规则用于，那么这个模糊系统是二次稳定的。

如果考虑式（2.11）中的所提出的模糊线性控制的Hinfin;控制性能，那么我们可以得到以下结论。

推论 1：

对于非线性系统（2.1），假定模糊线性控制（2.6）应用于

其中是一个通用的黎卡提不等式解决方案

对于 （3.5a）

对于 （3.5b）

然后在（2.11）中Hinfin;控制性能中能保证。

备注：

定理1中奇异矩阵Hinfin;控制问题解决方案和推论1中非奇异矩阵的不同在于定理1中（3.4a）替换成（3.5a）。

推论2：

假设未建模动态由为界，。如果定理1中的模糊控制规则用于，那么这个模糊系统是二次稳定的。

对基于（2.8）的模糊控制系统的鲁棒性优化设计可归结为下列约束优化问题。

最小化 受 （3.4）或（3.5）制约。

4.鲁棒性优化：基于Hinfin;控制模糊控制器

在上述章节中，我们假定所有的状态变量是可用的。在实践中，这个假设往往是不成立的。在这种情况下，我们需要从状态反馈控制输出中估计状态向量。

考虑下列非线性系统

（4.1）

模糊线性模型关于非线性系统（4.1）的i规则以下列形式表示。

规则 i：

如果 表示，，表示，

则

（4.2）

假设 2：对于 是可控制的，是可观察的。

假设下列模糊线性观测器被提出用来处理非线性系统（4.1）的状态估计。

观测器规则 i：

假定表示，，表示，

那么 （4.3）

在这种情况下，估计的状态变量可被认定为前提变量，即。

让我们表示估计误差为 （4.4）

把（4.3）代入到（4.4）中，我们得到

其中让我们来表示

，，。

那么扩充系统的形式如下

（4.5）

在这种情况下，基于可控制的模糊控制器可改写成

（4.6）

在（2.10）中Hinfin;性能可以修改为

（4.7）

对于一些正定矩阵，。然后我们可以得到以下结论。

定理3：

基于状态反馈控制系统（4.1）-（4.3）的模糊控制器，如果下列黎卡提不等式能有一个正定解，则在（4.7）中的Hinfin;性能可以在规定的中实现。

（4.8a）

（4.8b）

其中

定理4：

基于状态反馈控制系统（4.1）-（4.3）的模糊控制器，如果

，如果控制参数和观察参数被选定为， （4.9） 其中满足

（4.10a）

（4.10b）

其中满足

（4.11a）

（4.11b）

其中。然后存在一个正值使得

， （4.12）

满足（4.8），那么在（4.7）中对于指定的，Hinfin;性能得以实现。

（4.10）和（4.11）中的黎卡提不等式可以被重新整理成以下形式

（4.13a）

（4.13b）

（4.14a）

（4.14b）

对于，，我们可以把（4.13）改写

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